第一章数值计算中的误差

《计算方法》0

绪论

任课教师：白巍及格线：60考试重点所有重点都在课堂上，无一遗漏考前不提供重点汇编和往年试卷怎样通过考试：认认真真学习考试时间：第10周周三（1105）14:00-16:00课堂纪律：无故缺课3次取消考试资格联系方qq:176849452；航宇馆501写在前面的话提纲挈领什么是计算方法；计算方法是做什么的；计算方法的学科特点；误差的来源；绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字位数等相关概念；数值运算中应注意的事项。“计算方法”：研究在计算机上解决数学问题的理论和数值方法数值算法的构造:计算公式和算法步骤算法的理论分析：误差分析、收敛性、稳定性等别名数值分析科学与工程计算什么是计算方法?

提问：计算方法是做什么用的？数值分析输入复杂问题或运算计算机近似解科学计算的重要性•科学计算是工程实践的重要工具•科学计算是继理论与实验后另一科学研究手段Chapter1Introduction计算方法的学科特点实用性理论性实践性1面向计算机，根据计算机的特点提供可行的有效算法；2有可靠的理论分析:算法的收敛性、稳定性和误差分析；3有好的计算复杂性:时间和空间复杂性；4有充分的数值实验证明算法的有效性。近似替代离散化递推化构造数值算法的基本思想实用性理论性实践性数值方法的内涵：理论可靠：稳定性，收敛性计算复杂性好：计算时间，迭代次数，存储开销能在计算机上实现：有限可操作性本书讨论的数值计算方法一般是近似方法。数值计算方法是研究常见的基本数学问题的数值解法及其相关理论的一门数学分支，数值代数数值微分与积分微分方程数值解…课程的主要目的为实际问题而提供的一种计算工具，故同学们的任务就是学习、掌握并利用这个工具。培养学生基本的和必要的数值计算方面的知识；在学完微积分、线性代数之后继续提高运用数学知识，解决数值计算问题的能力。计算机软、硬件的发展为数值方法的实现提供环境，也促进它的快速发展。

《计算方法》1误差

任课教师：白巍§1引言误差的一般概念函数的数值逼近：以简单的函数（如多项式）去近似一个复杂的函数，包括插值法、数据拟合法；数值积分与数值微分；非线性方程的数值解法；数值代数线性代数方程组的解法矩阵的特征值问题常微分方程数值解法（3）解线性代数方程组：

（4）求积分：举例：（1）求的正实根；（2）求一阶微分方程初值问题：其中：

的解，§1引言数值解法：即求某个数学问题的解答（近似解答），它是以数值的形式体现出来.§2误差的种类与来源1、模型误差2、观测误差3、截断误差4、舍入误差过失误差（疏忽误差）：计算者粗心大意产生的，可以避免；非过失误差：无法避免的。2.1模型误差用数学模型来描述具体的物理现象时，往往要忽略许多次要因素，把模型“简单化”、“理想化”，因此模型本身就包含有误差，这种误差称为模型误差。§2误差的种类与来源模型误差例题例我们用，（为重力加速度）来描述物体自由下落时距离与时间的关系．设自由落体在时间时的实际下落距离为，则就是“模型误差”。§2误差的种类与来源2.2观测误差在数学模型中总要包含一些观测数据，这些观测数据受工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差，这种误差称为观测误差。§2误差的种类与来源观测误差例题例2设一根铝棒在温度时的实际长度为，在时的实际长度为，用来表示铝棒在温度为时的长度计算值，并建立数学模型：，其中是实验观测到的常数：则称为“模型误差”，是的“观测误差”。§2误差的种类与来源2.3截断误差在解决实际问题时，数学模型常常难于直接求解，往往要近似代替，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。§2误差的种类与来源截断误差例题例3求时，可将展开为级数形式：在实际计算时，我们只取前面有限项（例如项）计算部分和作为的值必然产生误差，其误差为：这个误差就是“截断误差”。§2误差的种类与来源2.4舍入误差在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入，这个误差称为舍入误差。§2误差的种类与来源舍入误差例题例4，，等，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果取小数点后四位数字，则，，，就是“舍入误差”§2误差的种类与来源2.5误差来源分析总之，误差一般来自模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。在计算方法课程中，不分析模型误差；观测误差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能成为计算中误差的主要部分。误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。§2误差的种类与来源误差、误差限、有效数字相对误差及与有效数字的联系算术运算的误差和相对误差§3误差理论误差的概念定义1.1设为准确值，为的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。误差是有量纲的量，量纲同，它可正可负。§3误差理论当绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为负时，近似值偏小，则称弱近似值。绝对误差限通常我们并不知道准确值，也不能算出误差的准确值，但能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值的误差限。记为。

在工程中常记为：§3误差理论绝对误差限例题例5我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度为，是的近似值，由于米尺的精度知道，它的误差限为0.5mm，则有§3误差理论相对误差定义误差与精确值的比值

称作近似值的相对误差，记作。相对误差是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。§3误差理论相对误差限相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来估计的：就是相对误差限．§3误差理论另一个定义相对误差限§3误差理论相对误差限例题称两堆苹果，第一堆，误差为；第二堆为，误差为，虽然后者的误差限比前者大，但不能简单地认为前者精确，还必须注意到该数本身的大小。相对误差分别为：显然，称第一堆苹果的相对误差大。§3误差理论有效数字位数定义：如果近似值的绝对误差限是某一位数字的半个单位，我们就说准确到该位，从这一位起直到前面的第一位非零数字为止的所有数字称为的有效数字。§4有效数字及其与误差的关系有效数字位数(续)则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。定义：如果

由上述定义有效数位为3位有效数位为5位有效数位为4位§4有效数字及其与误差的关系有效数字位数例题§4有效数字及其与误差的关系

有效数字

相对误差限§4有效数字及其与误差的关系相对误差限有效数字例题分析例若是的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是：

若是的具有五位有效数字的近似值，则误差限是：

§4有效数字及其与误差的关系1、避免两个相近的数相减；2、避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法；3、要防止大数“吃掉”小数；4、尽可能减少运算次数；5、要设法控制误差的传播。在近似计算中应该注意的事项§5误差的传播与估计避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减弊端：有效数字减少求解方程避免两个相近的数相减几个小技巧避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法例：用单精度计算的根。精确解为算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数避免大数吃小数减少运算次数直接算：(n+1)n/2次乘法，n次加法秦九韶算法1247(又称为Horner算法1819)：n次乘法，n次加法§6

算法的数值稳定性一个算法，如果在执行它的过程中舍入误差在一定条件下可以得到控制（或者说初始误差和舍入误差的增长不影响产生可靠的结果），则称它是数值稳定的，否则称该算法数值不稳定。数值稳定截断误差小控制误差的传播例：蝴蝶效应

——一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起德州的一场龙卷风！AT以上是一个病态问题

/*ill-posedproblem*/关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！例：近似计算

解：此公式精确成立易知保留3位有效数字可得但显然有