哈工程随机信号1

随机信号分析RandomSignalAnalysis哈尔滨工程大学信息与通信工程学院主讲：张雅彬1．掌握概率空间的基本概念；随机变量及其函数的概率分布函数、概率密度函数、特征函数的定义和性质；具有计算随机变量数字特征的能力；了解极限定理和随机序列的收敛。2．掌握随机过程的基本概念；随机过程的平稳性、遍历性的概念、判别方法和主要性质；平稳过程的相关函数性质，熟练掌握平稳随机过程数字特征的相关运算，熟练掌握高斯随机变量、高斯随机过程的概念和性质，熟悉相应的表示方法、参数含义及相关运算。教学基本要求课程概述23．掌握随机过程的功率谱密度、互谱密度的概念和主要性质；了解随机过程的有理谱分解定理，熟练掌握白噪声过程的概念和性质，熟悉相应的表示方法、参数含义及相关运算。4．掌握线性系统的基本理论，熟练运用时域分析法和频域分析法，掌握系统输出的平稳性及其统计特性的计算，白噪声通过线性系统的分析，等效噪声带宽的定义，掌握随机信号通过非线性系统的重要结论。课程概述教学基本要求3

第一章概率论

第一章要点1、概率空间、条件概率空间

全概率公式、贝叶斯公式的应用，统计独立的含义2、随机变量及随机变量函数的分布

关键是在各种函数变换条件下求出相应的雅可比因子3、随机变量的数字特征（1）熟练掌握数学期望、方差、各阶矩的定义和运算性质（2）明确变量之间统计独立、不相关、正交应满足的条件，

差别和联系4、随机变量特征函数的定义和性质

灵活应用随机变量与矩的关系5、高斯随机变量41.1概率空间的概念1．随机试验E

满足下列三个条件的试验称为随机试验(1)在相同条件下可重复进行；(2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确；(3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。定义：2．样本点s随机试验中每一个可能的结果。定义：3．样本空间S随机试验E的所有基本事件组成的集合称为样本空间。定义：5理解：

随机事件是若干个样本点所构成的集合

事件A在这次试验中发生了不可能事件、必然事件、和事件、积事件、差事件、互不相容（互斥）、逆事件（对立）4．随机事件A

在研究某随机问题时，要通过试验E去观察现象（或事件），而所观察的现象往往是由S中的若干样本点所构成的集合，称为随机事件。定义：61.1概率空间的概念

性质

（归一性），若…两两互不相交，

（有限可加性）71.1概率空间的概念1.1.1古典概率

性质

（归一性），若…两两互不相交，

（可列可加性）81.1概率空间的概念1.1.2几何概率1．频数和频率

定义：2．概率定义：事件A发生的概率统计定义理解：事件的频率可以刻画事件发生的可能性大小，但是频率具有随机波动性，对于相同的试验次数

，事件A发生的频率可能不同，n越小，这种波动越大，n越大，波动越小，当n趋于无穷时，频率趋于一个稳定的值，可以把这个稳定的值定义为事件A发生的概率。91.1概率空间的概念1.1.3统计概率概率的公理化定义

（归一性），若…两两互不相交，

101.1概率空间的概念1.1.3统计概率3．概率空间规定一个试验的所有样本点集合构成了样本空间S，在S中一个或若干个样本点的适当集合

，称为事件域，

中每一个集合称为事件。若

，则

就是事件A的概率。称

为概率空间。定义：小结:随机试验随机事件基本事件样本空间样本点古典概率几何概率概率公理化定义概率空间频数频率概率111.1概率空间的概念1.1.3统计概率1.2条件概率与统计独立1.2.1条件概率1.定义：设A、B为随机试验E的两个事件，在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率为2.性质：

若…两两互斥，3.乘法定理：

前提或121.2条件概率与统计独立1.2.2全概率公式设有N个互斥事件

，它们的和为整个S，满足：

（互斥性）

（完备性）则

（全概率公式）

理解：计算复杂事件A发生的概率，A可以在发生的条件下发生，当

不易求，但容易找到S的划分且

和

易知。由因及果131.2条件概率与统计独立1.2.3贝叶斯公式设有N个互斥事件

，为样本空间S的一个划分，且，理解：

（贝叶斯公式）我们把事件A看作某一过程的结果，把看作该过程的若干个原因。根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，若已知事件A已经发生，求此时是由第n个原因引起的概率先验概率转移概率后验概率贝叶斯公式是基于结果推测某种起因的可能性141.2条件概率与统计独立1.2.4统计独立

两事件统计独立（以下任一公式可作为判断公式）理解：两事件互斥：两事件在样本空间上没有交集，即。——是集合范畴的概念两事件统计独立：一个事件发生，不影响另一事件是否发生。

——是概率范畴的概念151.2条件概率与统计独立1.2.4．统计独立

2.三事件统计独立161.3随机变量及其概率分布函数1.3.1随机变量

1.引言<概率问题研究>原样本空间（不同样本类型）

新样本空间（统一样本类型）171.3随机变量及其概率分布函数1.3.1随机变量

2.定义设随机试验E的样本空间为S={s}，如果对于每一个s∈S，有一个实数X(s)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值函数X(s)，称X(s)为随机变量，简记为X。3.表示181.3随机变量及其概率分布函数1.3.2离散型随机变量及其分布列

1.特点全部可能取值是有限个或可列无限多个。可以写出每一个可能取值的概率值2.概率表示——分布列3.性质

X

x1

x2

...

xn

pk

p1

p2

...

pn

191.3随机变量及其概率分布函数1.3.3连续型随机变量及其密度函数

1.特点无限多个可能取值，且连续地占据着整个取值区间。2.概率表示——密度函数（1）定义（2）性质概率密度函数

问题：有没有的约束条件201.3随机变量及其概率分布函数1.3.4分布函数及其性质

1.定义设X为随机变量，为实数，定义为X的概率分布函数，简称分布函数。

21按

的定义，当a<b时，1.3随机变量及其概率分布函数1.3.4分布函数及其性质

2.离散型随机变量分布函数、概率密度

221.3随机变量及其概率分布函数1.3.4分布函数及其性质

3.分布函数性质（1）（2）（3）为非负、单调递增函数231.4多维随机变量及其分布函数1.4.1二维分布函数及其基本性质1、定义2、性质24一、二维分布函数1.4多维随机变量及其分布函数251.4.1二维分布函数及其基本性质1.4多维随机变量及其分布函数二、离散型概率分布函数1、概率表示2、性质3、（X、Y）的联合分布函数261.4.1二维分布函数及其基本性质1.4多维随机变量及其分布函数三、连续型分布函数1、（X、Y）的联合概率密度函数2、（X、Y）的联合分布数271.4.1二维分布函数及其基本性质1.4多维随机变量及其分布函数1.4.2边沿分布二维情况281.4多维随机变量及其分布函数1.4.2边沿分布二维情况29（X、Y）的概率分布表1.4多维随机变量及其分布函数1.4.2边沿分布（连续型随机变量）（离散型随机变量）301.4多维随机变量及其分布函数1.4.2边沿分布三维以上情况31由联合分布能够决定边沿分布由边沿分布不能决定联合分布1.4多维随机变量及其分布函数1.4.3相互独立的随机变量与条件分布321.4多维随机变量及其分布函数1.4.3相互独立的随机变量与条件分布331.4多维随机变量及其分布函数1.4.3相互独立的随机变量与条件分布341.4多维随机变量及其分布函数1.4.3相互独立的随机变量与条件分布35二.条件分布和条件密度函数1.定义B事件条件下1.4多维随机变量及其分布函数1.4.3相互独立的随机变量与条件分布36二.条件分布和条件密度函数2.离散型条件分布3.连续型条件分布a.B事件是b.B事件是1.4多维随机变量及其分布函数1.4.3相互独立的随机变量与条件分布374.随机变量相互独立1.5随机变量函数的分布本节讨论的问题1.4节讨论381.5随机变量函数的分布1.5.1一维随机变量函数的分布1、单调函数的情况单调函数示意图

)(xgy=yxxy0概率密度非负性39概率相等：1.5随机变量函数的分布2、非单调函数的情况（1）一对二值401.5随机变量函数的分布2、非单调函数的情况（2）一对多值其中…雅可比(Jacobi)41

42<例>已知求1.5随机变量函数的分布<例1.11>已知求<例1.12>已知求1.5随机变量函数的分布1.5.2二维随机变量函数的分布仅讨论单值变化的情况431.5随机变量函数的分布441.5随机变量函数的分布451.5随机变量函数的分布（1）（2）（3）（4）461.5随机变量函数的分布1.5.4多维随机变量函数的