第5章 频率分析法

第5章频域分析法5.1频率特性的基本概念5.2幅相频率特性及其绘制5.3对数频率特性及其绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性5.6利用开环频率特性分析系统的性能5.7闭环系统频率特性控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。

一般来说，系统工作性能用时域特性度量为最好，但高阶系统的时域特性很难用分析法确定故引出了频率特性法，不用解方程，也不用求特征根，而是利用系统的频率响应图以及频率响应与时间响应的某些关系解决系统的设计和分析问题，间接的运用系统开环频率特性分析闭环响应，是一种图解法，非常形象直观。频率特性分析法

，又称为频域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能,得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。

频率特性分析法的特点③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。

本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。正弦输入信号下系统的稳态输出设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号，响应如下rm=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=440不结论线性定常系统是稳定的情况下，系统的正弦响应在稳态时，输出与输入是同频率，而幅值和相角皆随ω而变的正弦。5.1频率特性的基本概念前面的例子看出，当输入：输出：一、频率特性的概念：下面以RC网络为例来说明频率特性的概念r(t)c(t)如果系统输入为正弦信号则系统输出经拉氏反变换稳态分量瞬态分量输入：输出：输出与输入相位差为：=-arctanTω输入信号为ui(t)=Uisint二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数有关。稳态输出与输入幅值比为：实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r（t）=sint

时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为Css（t）=Asin（ωt+），如图所示。线性定常系统sintAsin（ωt+）tr（t）Css（t）线性系统及频率响应示意图对系统的频率响应作进一步的分析，稳态输出与输入的幅值比A与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与相位差仅是ω的函数，可以分别表示为A（ω）与（ω）。因此，频率特性可定义为：

线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，在频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的固有特性。

A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前（＞0º）还是滞后（＜0º）。

系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并且强调频率ω是一个变量。2、频率特性的复数表示方法对于线性定常系统，当输入一个正弦信号

r（t）=Rsinωt时，则系统的稳态输出必为Css（t）=A(ω)Rsin（ωt+（ω））由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为复数形式，则输入输出之比为

可见，输出输入的复数比恰好表示了系统的频率特性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。

若用一个复数G（jω）来表示，则有

G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej

指数表示法G（jω）=A(ω)∠(ω)幅角表示法G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。

当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示G（jω）。向量的长度为A(ω)，向量与正实轴之间的夹角为(ω)，并规定逆时针方向为正，即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。

另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即G（jω）=R（ω）+jI（ω）R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函数理论可知：以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。

并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数，(ω)与I（ω）是ω的奇函数。5.1.3由传递函数求取频率特性实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性为描述系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换得到，这种求取方法称为解析法。

系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号。输出信号的拉氏变换为：对输出求拉氏反变换可得为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。输入信号为r(t)=Rsinωt设n阶系统的传递函数为css(t)=Kce-jωt+K-cejωt

系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出css(t)=A(ω)·R·sin[ωt+(ω)]

A(ω)=|G（s）|s=jω

=|G（jω）|

(ω)=∠G（jω）

输入信号为r(t)=Rsinωt

A(ω)是系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达式。

(ω)是系统的输出与输入幅值比，为系统的相频特性表达式。系统的频率特性为

G（jω）=G（s）|s=jω=A(ω)·ej

线性定常系统，传递函数为G（s）G（jω）=

G（s）|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅频特性，是相频特性可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数G（s）将jω代替其中的s而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量s=σ+jω。当σ=0时，s=jω。所以G（jω）就是σ=0时的G（s）。即当传递函数的复变量s用jω代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解析法。

因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。频率特性的物理意义1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。3.频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。频率特性的数学意义

频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、传递函数之间可以相互转换。

以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。微分方程（以t为变量）传递函数（以s为变量）频率特性（以ω为变量）控制系统数学模型之间的转换关系5.1.4常用频率特性曲线

频率特性是稳态输出量与输入量的幅值比和相位差随频率变化的规律。在实际应用中，为直观地看出幅值比与相位差随频率变化的情况，是将幅频特性与相频特性在相应的坐标系中绘成曲线，并从这些曲线的某些特点来判断系统的稳定性、快速性和其它品质以便对系统进行分析与综合。系统(或环节)的频率响应曲线的表示方法很多,其本质都是一样的,只是表示的形式不同而已。频率特性曲线通常采用以下三种表示形式：

1.幅相频率特性曲线（奈氏曲线），图形常用名为奈奎斯特图或奈氏图，坐标系为极坐标。奈氏图反映A(ω)与(ω)随ω变化的规律。2.对数频率特性曲线，包括：对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。图形常用名为对数坐标图或波德图，坐标系为半对数坐标。波德图反映L(ω)=20lgA(ω)与(ω)随lgω变化的规律。3.对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅相图，坐标系为对数幅相坐标。尼柯尔斯图反映L(ω)=20lgA(ω)随(ω)的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。

绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点,极坐标轴为直角坐标的实轴。由于系统的频率特性表达式为G（jω）=A（ω）·ej

对于某一特定频率ωi下的G（jωi）总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为A（ωi），与正实轴的夹角为（ωi）。5.2.1幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念由于A()和()是频率的函数，当ω在0→∞的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同ω下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线（奈氏曲线），如图所示。G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)极坐标图的表示方法

Im

在绘制奈氏图时，常把ω作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。

当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性，再求出系统幅频特性、相频特性或者实频特性、虚频特性的表达式，再逐点计算描出奈氏曲线。具体步骤如下：1.用jω代替s，求出频率特性G（jω）2.求出幅频特性A(ω)与相频特性（ω）的表达式，也可求出实频特性与虚频特性，帮助判断G（jω）所在的象限。3.在0→∞的范围内选取不同的ω，根据A(ω)与（ω）表达式计算出对应值，在坐标图上描出对应的向量G（jω），将所有G（jω）的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。一.典型环节的幅相频率特性图1.比例(放大)环节2.积分环节3.惯性环节4.振荡环节5.微分环节1)理想微分环节2)一阶微分环节3)二阶微分环节G(s)=K

G(s)=1+Ts

G(s)=sG(s)=1+2ζTs+T2s25.2.2典型环节的奈氏图

1、比例环节用j替换s，可求得比例环节的频率特性表达式为

G(j)=KImRe0K→0→比例环节的幅相频率特性传递函数为：G(s)=K幅频特性A(ω)=

|K|=K相频特性（ω）=0º比例环节的幅频特性、相频特性均与频率无关。所以当由0变到,G(j)始终为实轴上一点，说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；()=0º,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。2、积分环节积分环节的传递函数为积分环节的频率特性为幅频特性为A()=|1/|=1/，与角频率ω成反比相频特性为()=-90º→0→0Re积分环节的幅相频率特性Im积分环节的幅相频率特性如图所示，在0＜＜的范围内,幅频特性与负虚轴重合。积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。3、微分环节理想微分环节的传递函数为

G(s)=s频率特性为

G(j)=j故幅频特性为:A()=||=，与成正比。相频特性为：

()=90º。理想微分环节的奈氏图如图所示，在0＜＜的范围内,其奈氏图与正虚轴重合。可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。4、惯性环节根据实频特性与虚频特性表达式，可以判断出实频特性恒≥0，而虚频特性恒≤0，由此可见惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。当从0变到时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，例如可以绘出三个点，是一个位于第四象限的半圆，圆心为(1/2,0),直径为1。若惯性环节的比例系数变为K，则幅频特性成比例扩大K倍，而相频特性保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为(K/2,0),直径为K。由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为0º→-90º。5、一阶微分环节可见一阶微分环节的实频特性恒为1，而虚频特性与输入频率成正比。当从0变到时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，可以绘出三个点，见表G(s)=(s+1)()=arctan()由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。

一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。根据这些数据绘出幅相频率特性，是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线。6、二阶振荡环节

以为参变量,计算不同频率时的幅值和相角,其中几个重要的特征点见表。可以判断出虚频特性恒≤0，故曲线必位于第三与第四象限。在极坐标上画出由0变到时的矢量端点的轨迹,便可得到振荡环节的幅相频率特性,如图所示，且1＞2。且振荡环节与负虚轴的交点频率为=1/T，幅值为1/(2)。由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→-180º；同时的取值对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况

1.＞0.707幅频特性A()随的增大而单调减小，如图5-12中1所对应曲线，此刻环节有低通滤波作用。当＞1时，振荡环节有两个相异负实数极点，若足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为1/(2)≈0，奈氏图近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节，如图所示。2.0≤≤0.707当增大时，幅频特性A()并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率r，所对应的向量长度为谐振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。谐振表明系统对频率r下的正弦信号的放大作用最强。可得振荡环节的谐振角频率谐振峰值为可见随的减小,谐振峰值Mr增大，谐振频率r也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率n。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。当=0时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。

由幅频特性A()对频率求导数,并令其等于零,可求得谐振角频率r和谐振峰值Mr，传递函数：G(s)=1+2ζTs+T2s2频率特性:幅频特性：相频特性：0ReIm二阶微分环节的极坐标图1ω→0ω→∞ω=ωn3)二阶微分环节二.系统的开环幅相频率特性曲线系统的开环频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积

极坐标形式：求系统的开环幅相特性：首先计算ω=0和ω=∞时开环频率特性的幅值及相角,然后分析或计算中间过程，绘制极坐标图。系统开环频率特性极坐标图应根据各组成环节的特性，按“幅值相乘除，相角相加减”的原则形成系统的极坐标图。手工绘制时，只能抓关键特征，绘制概略图。考察这些关键特征的基本方法是，求A(0)、(0)和A(∞)、(∞)；补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据A(ω)、(ω)

的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。二.系统的开环幅相频率特性曲线020例1系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其极坐标图。

当时幅值：相角：当时幅值：相角：0当时幅值：相角：例2系统开环传递函数是G(s)H(s)=,试绘制极坐标图。

－KT当时幅值：相角：例3系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其极坐标图。

0当时幅值：相角：当时幅值：相角：例4比较下列函数的极坐标图：每增加一个积分环节，频率特性就滞后90°；若增加λ个积分环节，频率特性就滞后λ90°。例5比较下列函数的极坐标图：结论：每增加一个一阶环节，当ω→∞时，相位应滞后90°。例6：思考题：当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具有一定的规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利用A()与()等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。幅相图小结：(1)低频段的确定（→0）

Gk（jω）的低频段表达式为()=-v90°根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为可见低频段的形状（幅值与相位）均与系统的型别v与开环传递系数K有关。1.0型系统，v=0：A(0)

=K，(0)=0º低频特性为实轴上的一点(K,0)。2.Ⅰ型系统，v=1：A(0)=∞，(0)=-90º3.Ⅱ型系统，v=2：A(0)=∞，(0)=-180º(2)高频段（→∞）不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。m为分子多项式的阶数，n为分母多项式的阶数，且一般m＜n

故A()=0,高频段终止于坐标原点；而最终相位为()=-(n-m)90，

由n-m确定特性以什么角度进入坐标原点。

①(n-m)=1,则()=-90,即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。②(n-m)=2,则()=-180,即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。③(n-m)=3,则()=-270,即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。(3)奈氏图与实轴、虚轴的交点将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部。1）曲线与实轴的交点处的频率由虚部为0求出Im[G(j)]=I()=0求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。2）曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0求出Re[G(j)]=R()=0求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。（4）.ω→0时的渐近线平行于虚轴的渐近线平行于实轴的渐近线(5)开环零点对曲线的影响1）如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在由0增大到过程中,特性的相位单调连续减小（滞后连续增加）,特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。2）如果系统的开环传递函数有开环零点，则在由0增大到过程中,特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大小不同,特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时,特性曲线出现凹部。

Nyquist图的任何复杂形状都是由分子上的一阶微分环节引起的,若开环传递函数不含一阶微分环节(m=0),Nyquist图是一条连续光滑曲线。若该系统增加一个开环零点，开环频率特性表达式为此系统仍为Ⅱ型系统，当→0时，幅值趋于无穷大,而相角位移为-180，即奈氏图的起点基本未变。在→时，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏图沿负实轴终止于原点。由于增加了开环零点，所以奈氏曲线从低频段到高频段连续变化时，相位先滞后增加，达到一个滞后最大值后，相位滞后又开始减小（即相位增加），整条曲线出现了凹凸。根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略奈氏图。在０＜＜的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出系统的开环传递函数的结构与参数。5.3.1对数频率特性曲线基本概念对数频率特性图（Bode图）将幅频和相频特性分别画出，并按对数分度运算，使系统的分析和设计变得十分简便。

1.伯德（Bode）图的构成对数幅频特性图的横坐标是对取以10为底的对数进行分度的。5.3频率特性的对数坐标图

标注角频率的真值,以方便读数。每变化十倍,横坐标1gω就增加一个单位长度，记为decade或简写dec,称之为“十倍频”或“十倍频程”。横坐标对于ω是不均匀的，但对1gω却是均匀的线性分度。由于0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。

若横轴上有两点ω1与ω2，则该两点的距离不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1，如2与20、10与100之间的距离均为一个单位长度，即一个十倍频程。对数频率特性曲线坐标系如图所示，在绘制函数关系时，相当于lgω为自变量。纵坐标是对幅值分贝(dB)数进行分度，用L()=20lgA(ω)表示。对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（o）,仍用()表示。0.10.212102010002040-20-40dB半对数坐标10倍频程：横坐标的一个单位长度，表示频率变化10倍轴采用对数刻度，可大幅度地扩展横轴上的频率范围。又不降低低频段的准确性，=0不可能在横轴上表现出来但可在感兴趣的频率区域，选择任意大于0的频率值。10°30°50°-10°-30°（）3.采用对数坐标的优点-利用频率特性的叠加性

表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在Bode图上可由环节特性叠加而得到。两边取对数后利用这个特点对构建系统频率特性至关重要。同样，相频特性也具有这个特点系统频率特性表成2．Bode图法的特点

（1）横坐标按频率取对数分度，低频部分展宽，而高频部分缩小。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。（2）幅频特性取分贝数［20Lg|GH|］后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。（4）在控制系统的设计和调试中,开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。5.3.2典型环节的伯德图

1.比例环节（K）

说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；()=0º,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。2.积分环节(1/s)

402000.010.111020100.010.11频率每增加10倍，幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。讨论：

1.N个积分环节串联的幅频特性如何变化?讨论：N个积分环节串联的相频特性如何变化?BodeDiagramFrequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-60-40-20020406010-1100101-90-4504590135180-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec3.微分环节（s）

1微分环节的对数幅频特性是一条斜+20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。

积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者以轴为基准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以轴为镜象。可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。4.惯性环节(1)对数幅频特性

为简化对数频率特性曲线的绘制，常常使用渐近对数幅频特性曲线（特别是在初步设计阶段）。1.低频段在T<<1(或<<1/T)的区段,可以近似地认为T0,从而有故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示,这称为低频渐近线。2.高频段

在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为L()为因变量，lg为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线,斜率为-20dB/dec,称为高频渐近线，与低频渐近线的交点为T

=1/T，T称为转折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。同时，如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线，只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了。渐近线

精确曲线

转折频率

精确曲线

惯性环节的对数频率特性[渐近线、精确曲线（2）对数相频特性精确相频特性为:()=-arctan(ωT)；

对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-45°这一点斜对称，如图所示，可以清楚地看出在整个频率范围内，()程滞后持续增加的趋势，极限为-90。当惯性环节的时间常数T改变时，其转折频率1/T将在Bode图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。5．一阶微分环节（Ts＋1）

1.

低频段

在T<<1(或<<1/T)的区段,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示,为低频渐近线。2.高频段在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为高频渐近线是一条斜线,斜率为20dB/dec,当频率变化10倍频时,L()变化20dB。转折频率为T=1/T。可知,一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需要注意到修正值的符号相反。如转折频率处T对应的精确值是L（T）=0+3=3dB。一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。

一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。

6．二阶振荡环节（1）对数幅频特性

1.低频段T<<1(或<<1/T)时，L()20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线重合。0≤≤12.高频段T>>1(或>>1/T)时,并考虑到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB这说明高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线,称为高频渐近线。T=1/T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率n。0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω0.1110100[-40]？？0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω0.1110100[-40]振荡环节L(ω)的修正方法一个重要概念：穿越频率,或截止频率物理意义是什么？

Bode图与Nyquist图之间的对应关系：

截止频率wc：可见0.4时，渐近线需要加尖峰修正。随的减小,谐振峰值Mr增大，谐振频率r也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率n。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。当=0时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。

（2）相频特性

可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→-180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-90°这一点斜对称。

振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→-180º；同时的取值对曲线形状的影响较大。5.3.3开环对数频率特性(Bode图)的绘制（一）环节曲线迭加法（二）顺序斜率迭加法（一）环节曲线迭加法：绘制对数频率特性。例2：解：四个典型环节：jL[-20][-20]L1[-20]L2j2j4[-20]L3j3L4[+20]10.110100ww202Ldb02040j(ω)-90000900j1因为开环传递函数是由若干个典型环节串联而成，而且典型环节的对数曲线均为不同斜率的直线或折线，所以迭加后的开环对数频率特性仍为由不同斜率的线段组成的折线。所以只要确定低频起始段的位置和斜率，并能确定线段转折频率以及转折后线段的斜率变化量，就可以从低频到高频一气呵成。（二）顺序斜率迭加法1．低频起始段的确定：0Klg20[]n20-1顺序斜率迭加法（续）2、ω折及线段斜率变化量的确定：绘制开环系统Bode图的步骤:⑴化G(jw)为尾1标准型⑵顺序列出转折频率⑶确定基准线⑷叠加作图基准点斜率一阶惯性环节-20dB/dec复合微分+20dB/dec二阶振荡环节-40dB/dec复合微分+40dB/dec第一转折频率之左的特性及其延长线⑸修正⑹检查①两惯性环节转折频率很接近时②振荡环节x(0.38,0.8)

时①L(w)最右端曲线斜率=-20(n-m)dB/dec②转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)③j(w)-90°(n-m)例解：[-20][-60][-80][-60]0.1101242040Ldb0w-900j(ω)-1800-2700000.10.51210301000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20][-40][-20][-40]低频段：转折频率：0.5230斜率：-40-20-40时为32dbA例10.2惯性环节0.5一阶复合微分1振荡环节基准点斜率w=0.2惯性环节-20w=0.5一阶复合微分+20w=1振荡环节-40⑹检查①L(w)最右端曲线斜率=-20(n-m)dB/dec②转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)③j(w)-90°(n-m)基准点斜率w=0.2惯性环节-20w=0.5一阶复合微分+20w=1振荡环节-40(2)开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系特点:1)低频段斜率为0dB/十倍频程;2)低频段的幅值为20lgKp，可以确定稳态误差系数。1.0型系统2.Ⅰ型系统特点:1)低频段斜率为-20dB/十倍频程;2)低频渐进线（或其延长线）与0dB的交点为ω0=Kv；3)低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为20lgKv;3.Ⅱ型系统特点:1)低频段斜率为-40dB/十倍频程;2)低频渐进线（或其延长线）与0dB的交点为ω0=；3)低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为20lgKa;5.3.4最小相位系统和非最小相位系统

“最小相位”这一概念来源于网络理论。它是指具有相同幅频特性的一些环节,其中相角位移有最小可能值的,称为最小相位环节;反之,其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节。1.基本概念控制系统的开环传递函数一般是关于s的有理真分式，系统的性质是由开环传递函数的零点与极点的性质决定的。根据零极点的不同，一般分为以下两种系统（1）如果系统传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统（由除延迟环节之外的典型环节组成），如（2）系统传递函数在右半s平面上有一个(或多个)零点或极点，称为非最小相位系统；

显然G1（s）属于最小相位系统。这两个系统幅值相同，具有同一个幅频特性，但它们却有着不同的相频特性。下面以一个简单例子来说明最小相位系统的慨念。两者的对数幅频特性是相同的，而相频特性则有1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanT从传递函数看,这二者均有相同的储能元件数,但是由于G2(s)的零点在右半s平面,它产生了附加的相位滞后位移,因而G1(s)具有较小的相位变化范围（0°，-90°）,为最小相位环节；而G2(s)为非最小相位环节，相位变化范围较大（0°，-180°）。

从波德图上看,最小相位系统为具有相同幅频特性的许多系统中其相移范围为最小可能值的系统。2、性质☆小结：最小相位系统的性质给出了一个重要的结论：

对于最小相位系统，可以通过实验的方法测量并绘制出开环对数幅频特性曲线L()，就可以唯一确定此系统，推出相应的()，写出其开环传递函数。5.3.5由实测波德图求传递函数☆由实测开环波德图求开环传递函数是由已知的开环传递函数求开环波德图的逆过程，方法有共同之处。步骤如下：1.在需要的频率范围内，给被测系统输入不同频率的正弦信号，测量相应输出的稳态幅值与相位，作出对数幅频特性与相频特性曲线；2.若幅频特性曲线与相频特性曲线的变化趋势一致，则该系统为最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数；3.根据对数幅频特性曲线，由0、±20、±40dB/dec斜率的线段近似，求出其渐近线；4.由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K低频渐近线的表达式为L()=20lgK-20vlg。可首先由低频段的斜率确定v，再由低频段上的一个具体点的坐标确定K，如可代L(1)=20lgK；5.由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。若在转折频率处，斜率增加20dB/dec，则必有一阶微分环节G(s)=(s+1)；若在转折频率处，斜率减去40dB/dec，则有振荡环节；二阶系统的阻尼比ζ可由谐振峰值的大小查表求取如若在转折频率处，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节；小结：☆1低频段确定K、V

斜率确定积分、微分环节个数起始段（或延长线）在=1处高度为20lgK，

L()=20lgK-20Vlga.对一型v=0{起始斜率[0]}b.对一型v=1{起始斜率[-20]}c.对二型v=2（起始斜率[-40]）2．转折频率对应斜率变化确定惯性，振荡，一阶微分，二阶微分。

例1根据Bode图确定系统传递函数。解.依图有

Bode图与Nyquist图之间的对应关系：转折频率

截止频率wc：例2已知Bode图，确定G(s)。解解法Ⅱ解法Ⅰ解法Ⅲ例3

已知L(w)，写出G(s)，绘制j(w),G(jw)。解⑴III⑵叠加作图如右⑶5.3.频率域稳定判据

系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征根都具有负实部，即位于s左半平面。在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方法就是使用劳思-赫尔维茨稳定判据（代数判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常困难且费时,也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。

除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有：1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。F(s)的零点=闭环极点，而系统稳定的充要条件是特征根即F(s)的零点都位于s左半平面上。因此，需要检验F(s)是否具有位于s右半平面的零点。为此，选择一条包围整个右半平面的按顺时针方向运动的封闭曲线，称为奈氏回线.注：时域中，临界稳定=不稳定；频域中，临界稳定既不属于稳定也不属于不稳定。F(s)=1+G(s)H(s)的几何意义1+GH[F]平面和[GH]平面关于Nyquist稳定判据的说明：P=０(即开环是稳定的）,

如果系统闭环是稳定的，则Z=0，所以R必为0，也即开环频率特性曲线GΗ(jω)不包围(-1，j0)点；(2)P≠0（即开环不稳定）,若使系统闭环稳定则Z=0

，所以R=P-Z=P，即开环频率特性曲线GΗ(jω)逆时针包围(-1，j0)点P周。

（3）GΗ(jω)通过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。

【例】某系统开环传递函数，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。ReIm[GH]图5-41-1ω=0ω=-∞ω=+∞0-2开环右极点个数：P=1反时针包围一次：R=1闭环右极点个数：

Z=P-R=0闭环系统稳定。例试用奈氏判据分析下面系统的稳定性。解:频率特性

系统的奈氏曲线如图：因为P=0，R=0，计算Z=P-R=0，所以该闭环系统是稳定的。例系统开环传递函数如下，试绘制其奈氏图。

G(s)H(s)=∵P=0，

R=0∴Z=0，系统稳定。例系统开环传递函数如下，试绘制其奈氏图。

G(s)H(s)=∵P=0，R=-2∴Z=P-R=2，系统不稳定。Nyquist稳定判据的应用步骤：1.作出开环系统的奈氏曲线G(jω)H(jω)；2.计算奈氏曲线G(jω)H(jω)对点(−1,j0)按逆时针方向的围绕圈数R；3.确定开环系统是否稳定。若不稳定则确定开环系统在s右半平面上的极点数P；4.根据R=P-Z，确定Z是否为零。如果Z=0，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面上的数目。Nyquist稳定判据的进一步说明奈魁斯特轨迹映射图s∵P=0，R=-2∴Z=P-R=2，系统不稳定。当开环传函有ν个s=0的极点时，起终点为ω=0－、0＋的半径无穷小半圆，映射到GH平面的频特是从ω=0－起，以无穷大半径顺时针绕原点转过ν*180°后终止于ω=0＋点。时的奈氏曲线时的奈氏曲线例解：先画镜像曲线，再补大圆弧，不包围(-1,j0)点，或逆时针一圈，顺时针一圈,故闭环稳定。

N+表示正穿越（从上向下穿越）的次数和，（逆时针）N-表示负穿越（从下向上穿越）的次数和，（顺时针）注意:轨迹从负实轴出发或终止于负实轴为次穿越。为（-1，j0)点以左的穿越次数。令：Nyquist稳定判据Ⅲ:(穿越判据)（

由0+）Z=P-2N=0Re[GH平面]图

G(jω)H(jω)曲线的穿越情况-10正穿越负穿越【练习】判断以下系统的闭环稳定性Z=P-2N=0?Z=0-0=0稳Z=1-2×(-1)=3不稳Z=2-2×(-1)=4不稳Z=0-0=0稳Z=0-2×(-1)=2不稳Z=0-0=0稳

由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参数对系统稳定性的影响。——奈奎斯特稳定判据在伯德图上的应用

3.对数频率稳定判据

奈氏图与伯德图的对应关系开环系统幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系:（1）在G(j)平面上,|G(j)|=1的单位圆,对应于对数幅频特性的0分贝线;单位圆外部如(-,-1)区段，对应L()>0dB，单位圆内部对应L()<0dB。（2）从对数相频特性来看,G(j)平面上的负实轴,对应于对数相频特性上的()=-180°。（3）(-1,j0)点的向量表达式为1∠-180°，对应于伯德图上穿过0分贝线，并同时穿过()=-180°的点。【例】如图所示的开环Bode曲线，试用Nyquist稳定性判据,判断系统的稳定性。已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，闭环系统稳定。已知P=2,在L(ω)≥0的范围内,闭环系统稳定。【例】如图所示的开环Bode曲线，试用Nyquist稳定性判据,判断系统的稳定性。条件稳定系统：当开环传递函数的某些系数改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统。结构不稳定系统：相应的，无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。当系统处于稳定状态，且接近临界稳定状态时，虽然从理论上讲，系统是稳定的,但实际上，系统可能已处于不稳定状态。其原因可能是在建立系统数学模型时，采用了线性化等近似处理方法；或系统参数测量不准确；或系统参数在工作中发生变化等。因此要求系统保有一定的相对稳定性（稳定裕度），这样才可以保证不致于分析设计过程中的简化处理，或系统的参数变化等因素而导致系统在实际运行中出现不稳定的现象。

系统稳定裕度用于表征系统的相对稳定程度，经常作为控制系统的频率域性能指标。相对稳定性是指闭环系统离开稳定边界的程度。5.4稳定裕度1.开环频率特性图上系统临界稳定点（线）

(-1，j0)为乃氏图上使系统闭环稳定的开环临界点。对应Bode图上为两条临界稳定线：幅频临界线相频临界线控制系统的相对稳定性2.定义两个重要的频率：截止频率ωc：开环乃氏图上对应于幅值为临界值1的点的频率或幅频Bode图与临界线0db线（ω轴）的交点频率。表达式为：A(ωc)=1或L(ωc)=0dB。穿越频率ωx：开环乃氏图上对应于相位为临界值-180°的点的频率或相频Bode图与-180°临界线的交点频率。表达式为：

φ(ωx)=-180°

。3.稳定裕量定义：在频率特性图中，稳定裕量是指系统的稳定运行点到临界稳定点（临界稳定线）之间的“距离”。在实际工程系统中常用相角裕度γ和幅值裕度h表示。相角裕度量(PhaseMargin)γ：相角稳定裕度的物理意义在于：对于闭环稳定的最小相位系统，在=c处，系统的相角如果再滞后（减小）角度，系统将处于临界稳定状态；减小的角度大于后，系统将不稳定。为了使最小相位系统是稳定的,必须为正值。稳定系统γ

>0,γ越大,系统相对稳定性越高。相位裕度是设计控制系统时的一个重要依据，描述系统的阻尼程度。幅值裕度(PhaseMargin)h：幅值稳定裕度的物理意义为：对于闭环稳定的最小相位系统，若系统在相角穿越频率x处幅值增大h倍，则系统将处于临界稳定状态。稳定系统h>1,h越大，相对稳定性越高。对非最小相位系统，只有γ>0且h>1时，才能判断系统的稳定性。对最小相位系统，有时仅需两者之一即可，一般取γ。乃氏图上的相角裕度与幅值裕度Bode图上的相角裕