文科数学-第4篇3讲

[最新考纲]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.第3讲平面向量的数量积知识梳理1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量__________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积．|a||b|cosθ|a||b|cosθ|b|cosθ3．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．×××2．对平面向量的数量积的性质、运算律的理解

(4)a·b＝0，则a＝0或b＝0. () (5)(a·b)·c＝a·(b·c)． () (6)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c. ()×××[感悟·提升]三个防范一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b在a的方向上投影为|b|，当θ＝180°时，b在a方向上投影为－|b|，如(2)；当θ＝0°时，a·b＞0，θ＝180°，a·b＜0，即a·b＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b，如(4)．考点一平面向量数量积的运算【例1】

(1)(2013·茂名二模)若向量a，b，c满足a∥b，且b·c＝0，则(2a＋b)·c＝ (

)．

A．4

B．3

C．2

D．0 (2)(2014·威海期末考试)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则a·b＝ (

)．

A．2

B．3

C．4

D．5解析(1)∵a∥b，∴b＝λa.又b·c＝0，∴a·c＝0，∴(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝0.(2)∵a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．∴a·b＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.答案(1)D

(2)D规律方法

求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．答案(1)C

(2)－6

考点二向量的夹角与向量的模【例2】

(1)(2013·安徽卷)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．

(2)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.考点三平面向量的垂直问题【例3】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．

(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；

(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α(其中k为非零实数)． 审题路线证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证⇒由模相等，列等式、化简求β－α.(1)证明∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．规律方法

(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[审题