第六章数字高程模型内插

数字高程模型主讲：严勇Chapter6InterpolationTechniquesforterrainsurfacemodellingContents6.1内插方法的分类6.2整体内插

6.3分块内插

6.4逐点内插法

6.5一些例子介绍

根据若干相邻参考点的高程求出待定点上的高程值。

内插前提假设原始地形起伏变化是连续并且光滑邻近的数据点间有很大相关性。

DEM内插6.1内插方法的分类Interpolationisinvolvedinthevariousstagesofthemodelingprocesssuchas

qualitycontrolsurfacereconstructionaccuracyassessmentterrainanalysisandapplications

ImportanceDEM内插分类方法二维插值（exactfitting

）：曲面通过内插范围的全部参考点。曲面拟合（bestfitting

）：曲面不要求通过全部参考点，但要遵从最小二乘法则，即拟合面相对于已知数据点的高差的平方和最小。6.2整体内插多项式函数数学表达式：整体函数法内插优点：整个区域上函数的唯一性能得到全局光滑连续的DEM

充分反映宏观地形特征保凸性较差。当地貌复杂时，用高次多项式来描述，参考点间会出现振荡现象。不易得到稳定的数值解。参考点测量误差、计算的舍入误差、数据采样误差引起。参考《计算方法》

多项式系数物理意义不明显。H＝ax+by+c

解算速度慢且对计算机容量要求较高。不能提供内插区域的局部地形特征。缺点：6.2分块内插Interpolationapproaches

Bythesizeoftheareaforinterpolation,two

approachesareidentified:

area-basedpoint-based

Area-based

interpolation

Thesurfaceisconstructedbyusingallthereference(known)pointswithinthisareaandtheheightofanypointwithinthisareacanbedeterminedbyusingthisconstructedsurface

ItcouldbeeitherglobalorlocalPointwiseinterpolation

6.3.1Simplelinearinterpolation线性内插函数形式：若方阵可逆，则该方阵的行列式不为零。三个参考点不在一条直线上。若三个参考点趋近于一条直线时，采用双线性内插方法。

Morepracticalbilinearinterpolation

algorithmintriangle点l，r分别位于直线AB和AC上。使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四边形，进而确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。函数形式：6.3.2双线性多项式内插

Bilinearinterpolation1234P如果数据参考点呈正方形格网分布1,2,3,4为正方形四个格网点，d是格网边长。1234xyPd(a)Forsquaregrids Morepracticalbilinearinterpolation

algorithmingrid6.3.3二元样条函数内插

BilinearinterpolationAdvantagesItiswidelyusedinDTMinterpolationbecauseitissimple,intuitiveandreliableDisadvantageTheresultingsurfaceisnotsmooth二元样条函数内插Bicubic

splineinterpolation

以每一个方格网作为分块单元，任一矩形ABCD可构成双三次曲面方程：

16个待定系数，须列出16个线性方程；12个方程根据下述力学条件建立：相邻面片拼接处在x和y方向的斜率都应保持连续；相邻面片拼接处的扭矩连续(即二阶混合导数连续)。较简单的方式：使用等权一阶差商中数代替导数在ABCD矩形，已知四角点高程ZA、ZB、ZC、ZD，以及它们的导数值RA、RB、RC、RD、SA、SB、SC、SD和TA、TB、TC、TD就可建立16个方程，求解后得出曲面方程系数a1,a2,a3,…a16,代入方程，解算某一点的高程。

6.3.4Area-basedbestfittingofsurfaces

Oscillationofhigh-orderpolynomialsurface

参考点间的振荡现象Least-squaresfittingofalocalsurface最小二乘法拟合

whereisthedeviationoftheithreferencepointfromthefittingsurfaceandnisthetotalnumberofreferencepoints.

ResidualsatreferencepointsondifferentsurfacesCommonlyusedfunctions

2ndorderpolynomialwherearethesixcoefficients.

Theyneedtobedeterminedbymakinguseofnreferencepoints

CommonlyusedfunctionsIftherearen(>6)referencepointsTheerrorfunctions

Simplifiedas

6.4Point-basedmovingsurfaces逐点内插法（移动曲面法）

以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点的范围随待插点位置的变化而移动。1、移动拟合法

对于每个待插的点，可选取其邻近的n个数据点(可称其为参考点)拟合一多项式曲面。

数学表达式：当采样点不足6个时，需要扩大取样半径；当采样点超过6个时，要列出n个采样点的误差（vi）方程的矩阵如下：

根据平差理论，二次曲面系数的解为：式中P为权重矩阵。可取为：

移动拟合法的关键问题：

如何确定待插点的最小邻域范围以保证有足够的参考点；如何确定各参考点的权重。选择邻近点的两个因素

动态圆半径方法:N为总点数，A为总面积。

按方位取点法以格网点为中心把平面平均分成n个扇面，从每个扇面内取一点作加权平均，克服了数据点偏向的缺点。(a)Noselectors(b)4sectors

(c)8sectors汉威Hannover大学的TASH程序使用的就是二次曲面移动内插法。

目前，许多大型的地理信息系统软件中都有专门的DEM模块。ARC/INFO系列产品中的GRID、TIN模块，GeoStar中的GeoTIN和GeoGrid模块，MAPGIS中的DTM模块，GeoCity中的GeoDem模块等均可用来进行DTM分析。此外，国际上还有一些比较著名的专门DTM软件包。如德国慕尼黑大学的HIFI，斯图加特大学的SCOP，汉威大学的TASH，奥地利维也纳工业大学的SORA以及瑞士苏黎士工业大学的CIP等。这些程序都拥有广泛的DEM应用模块。

国内外软件DEM模块由于解的稳定性决定法方程的状态，而法方程的状态又与点位分布有关，所以当地形起伏较大时，半径R不能太大。尤其是当数据较稀疏或分布不均匀时，二次多项式移动内插法容易产生很大的误差。此时可以考虑采用加权平均法（移动平均法）。2、加权平均法

加权平均法是移动拟合法的特例，它是在解算待定点P的高程时，使用加权平均值代替误差方程。3、Voronoi图法

P1P2P3P1P2P3P1P2P3P1P2P3(a)Nearestneighbour(b)Averaging(C)Linearsurface(d)Curvedsurface(1)一维线性的Voronoi图内插

一维线性的Voronoi图内插：二维线性的Voronoi图内插：如何理解？(2)二维的Voronoi图内插

插入新点当点x无限接近（狄洛尼三角形顶点）时，两Voronoi多边形完全重合，即

对点赋全权（等于1）

若采样点x逐渐远离点，伏隆诺多边形VX与VP的相交区域以及公共边界都将随之缩小；不再属于x的邻接点集时，权重为0。从上述讨论可以看出，权的确定是一个连续的过程，符合权函数的要求。

Discuss加权平均计算点x的高程插值：邻接点的Voronoi多边形与多边形VX的相交区域记为，的高程记为

其中，VoronoidiagramTIN6.5OtherExamples

TheInverseDistanceWeighted(IDW)反距离权法：离散点内插构建DEM比较常用的方法。基本思想是：由于地形的自相关性，较近的采样点对内插点的影响要大一些，故距离越近，权值越大，反之越小。Kriginginterpolation克立金法。广泛用于GIS中的空间内插，克立金法与最小二乘配置比较类似，也是将变量的空间变化分为趋势、信号与误差三个部分，采用半方差估计未采样点和采样点之间的相关系数，进而求得内插点的高程。由点、线、面的层数据上的高程产生一些水文学上正确的格网。利用地表面的信息以及内插过程中的约束条件，构建特殊的数据结构，正确的表现山脊、山谷，从而地形就能得以正确显示。ArcInfo’s

TOPOGRIDMultivariateRegularizedSplinewithTension(RST)多元有序张力样条内插：张力参数与滤波参数使用户能够协调内插DEM的一些特点，以实现最好的表现地表面。当滤波设为0时，