量子力学-81电子自旋态与自旋算符

第8章自旋G.E.Uhlenbeck与S.A.Goudsmit提出了电子自旋的假设。8.1电子自旋态与自旋算符8.1.1电子自旋态的描述电子除具有空间坐标的三个自由度，还具有一个内禀自由度—自旋sz，所以含自旋的波函数可以写为考虑到自旋sz

只能取±/2两个离散值，因此可以使用二分量波函数,即（1）称为旋量波函数.其物理意义如下：是电子自旋向下，位置在r处的概率密度.而表示电子自旋向上的概率，位置在r处的概率密度，

是电子自旋向上

，表示电子自旋向下的概率.归一化条件表示为（2）其中是描述自旋态的波函数，一般形式为（4）设波函数可以分离变量，即

（3）式中|a|2与|b|2分别代表电子sz=±/2的概率，归一化条件表示为（5）特例：sz=±/2的本征态常简记为a和β，即（6）（7）a与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一般自旋态可以展开为波函数表示为（8）8.1.2电子自旋算符，Pauli矩阵（9）假设：自旋算符s有三个分量，并满足对易关系：引入Pauli算符（10）则式(9)可以表示为(11a)(11b)(11c)或（12）（单位算符）并且（13）

可以证明的三个分量反对易（14）式（11）和（14）联立得（15）

式（15）与（13）归纳为（16）

上式与概括了Pauli算符的全部代数性质.下面采用对角化的表象，把Pauli算符表成矩阵形式.(17)本征值只能取±1，因此矩阵表示为令矩阵为(18)(19)利用得所以a=d=0

，再根据厄米性要求，可得，因而而所以|b|2=1.令,则再利用，可求出习惯上取相角得出Pauli算符的下列矩阵表示（20）称为Pauli矩阵.在中心力场中的电子，计及自旋轨道耦合作用后，轨道角动量l和自旋s分别都不是守恒量，但它们之和l+s，即总角动量j是守恒量，并且三个分量满足（1）8.2总角动量的本征态可证明（3）令（2）另外l2

仍是守恒量，因此，中心力场中电子的能量本征态可以选为一组对易守恒量完全集(H,l2

,j2

,jz)的共同本征态，而空间角度部分和自旋部分的波函数则可取为(H,l2

,j2

,jz)的共同本征态.（4）（C是常数）（5）1.要求是的本征态.即（6）在表象中，设(H,l2,j2

,jz)共同本征态表示为2.要求是jz

的本征态.即和都是lz

的本征态，但相应的本征值相差ħ.即（8）（7）得（9）3.要求是j2的本征态.（12）可证明（11）因此式（4）应取为（10）其中利用在Pauli表象中（13）联立式（12）和式（13），可得（14）此线性齐次方程组有非平庸解的条件为（15）解之，得（16）或（17）代入方程(14)，可得（18）（19）利用归一化条件，并取适当相位，可得出(

l2,j2,jz)的共同本征态（18）(20b)(20a)(l2,j2,jz)的本征值分别为概括起来，(l2,j2,jz)的共同本征态可记为对于

（21a)

对于

（21b）讨论l=0的情况，此时总角动量即自旋,j=s=1/2,而mj=ms=±1/2,波函数表示为在光谱学上习惯用下列符号标记这些态：l01234

j1/21/23/23/25/25/27/27/29/2光谱学符号s1/2p1/2p3/2d3/2d5/2f5/2f7/2g7/2g9/2（22）

8.3.1碱金属原子光谱的双线结构

选对易守恒量完全集（H,l2,j2,jz）,即令碱金属原子有一个价电子，其Hamilton量为代入能量本征方程，得到如下径向方程：（1）（2）8.3碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应（3）由于电子能量本征值与量子数(n,l,j)都有关，记为Enlj，是2j+1重简并.所以（4）在原子中，因此根据Hellmann-Feynman定理可证（5）即（6）这就是观测到的光谱双线结构.计算也表明自旋轨道耦合造成的能级分裂△E随原子序数Z增大而增大.8.3.2反常Zeeman效应1.正常Zeeman效应在强磁场中,原子光谱发生分裂(一般为三条)的现象,称为正常Zeeman效应.若外磁场很强,且考虑自旋,但略去自旋轨道耦合，则Hamilton量表示为（7）相应的能量本征值为选对易守恒量完全集(H,l2,lz,sz),即令（8）（9）2.反常Zeeman效应若所加外磁场B很弱时，此时需要考虑自旋轨道耦合，价电子的Hamilton量为（10）设先忽略式（10)的最后一项，则对易守恒量完全集可取为（H,l2,j2,jz

）,Hamilton量的本征态仍可表示为（11）相应能量本征值（12）当无外磁场B

时，能级是(2j+1)重简并；当加上外磁场时，能级

将依赖于磁量子数mj,这就说明了反常Zeeman分裂现象．（13）（14）

下面提供处理Hamilton量（10）最后一项的一个近似方法(即一级近似简并微扰论).

设两个电子的自旋为s1与s2，则两个电子的自旋之和由可证明s的三个分量满足下列对易式8.4.1自旋单态与三重态（2）（1）8.4自旋单态与三重态，自旋纠缠态可以证明（4）令（3）可以选,或,为对易自旋力学量完全集，求的本征态：1.求的本征态.令本征态记为和，本征态记为和，则的本征态为相应本征值为ħ，-

ħ，0，0.2.求的本征态.利用（6）（5）另外，令s2的本征态为及（7）（9）容易证明（8）本征方程（10）由(10)式得出（11）此方程组有非平庸解的条件是（12）解得λ=0，2.代入式（11），得再利用归一化条件，可求出s2

的归一化本征态为（13）

的共同本征态记为，s=1,MS=±1，0的三个态称为自旋三重态，而S=0,MS=0的态称为自旋单态,如下表所示.

(s2,sz)共同本征函数

S

Ms11101-1008.4.2自旋纠缠态的自旋态形象地记为的共同本征态可以表示为以它们为基矢的表象称为角动量非耦合表象.而的本征态可以表示为（14）以它们为基矢的表象称为角动量耦合表象.（15）可分离态：由两个粒子组成的复合体系