第五章参数估计

第五章参数估计一、参数估计的基本原理二、总体不同参数的估计方法三、样本容量的计算方法第一节参数估计的基本原理Parameterestimation指研究如何用样本统计量推断出总体参数值。一、参数估计的定义Parameterestimation：研究从样本获得一组数据后，如何通过这组信息，对总体特征进行估计，也就是如何从局部结果推论总体的情况。

二、估计量与估计值1、估计量：对总体参数进行估计的相应的样本指标称为样本估计量。常有、s2、p2、估计值：指统计量的一个具体数值。

例：抽样30人，测得平均成绩为82分，则为估计量，82为估计值思考假设你正在研究平均一个人一生中要得到多少交通罚单。报告研究结果的方法有以下两种：“10”或者“8到12之间”，请考虑它们各自的优缺点。二、点估计与区间估计（一）点估计点估计（pointestimation）：又称定值估计，指直接用样本的一个观察值（估计值）来估计总体参数值。良好估计量的标准无偏性即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差为0。有效性当总体参数的无偏估计不止一个时，无偏估计变异小的有效性高。一致性当样本容量无限增大时，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数充分性指一个容量为n的统计量，是否充分反映了全部n个数据。

（二）区间估计

区间估计（intervalestimation）：指按一定的概率（置信度）来估计总体参数的取值范围。例如:总体均值落在50~70之间，置信度为95%样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限图5-1区间估计及相关概念置信度与显著性水平：1-α：称为置信概率或置信水平、置信系数，一般取95%、99%两个值。α：称为显著性水平（或小概率），一般取0.05和0.01两个水平。

三、参数估计的一般公式

三、参数估计的一般公式

（二）公式：样本统计量±极限误差Δ

（1）样本统计量包括样本均值、率、标准差

（2）Δ=大小概率的临界值×抽样误差（3）

例：抽取250名大学生，测得其平均IQ为115，已知人群中IQ标准差为15，试以95%的置信度推断中国大学生的平均IQ？解：α=0.05临界值Zα/2=1.96样本均值为115

代入上式有:

下限115-1.96×0.95=113.14

上限115+1.96×0.95=116.86

即在95%置信度下，估计中国大学生的平均IQ为113.14～116.86第二节常用区间估计公式及应用

一、总体均值的区间估计(一)公式(P140表5.6)（二）应用步骤：1、根据实际样本的数据，计算样本的平均数和标准差。2、计算抽样误差（包括总体方差已知、总体方差未知两种情况）。3、确定置信水平或显著性水平。4、根据样本平均数的抽样分布，确定查何种临界值表。5、计算置信区间。6、解释总体平均数的置信区间。综合例一：总体均值的置信区间

(２已知)1. 假定条件总体服从正态分布,且总体方差（２）已知如果不是正态分布，可以由正态分布来近似

(n

30)2.总体均值在1-置信水平下的置信区间为(P1375.2)例1：已知总体为正态分布，σ=7.07，从总体中随机抽取n=10的样本，计算出样本的平均数为78，试问总体均值μ的95%置信区间。解：总体方差已知，则区间为

***P137例5.1解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14,n=9,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

总体均值的置信区间为我们可以95％的概率保证该种零件的平均长度在21.302～21.498mm之间【例2】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取９件，测得其平均长度为21.4mm。已知总体标准差=0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。关于置信区间长度的小结样本量影响置信区间长度。大样本产生较短的置信区间。置信水平影响置信区间。置信水平越高产生的置信区间较短。短的置信区间能比长的置信区间提供更多的有关总体参数的信息。综合例二：总体均值的置信区间

(２未知,小样本)1. 假定条件总体方差（２）未知，n小于30总体必须服从正态分布使用t分布统计量3.

总体均值在1-置信水平下的置信区间为(P1395.5解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我们可以95％的概率保证总体均值在46.69～53.30之间【例】从一个正态总体中抽取一个随机样本，n=25，其均值`x=50，标准差s=8。建立总体均值m

的95%的置信区间。二、总体比率与方差的区间估计(一)公式(二)应用1、总体标准差与方差的区间估计:当样本容量大于30时，样本标准差的分布渐进正态分布，标准差的平均数为：σ，标准差分布的标准差为：σ/

例：有一个随机样本n=31，s=5，试在0.95的置信度下，估计总体标准差的置信区间?

S±Zα/2×

**P142例5.5方差估计2、总体率的区间估计当样本容量大于30时，

p±Zα/2×

例：有一个随机样本n=100，男生的比率为48%，试在0.95的置信度下，估计总体标准差的置信区间问该样本总体率的置信区间?三、两个参数之差的区间估计(一)公式

P151表5.13类别分布公式置信区间双样本均值之差的区间估计1、

条件：两正态总体，方差已知，无限总体或有限总体N1、N2很大2、条件：两正态总体，方差未知，无限总体或有限总体N很大，n1、n2≥303、条件：两正态总体，方差未知且相等，小样本（n1、n2<30）4、条件：两正态或非正态总体，方差未知不相等，小样本（n1、n2<30,且不相等）双样本比率之差5、p1-p2~N（π1-π2，π1（1-π1）/n1+π2（1-π2）/n2）

条件：大样本（二）双样本之差区间估计例题分析P144例5.6方差未知大样本;P145例5.7方差未知小样本，且两个方差相等;P149例5.10双样本比率之差.第三节样本量计算一、估计总体平均数时的样本容量计算均值类研究问题的样本量计算。1、无限总体，或有限总体N很大时

Zα/2²σ²

n=——————(P1535.29)Δ²σ的确定方法（1）查资料法；（2）预调查法（30人左右），抽取一个样本，用样本s替代总体σ值。

Δ的确定方法：由研究者依据精确度或经验给出。

2、有限总体，不重复抽样（社会调查研究中重复调查会影响调查结果）

NZα/2²σ²n=——————————NΔ²+Zα/2²σ²例：宁强试验点6-14岁儿童的平均智商调查中的样本量设计。已知两乡总儿童数为1850人解：依据韦氏儿童IQ测验常模知σ=15，α=0.05，Δ=3，

N=1850

由于韦氏测验不能用重复测验，则得:

NZα/2²σ²n=——————————=91(人)NΔ²+Zα/2²σ²均值类问题研究样本量计算示例分析二、估计总体率时的样本容量计算率类研究问题的样本量计算。1、无限总体，或有限总体N很大时

Zα/2²pqn=————-(P1545.31)Δp²

p确定方法：（1）用以往研究资料中给出的p值；（2）预调查法（50人左右），用样本p值；（3）社会调查中，往往采用p=50%。Δp

确定方法：由研究者依据精确度或经验给出。2、有限总体，不放回抽样（社会调查研究中重复调查会影响调查结果）

NZα/2²

pqn=————————NΔp²+Zα/2²

pq

例：宁强试验点0~14岁儿童MR患病率调查中的样本量设计解：查资料得到全国1988年调查资料中全国0~14岁儿童MR患病率为2.1%，α=0.05，Δp=0.3%

则得:Zα/2²pqn=————=1510（人）

Δp²

率类问题研究样本量计算示例分析三、研究两个总体平均数的差异性时的样本容量计算(两组差异性分析时)

Zα/2²（σ1²+σ2²）

n1=n2=————————(P1545.32)

Δ²例：研究干预前、干预后儿童IQ的差异性分析解：依据韦氏儿童IQ测验常模知σ=15，α=0.05，Δ=3Zα/2²（σ1

²+σ2²）

n1=n2=——————————=100(人)Δ²即干预前后，各应抽100人进行调查。四、研究两个总体比率的差异性时的样本容量计算

Zα/2²（p1q1+p2q2）

n1=n2=————————(P1555.33)Δp²

**无p1、p2信息时，用50%法

例：研究干预前、干预后儿童MR患病率的差异性