量子力学-71量子态的不同表象和幺正变换

*第7章量子力学中的矩阵形式与表象变换

一、直角坐标系中的类比

取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交

标积

我们将其称之为基矢的正交归一关系.平面上的任一矢量

可以用它们来展开A1、A2代表A在坐标系中的投影.称为矢量A在坐标系x1x2中的表示.7.1量子态的不同表象，么正变换

二、坐标系顺时针转动

现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到

x1′x2′,其基矢为e1′和e2′,满足在此坐标系中,矢量A表示成其中投影分量是

同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？根据(2)和(2')式上式分别用e1′和e2′点乘,得表成矩阵的形式为或记为把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵

矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系.故当R给定，则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定.

三、变换矩阵的性质变换矩阵R具有下述性质：是R的转置矩阵真正交矩阵（实矩阵）

四、不同表象中基矢的关系量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。

形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢（称为F表象）对于任意态矢量y

，可以用它们展开

其中这一组数

就是态(矢)在F表象中的表示，它们分别是态矢y与各基矢的标积.与平常解析几何不同的是：①这里的“矢量”(量子态)一般是复量；②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的.现在考虑同一个态y在另一组力学量完全集

F′中的表示.F′表象的基矢,即F′的本征态y'a

,它们满足正交归一性对于任意态矢量y

，可以用它们展开

这一组系数

就是态(矢)y在F'表象中的表示，显然(14)左乘(取标积),得与有何关系？其中

F′表象基矢与F表象基矢的标积

(15)式也可以写成矩阵的形式：简记为

式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在F表象中表示的关系，它们通过S矩阵相联系，且

变换矩阵S为么正(unitary)矩阵矩阵，此变换也称为么正变换.

一、直角坐标系中的类比

仍以平面矢量作类比（逆时针转动q角）在坐标系x1x2中，它们分别表示成令*7.2力学量（算符）的矩阵表示写成分量的形式，有分别点乘上式得即（2）式的矩阵表示

把矢量逆时针方向旋转q角的操作可用R(q)刻画它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的.例如第一列元素

与上类比,设量子态y经过算符运算后变成另一个态f在F表象中,上式表示为两边左乘,取标积，得其中

式(6)表示成矩阵形式则为[分析]：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量的本征函数

解：利用一维谐振子波函数的递推关系

二、例：求一维谐振子的坐标x、动量p以及Hamilton量

H在能量表象中的表示.可以计算出注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样而所以是一个对角矩阵

任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.

三、力学量的表象变换F表象（基矢yk）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵元F′表象（基矢ya）中，力学量L表示为矩阵（L'ab）,矩阵元得即在F和F′表象中的矩阵表示分别表示力学量是从F表象→F′表象的么正变换

三、总结与比较量子态力学量表象（基矢）表象（基矢）7.3.1Schrödinger方程在F表象中(设F本征值为离散)

代入（1）式得

两边左乘，取标积，得7.3量子力学的矩阵形式写成矩阵的形式是此即F表象中的Schrödinger方程.7.3.2平均值，力学量(算符)

在量子态的平均值为特例若,即在自身表象中，则在y态下7.3.3本征方程的本征方程为

算符用代入两边左乘，取标积，得即这是ak的齐次线性方程组.

方程组有非平庸解的条件是系数行列式为零，即明显写出：如表象空间的维数为N，则上式是关于的N次方程，有N个实根.记为分别用代入式（8），可求出相应的解可以得到

表成列矢的形式为注意：若有重根，则会出现简并（不同的态对应相同的能级），简并态还不能唯一确定.7.4.1左矢(bra)和右矢(ket)Dirac符号的优点1.毋需采用具体表象2.运算简捷Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成.

在这个空间中，态用右矢

表示，一般写为

也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如7.4Dirac符号分别表示坐标、动量和能量算符的本征态.

表示角动量算符

的共同本征态.左矢如

等,则是上述右矢的共轭态矢.

7.4.2标积而定义两个态矢

和

的标积的形式为若满足

则称

与

正交。

若满足

则称

为归一化态矢。

若力学量完全集F的本征态(离散)记为

则其正交归一性可写为对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为而动量算符的本征态的正交归一性可写为7.4.3态矢在具体表象中的表示1.离散谱的情况展开系数在

它是

上的投影.用列矢表示为可用展开，即在F表象中(基矢记为),任意态矢量

(4)式代入(3)式,得表示，即是一个投影算符，用(5)式中式(5)中是任意的,因此

我们称算符I为单位算符，这是基矢完备性的表现，通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义.2.连续谱的情况在这种情况下,上述的求和要用积分代替.比如：运算后，就得到态矢它对任何态矢在基矢方向上的分量矢量3.两个态矢之间的标积写法在F表象中，两个态矢

和

之间的标积可如下计算：7.4.4算符在具体表象中的表示在F表象中，

的矩阵元是(11)左乘得设态矢经算符的作用后变成态矢,即即在F表象中的表示为即力学量L的本征方程基矢方向的投影.

是在F表象的分别是态矢在F表象中的表示式(15)写成矩阵的形式，有7.4.5Schrödinger方程Schrödinger方程可写为在F表象中表示如下：即的平均值用Dirac符号表示为在态下，7.4.6表象变换1.态的表象变换态

在F表象中用

描述，在F′表象中用

描述，则此两个表示之间的关系可由下式给出(利用(8)式)即式中是从F→F'表象的变换，描述两个表象的基矢之间的关系。写成矩阵的形式，有可以简写成其中S为么正矩阵，即满足下面用Dirac符号来证明上式证明：在F表象中同理可证

2.算符的表象变换算符

在F表象中的矩阵元为在F'表象中的矩阵元为而写成矩阵的形式是分别为

在F'和F表象中的矩阵以下讨论连续谱表象，特别是坐标表象和动量表象(1)在x表象中x的矩阵元很容易写出本征方程为本征态的正交归一关系为任一量子态在x表象中表示为通常记为在x表象中，坐标本征态（本征值为x'）表示为而动量本征态(本征值为p')表示为类似可以给出动量的本征方程和本征态的正交归一关系为在动量表象中，动量本征态(本征值为p')表示为坐标本征态(本征值为x')表示为(2)坐标表象与动量表象的变换在坐标表象中，力学量的“矩阵”表示如下，例如，坐标x矩阵表示为而动量p的“矩阵”表示为与此类似,可计算出,在动量表象中动量的“矩阵”表示而坐标x的“矩阵”表示为3.力学量在不同表象中的平均值在量子态