《古典概型》同步练习 全省一等奖

《古典概型》同步练习基础巩固一、选择题1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值[答案]D2．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决()A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D．最适合估计古典概型的概率[答案]C[解析]很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．3．在线段AB上任取三个点x1、x2、x3，则x2位于x1与x3之间的概率是()\f(1,2) \f(1,3)\f(1,4) D．1[答案]B[解析]因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是eq\f(1,3).4．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝eq\f(1,2)对应变换成的均匀随机数是()A．0 B．2C．4 D．5[答案]C[解析]当x＝eq\f(1,2)时，y＝2×eq\f(1,2)＋3＝4.5．用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是()A．y＝3x－1 B．y＝3x＋1C．y＝4x＋1 D．y＝4x－1[答案]D[解析]将区间[0,1]伸长为原来的4倍，再向左平移一个单位得区间[－1,3]，所以需要经过的线性变换是y＝4x－1.6．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，用计算器上的随机函数产生一个[－5,5]上的随机数x0，那么使f(x0)≤0的概率为()A． \f(2,3)C． D．[答案]C[解析]用计算器产生的x0∈[－5,5]，其区间长度为10.使f(x0)≤0，即xeq\o\al(2,0)－x0－2≤0，得1≤x0≤2，其区间长度为3，∴使f(x0)≤0的概率为eq\f(3,10)＝.二、填空题7．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．[答案][－6，－3][解析]0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．8.利用计算机随机模拟方法计算图中阴影部分(如图所示)．第一步：利用计算机产生两个0～1之间的均匀随机数，x，y，其中－1＜x＜1,0＜y＜1；第二步：以(x，y)为点的坐标．共做此试验N次．若落在阴影部分的点的个数为N1，则可以计算阴影部分的面积S.例如，做了2000次试验，即N＝2000，模拟得到N1＝1396，所以S＝________.[答案][解析]根据题意：点落在阴影部分的概率是eq\f(1396,2000)，矩形的面积为2，阴影部分的面积为S，则有eq\f(S,2)＝eq\f(1396,2000)，所以S＝.三、解答题9．在长为14cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9πcm2到16πcm2之间的概率．[探究]圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．[解析]设事件A表示“圆的面积介于9πcm2到16πcm2之间”．(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0,14]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N和[3,4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；(4)计算频率fn(A)＝eq\f(N1,N)，即为概率P(A)的近似值．10．在如图的正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，求这次模拟中π的估计值．(精确到[解析]假设正方形的边长是2，则正方形的面积是4，圆的半径是1，则圆的面积是π，根据几何概型的概率公式得到eq\f(776,1000)≈eq\f(π,4).所以π≈.能力提升一、选择题1．某人向一半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此入射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为()\f(1,13) \f(1,9)\f(1,4) \f(1,2)[答案]B[解析]如图，SA＝4π，SB＝36π，所以所求事件的概率为eq\f(SA,SB)＝eq\f(1,9)，故选B.2．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为()\f(1,2) \f(1,3)\f(1,4) \f(3,4)[答案]C[解析]Δ＝1－4n≥0，n≤eq\f(1,4).又n∈(0,1)，所以方程有实根的概率P＝eq\f(1,4)，故选C.3．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为()A．y＝－4x，y＝5－4 B．y＝4x－4，y＝4x＋3C．y＝4x，y＝5x－4 D．y＝4x，y＝4x＋3[答案]C4．如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A＝{投中大圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2＋b2<16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足上述－8<a<8，－8<b<8的点(a，b)的个数)．则概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是()\f(N1,N)，eq\f(N2,N)，eq\f(N－N1,N) \f(N2,N)，eq\f(N1,N)，eq\f(N－N2,N)\f(N1,N)，eq\f(N2－N1,N)，eq\f(N2,N) \f(N2,N)，eq\f(N1,N)，eq\f(N1－N2,N)[答案]A[解析]P(A)的近似值为eq\f(N1,N)，P(B)的近似值为eq\f(N2,N)，P(C)的近似值为eq\f(N－N1,N).二、填空题5．图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：50次150次300次石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m144393石子落在阴影内次数n2985186则估计封闭图形ABC的面积为________m2.[答案]3π[解析]由记录eq\f(m,n)≈12，可见P(落在⊙O内)＝eq\f(m,n＋m)＝eq\f(1,3)，又P(落在⊙O内)＝eq\f(⊙O的面积,阴影面积＋⊙O的面积)，所以eq\f(S⊙O,SABC)＝eq\f(1,3)，SABC＝3π(m2)6．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1·4－2，b＝b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1＝，b1＝及a1＝，b1＝，那么本次模拟得出的面积约为________．[答案][解析]由a1＝，b1＝得：a＝－，b＝，(－,落在y＝x2与y＝4围成的区域内，由a1＝，b1＝得：a＝－，b＝，(－，落在y＝x2与y＝4围成的区域内，所以本次模拟得出的面积约为16×eq\f(67,100)＝.三、解答题7．利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积．[解析](1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－×2，b＝b1×2，得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.(4)计算频率eq\f(N1,N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝eq\f(S,4)，eq\f(N1,N)＝eq\f(S,4)，所以S≈eq\f(4N1,N)，即为阴影部分的面积值．8．从甲地到乙地有一班车在930到1000到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘945到1015出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法计算他能赶上车的概率是多少？[解析]能赶上车的条件是到达乙地时汽车还没