复数的几何意义和三角公式(一)

17.3复数的几何意义和三角公式（一）1、形如

的数叫复数，其中

叫复数的实部，

叫复数的虚部；当

时为实数，当

时为虚数，当

时为纯虚数；全体复数构成的集合称为复数集，记作

；相等互为相反数2、两个实部

，虚部

的复数称为共轭复数，即，则

；两个不相等两个相等一对共轭虚数C复习旧知3、对于实系数一元二次方程，记，当时，方程有

的实数解；解为

当时，方程有

的实数解；解为

当时，方程有

解；解为（2,6）可以表示什么？问题情境探究一一个实数可以用数轴上的一点来表示，这个实数就是这个点的坐标。xo1一一对应

规定了正方向，直线数轴原点，单位长度实数

数轴上的点

(形)(数)(几何模型)探究一复数是否也能用一种类似的方法来表示呢？复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）一一对应z=a+bi阿甘特图xyO横坐标表示复数的实部纵坐标表示复数的虚部复数可以用坐标系中的点来表示探究一我们把横轴和纵轴（原点O除外）分别叫做实轴和虚轴。这样的平面直角坐标系叫做复平面。2、虚轴不包括原点；3、x轴上的点都表示实数；y轴(除去原点)上的点都表示纯虚数。用复平面内的点来表示复数，叫做复数的几何表示法。1、虚轴的单位和实轴一样都是1；注意：复平面例1在复平面内做出表示下列复数的点：解这些复数分别用点Z1(0,4)、Z2(4,0)、Z3(2,1)、Z4(-2,2)、Z5(2,-3)、Z6(-2,-2)来表示。例题解析例题解析练习1、在复平面内作出表示下列复数的点：1.表示纯虚数的点在复平面内的什么位置？2.表示实数的点在复平面内的什么位置？3.表示复数0的点在复平面内的哪个点？虚轴实轴坐标原点思考交流练习2、指出如图所示复平面内各点所表示的复数。探究二实数绝对值的几何意义是什么？通过类比，你能说出复数的绝对值（复数的模）的几何意义吗?探究二实数绝对值的几何意义:XOAa|a|=|OA|实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。xOy|z

|=|OZ|复数的绝对值的几何意义:复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。(复数的模)Z

(a，b)ba一般地，复平面内表示复数的点Z（a,b）到坐标原点的距离叫做复数的模。

记作，即当b=0时，z=a，于是，此时z的模等于实数a的绝对值。复数的模与辐角以实轴正半轴为始边，OZ为终边的角叫做复数z的辐角。非零复数z=a+bi的辐角唯一吗？不唯一，有无数个复数的模与辐角xyO以实轴正半轴为始边，OZ为终边的角叫做复数z的辐角。我们把复数z在内的辐角叫做辐角的主值，记作argz。以后所说的辐角指的是它的主值。规定：复数0的辐角是任意值。非零复数z=a+bi的辐角唯一吗？不唯一，有无数个复数的模与辐角复数1，i，-1，-i的辐角分别是多少？分别为思考交流例2求复数1+i的模与辐角。解：复数1+i可以用点Z（1,1）来表示；∵点Z在第一象限例题解析变题：求复数-1+i、-1-i、1-i的模与辐角。变题：求复数-1+i、-1-i、1-i的模与辐角。变题：求复数-1+i的模与辐角。变题：求复数-1-i的模与辐角。变题：求复数1-i的模与辐角。当复数z=a+bi≠0时，辐角可以由对应点Z（a,b）的位置确定，分别有如下两种情况：1、当点Z（a,b）在某个象限内时，其辐角可以由和点Z（a,b）所在象限确定；2、当点Z（a,b）分别在正半实轴，负半实轴，正半虚轴，负半虚轴上时，其辐角分别为：归纳总结3、求下列复数的模和辐角。练习例3求证：证明：设则例题解析4、设一元二次方程的一根为