金融数学模型市公开课获奖课件

第八章金融数学模型8.1保险需求模型8.2资产组合选择模型8.3资本资产定价模型8.4公司负债合理拟定模型东华理工学院数信学院信息技术系第1页第1页以前总是假定消费者或生产者决议所产生结果是必定而唯一。然而这一点假设是非常脱离实际。如，农场主产量不但取决于他投入多少资本、土地和劳动，并且取决于此后一年中气候情况，这是农场主无法把握。在许多情况下，经济决议人只能预见到自己行为会带来那几种也许结果，以及每一个结果出现也许性。这就是在结果不拟定情况下经济人最优决议问题。保险需求模型

东华理工学院数信学院信息技术系第2页第2页个人看待风险态度：在现实中，能够观测到两种现象：有些人为了减少未来收入和财富不拟定性而到保险公司投保；而另一些人却为了增长生活中不拟定性而进行赌博。∴在世界各地，保险公司与跑马场同样生意兴隆。看待风险态度（风险偏好）：

人类型参与赌博类型是否投保风险规避者（Riskevader）只参与有利赌博投保风险中立者(Riskneutral)也许参与公平赌博必定参与有利赌博无所谓风险兴趣者(Risklover)即使不利赌博也参与不投保东华理工学院数信学院信息技术系第3页第3页如，这种赌博：90%也许赢1万元，10%也许输10元，这种赌博预期收益为：1万元×90%+（－10元）×10%=8，999元远远高于不参与赌博预期收益：零。那么，很少有些人会回绝这种赌博。公平赌博：指预期收益为零或胜负各参半赌博；如：1万元×50%+（-1万元）×50%=0（元）有利赌博：指预期收益不小于零或赢也许性超出二分之一赌博。“公平”保险费率正好与损失发生概率相等。

东华理工学院数信学院信息技术系第4页第4页预期效用及其函数：人们对不拟定情况下收入或消费也应当有一个偏好顺序，如，人们偏好“90%也许赢1万元，10%也许输1千元。”胜过“60%也许赢1万元，40%也许性输100元。”90%×（1万元）+10%×（－1000元）=8,900（元）60%×（1万元）+40%×（－100元）=5,960（元）

那么，如何来排列这种偏好顺序呢？最以便办法就是按“预期效用”（ExpectedUtility）大小来排序。

（

东华理工学院数信学院信息技术系第5页第5页预期效用：取决于各种情况出现概率和相应概率下可享用收入或消费效用。如，若未来也许出现两种状态，状态1和状态2，两种状态出现概率分别为和即只有这两种也许性。C1和C2分别代表状态1和状态2下收入或消费，那么预期效用函数：EU=。其中U(C1)和U(C2)为普通效用函数。预期效用函数EU称为“冯·诺伊曼—摩根斯坦效用函数”（VonNeunaun——MorgensternUtilityFunction），以本世纪美国著名数学家冯·诺伊曼和经济学家奥·摩根斯坦名字命名，他们两人在数学博奕论领域作出了杰出奉献。东华理工学院数信学院信息技术系第6页第6页若消费者普通效用函数为U=LnC则，预期效用函数为：EU=lLnC1+2LnC2若U=C，则预期效用函数为：EU=此时，预期效用等于盼望值。普通地若也许出现n种状态,每一个壮态出现概率为预期效用函数为：EU=EU=

东华理工学院数信学院信息技术系第7页第7页保险市场：风险规避者必定会参与保险，但没有阐明他会投保多少金额，假设他面临损失10,000元风险，那么，他会向保险公司投保10,000元金额，并缴纳相应保险费，还是投保15,000元或5,000元金额？这与保险费率高下以及人们对风险厌恶程度相关。假定您现在拥有财产为W，您面临损失L也许性（如遭窃、失火、生病、住院等），发生损失也许性为,保险费率为r，即您需要支付rk来购买一张金额（最高补偿额）为K保险单。损失没有发生情况为第1种状态，1状态您拥有财产为C1C1=W-rK东华理工学院数信学院信息技术系第8页第8页由于无论损失发生是否，保险费是不退回。损失不幸发生了，为第2种状态，此时，您能从保险公司得到金额为K补偿，您拥有财富为C2=W-L-rK+K2状态发生概率为，1状态出现概率为1-。从保险公司角度来考察，二状态出现，保险公司需支付保险费K；一状态出现，保险公司没有任何支出。但无论那种状态出现，保险公司总能收入保险费rk，假设没有许多人（如10万人）投保，各人之间遭受损失是互相独立，则保险公司从每个投保人身上可得预期利润：东华理工学院数信学院信息技术系第9页第9页即若投保人数n足够大，保险公司平均利润将靠近n从保险公司来看，只要收支能平衡，它就愿意经营这项保险业务，且保险市场上有许多家保险公司，且任何厂商均可自由进出该行业，则保险市场将靠近完全竞争市场，每家保险公司经济利润将被压低到最低程度----零。即保险公司由于激烈竞争会向用户提供完全“公平”保险费率，即等于投保人总体遭受损失概率，即r=,从而利润p=0。

东华理工学院数信学院信息技术系第10页第10页这样简朴化假设并不太离奇，世界上规模大，经营业务广，跨地域多保险公司所提供保险费率都十分靠近“公平”费率，由于大公司更容易做到分散风险，收取“公平”费率就足以应付补偿支出了。甚至连赌场也是如此，大赌场比小赌场更能提供“公平”（预期收益靠近于零）赌博机会。那么，一个风险规避者（riskevader）将如何选择K大小？风险规避者主要特性：在相同盼望值或预期收益下，风险越小，效用水平越高。而投保人盼望财富值EC为：东华理工学院数信学院信息技术系第11页第11页EC=(1-)C1+C2===W-L（)因此盼望值是既定，与投保金额K大小无关。在这种情况下，风险规避者希望使不拟定性降到最低程度。即没有任何风险或不拟定性，这意味着投保人在任何一个状态下，都将拥有相同数量财产，即：C1=C2w-rK=w-L-rK+K得出K=L东华理工学院数信学院信息技术系第12页第12页结论：面临“公平”费率情况下，厌恶风险投保人将对也许遭受损失进行全额保险。如，若投保人面临损失10,000元风险，保险费率为1%，则规避风险投保人会支付100元保险费，购买一张最高补偿额为10,000元保险单。众所周知，保险是风险分担主要手段之一，每个人通过保险公司将自己风险分散到所有相关投保人身上，从而将自己风险降到最低程度。因此，别认为是保险公司真正提供了保险或补偿了损失。在火灾保险情况下，失火风险通过许多面临该风险投保人分担而分散了，是那些出于谨慎投了保而没有遭受火灾人真正为火灾提供了保险，是他们支付保险费，使得保险公司能够在客户提出补偿要求时予以补偿。东华理工学院数信学院信息技术系第13页第13页如使上述模型中保险市场有效运转，需要两个前提条件：首先，分担风险人必须是相互独立。如，在人寿保险中，普通情况下，死亡是一个个别风险，并不组成社会风险，若A君死亡，他可能死于心脏病、癌症或车祸（当代城市三大死亡原因），但他死亡原因反应只是他自己情况，不会增加或降低B君、C君或其它人死亡可能性，因此人寿保险市场能够稳步发展起来。但若流行病很猖劂，情况就不同，若社会死亡率为1%指是某种恶性流行病（如霍乱）暴发流行可能性为1%，且疾病一旦流行人人都有死亡危险，那么这么人寿保险市场将不可能有效运转。东华理工学院数信学院信息技术系第14页第14页再如，一个地方性保险公司是无法独立承担自然灾害保险业务，自然灾害（如台风、洪水、地震）不来则已，一旦发生，区域内无一投保人能幸免，保险公司靠几种百分点保险收入是无法进行补偿。因此风险不是充足独立情况下，保险或分散风险就不起作用。因此许多中小型保险公司还会参与再保险（Reinsurance）。比如，美国著名劳埃德协会（Lloyd's）就是一家保险公司联合组织或保险公司保险公司，风险在组员保险公司之间进一步分散。东华理工学院数信学院信息技术系第15页第15页另一方面，保险市场有效运转要求不存在“败德行为”（Moralhazard）。败德行为：投保后人们做出种种使不利支付发生概率上升或保险公司补偿金额增长行为。如，买了住院保险人病已痊愈而迟迟不愿出院，买了车辆盗窃保险车主将没上锁车随地停放，等等。若存在这些行为，那么，保险公司按本来情况下概率计算保险费率将使保险公司陷于财务危机，这一问题属于“不对称信息”问题。东华理工学院数信学院信息技术系第16页第16页消费者目的是力争效用极大化，因此在选择投资资产时，均值---方差效用函数将成为消费者目的函数。在风险投资市场上，对均值---方差效用函数构成约束条件是什么呢？假定在投资市场上，消费者能够在两种资产中进行选择：一个是无风险资产（Risk---freeasset）,这种资产能够确保投资者得到固定rf作为投资回报率或收益率，如，银行存款为无风险资产；另一个为风险资产，这种资产收益率是事先无法拟定和预知，如，股票收益率取决于股市走向和相关公司经营情况。资产组合选择模型

东华理工学院数信学院信息技术系第17页第17页：第i种状态发生时风险资产收益率；：第i种状态发生概率；：风险资产预期收益或未来收益均值；：相应收益原则差。（相应风险资产收益原则差）若您不是一个走极端投资者，您多半会将财富同时分派在两种资产上，设投入风险资产百分比为X，则，投入无风险资产百分比为1-X。这样一个资产组合（Portfolio）收益均值东华理工学院数信学院信息技术系第18页第18页结论：资产组合预期收益是两种组合资产预期收益加权平均。这一投资组合方差为：

东华理工学院数信学院信息技术系第19页第19页结论：资产组合收益率方差为风险资产收益率方差与风险资产所占百分比平方乘积。

相应原则差为：

在正常情况下，rm应当不小于rf，由于作为风险规避者投资者要求风险资产含有比无风险资产更高收益率，即rm>rf，因此在资产组合中，风险资产百分比X越高，预期收益率越高，但未来收益不拟定性或风险也会相应增大。

（

东华理工学院数信学院信息技术系第20页第20页

资产组合均衡点为无差别曲线与预算约束线切点，此时风险与收益边际替换率等于风险价格。均值（）标准差（）

图：资产组合选择东华理工学院数信学院信息技术系第21页第21页

横轴表示资产组合收益原则差，纵轴表示均值，若投资者将所有资产投入风险资产，即X=1，那么均值---原则差组合为，即图中B点；反之，若投资者将所有资产投入无风险资产，即X=0，那么资产组合均值---原则差为（rf,O），即A点。若0<X<1，投资者改变无风险资产和风险资产投资比重，相应资产组合均值---原则差即为图中AB连线上一点。A、B两点决定直线方程为：东华理工学院数信学院信息技术系第22页第22页

将

以及代入（1）式等号成立，因此AB线即为所求预算约束线。按照均值——方差效用函数，在图中可画出无差别曲线U1、U2，每一条无差别曲线代表效用水平既定期各种均值——原则差也许组合。假设人们总体上是厌恶风险，因此原则差代表风险是一个“负商品”，且从右下方往左上方向无差别曲线代表效用水平越来越高。东华理工学院数信学院信息技术系第23页第23页原则差增长是一个“负商品“，那么原则差减少即为“正常商品”，或者直观说，由于人们厌恶风险，伴随风险程度（原则差）提升，人们要求预期效益更大幅度提升来补偿原则差单位水平上升。有了预算约束线和无差别曲线，便能找到“最佳”投资资产组合，即图中E点，无差别曲线斜率与预算约束线斜率相等，这一斜率称为风险价格，（风险价格：风险与收益在资产选择中能够此消彼长互相关系，或两者之间互换比率）东华理工学院数信学院信息技术系第24页第24页因此风险价格P=从消费者理论可知，这一价格即为无差别曲线在E点边际替换率，即在E点成立下式：即无差别曲线在E点切线斜率。MRS=（MarginalRateofSubstitution）东华理工学院数信学院信息技术系第25页第25页若风险资产市场上有许多投资者，不论各人无差异曲线形状怎样，达到均衡时每个投资者风险与收益边际替换率都应该相等，即，当人们能够自由地经过风险资产市场互换风险时，市场上只有一个风险价格，从这个角度看，风险与普通商品并无不同。因此风险资产定价，就是以风险价格为依据。东华理工学院数信学院信息技术系第26页第26页

要给某一个风险资产定价，除了需要知道风险价格之外，还需要知道这种资产“含有”多少风险？若风险资产市场上有不止一个风险资产，就不能简朴地用某一个风险资产原则来衡量风险。比如，假设有两个公司股票，A公司为石油生产公司，而B公司为以石油作为主要投入公司，未来两种股票价格都只有两种也许，取决于未来油价是高是低：资本资产定价模型

东华理工学院数信学院信息技术系第27页第27页油价高油价低股票A10元2元股票B2元10元股票A高价位总是伴伴随B低价位，则称这两种股票是负相关（Negativelycorrelated）。假设未来油价高、低也许性各占二分之一，则每种股票盼望值都为6元。若在存在各种风险资产可供选择，某一个资产价格并不完全取决于本身风险大小，而是取决于这种资产与别资产价格改变之间相关关系。为了便于衡量某一个资产相对风险程度，引入了一个系数，某种股票值就是该股票相对于整个市场风险程度，即第i种股票值为

东华理工学院数信学院信息技术系第28页第28页=………………（1）

股票β值收益率

繁荣普通萧条市场平均104-2Β>1资产1610-8Β=1资产104-20<Β<1资产531Β<0资产235

东华理工学院数信学院信息技术系第29页第29页

若股票值为1，则该股票与整个股市相同，若股市指数上升10%，它也应大体上升10%，若β值不小于1，那么，该股票与大市同涨同跌，但幅度要大得多；若0<β<1，则该股票与大市相比涨跌幅度要小一些；若β<0，那么该股票是“逆经济风向”，其收益率波动方向与大市相反。

有了β系数，便能够分析风险资产选择均衡，当市场达到均衡时，所有资产经风险程度调整后，或清除风险原因后，收益率应当相等.。

问题关键在于，如何调整风险值？（

东华理工学院数信学院信息技术系第30页第30页∵风险价格P=

某一个风险资产i相对于整个市场风险度为βi，而整个市场风险度为其原则差σm，因此第i种资产风险总量应为：βiσm（由（1）式可得）。因此第i种资产风险调整值=风险价格与风险总量乘积，即，风险调整值=因此若有两种风险资产i和j，其预期收益为和，β值为和，东华理工学院数信学院信息技术系第31页第31页下式应成立：即，两种资产预期收益率经风险调整值调整后应相等，不然，没有些人会购买调整后收益率底风险资产。并且，风险资产清除风险原因后其收益率应与无风险资产收益率相等，即：

整理后可得：……………..(2)东华理工学院数信学院信息技术系第32页第32页（2）式这普通性结论，即，任何一个风险资产均衡收益率能够分成两部分，一部分为无风险资产应有收益率，另一部分为“风险溢价”（Riskpremium），即按照该资产风险大小而定风险调整值，它表示为了让人们承担风险而必须予以补偿。这一结论称为资本资产定价模型（CapitalAssetpricingModel，

“CAPM”），即：这一模型是本世纪50、60年代一些证券分析家及研究人员提出来，如美国马柯维兹（Markowity）最早提出了当代投资组合理论，东华理工学院数信学院信息技术系第33页第33页在其基础上由夏普（williamF.sharpe）。林特纳(Johnlintner)和莫辛（Janmossin）发展了资本市场理论，建立起资本资产定价模型。这一结论能够用图象表示。横轴表示β值，纵轴表示预期收益率，则，所有均值点都在一条直线上，其纵截距为，斜率为：，这条直线称为“市场线”（Marketline）预期收益率（ri）

Arm

rf01L:ri=rf+βi(rm-rf)市场线(斜率=rm-rf)β值东华理工学院数信学院信息技术系第34页第34页市场线”代表了市场均衡条件下预期收益和市场风险之间存在线性关系。图：风险资产市场线若某一个资产预期收益和β值不在市场线上，如，在市场线L上方A点处，以股票为例，假定某种股票当期不发红利或红利能够忽略不计，那么该股票预期收益率为预期下期价格相对于当前价格上涨率：即，由于A点在市场线L上方，∴东华理工学院数信学院信息技术系第35页第35页因此购买这种股票将是十分有利可图，由于经风险值调整后，该股票预期收益率要高于市场上其它股票，即，该股票当前价格P0被低估了。一旦人们发觉了这种股票都会抢着购买，于是该股票价格P0会被提升，相应地，

会下降，直至A点回到市场线上。众所周知，在股票市场上，许多专家和投机者都在寻找位于市场线上方股票，因此在一个高效率，或充足信息市场上，将不会出现股票价格被高估或被低估情况。东华理工学院数信学院信息技术系第36页第36页当然，这一模型前提是人们对所有资产风险都有统一结识，不然，该模型要复杂得多。“资本资产定价模型”假定投资者可在下列资产中进行选择：无风险资产以及几种风险资产，其预期收益分别为，若投入每一个资产百分比为则组合资产预期收益和方差分别为：R=东华理工学院数信学院信息技术系第37页第37页（为资产i与资产j收益协方差（i≠j），或第I种资产收益方差（i=j））资产组合选择就是要处理下面条件极值：东华理工学院数信学院信息技术系第38页第38页此处并不要求＞0，即允许对任何一个资产买空卖空。建立拉格朗日函数：L=

若在几种可供选择风险资产中，有一个是互助基金，且这一基金是均值---方差最优，即本身就符合（1）式一阶条件，东华理工学院数信学院信息技术系第39页第39页令这一资产为第种资产，那么投资方式也是最优。在（1）式中，，从而第i个一阶条件变成：由（1）式得2在（2）式中，当i=0时，由（2）式得：当i=e时，，即资产e方差由（2）可得，

东华理工学院数信学院信息技术系第40页第40页

⑷-⑶

将（5）代入（3）

将（5）、（6）代入（2）得：假设在基金e中，第i种资产所占百分比为，则。

东华理工学院数信学院信息技术系第41页第41页设有m位投资者，：第K位投资者投入风险资产财富；：第K位投资者购买风险资产i数量；

：单位风险资产i价格。

则……(8)…..(9)东华理工学院数信学院信息技术系第42页第42页由（9）式，可知，风险资产市场总值：；

风险资产i市场总值：。

：风险资产i在风险资产总值中所占比重。

因此（7）式可写成：

(10)式中下标为m：市场总体，令东华理工学院数信学院信息技术系第43页第43页“资本资产定价模型”为：

值真正含义：某一个资产i收益和市场收益协方差与市场收益方差之比。比如，某种股票

值为1.5,市场平均收益率为10%，无风险资产收益率为5%。（1）按照CAPM，这种股票预期收益应达到多少？（2）若预计此种股票未来价格将为100元，当前市场价格为多少？CAPM（capitalassetpricingmodel）东华理工学院数信学院信息技术系第44页第44页

由题意可知：

即，这种股票预期收益为12.5%；

(2)由

其中，E（P1）：预期股票未来价格；P0：股票当前价格。因此由题意可知：E（P1）=100元，Ri=12.5%解：（1）由CAPM理论可得：东华理工学院数信学院信息技术系第45页第45页

即，这种股票当前市场价格为88.89元。

东华理工学院数信学院信息技术系第46页第46页负债经营是市场经济条件下，公司为寻求经济效益极大化，实现规模经营而普遍采用一个经营方式。公司负债有一个“度”问题，适度负债能够给公司带来好处，增进公司发展；而过度负债则也许使公司陷入困境，甚至破产。当前，我国所有独立核实国有工业公司负债率为75%，而西方国家公司负债率在45%~60%之间，与此相比，我国工业公司负债率明显偏高。因此负债率过高是影响国有公司活动一个主要原因。公司负债率合理拟定模型

东华理工学院数信学院信息技术系第47页第47页国家和各级政府为帮助公司减轻债务承担，采用了一系列政策办法。因此研究公司负债率合理拟定模型，在当前含有主要现实意义。设：m：利润总额；m：利息支出；k：所有者权益；k：负债总额；k：资产总额；：资产负债率；R：总资产报酬率；r：净资产收益率；i：债务利息率。由此可得下列方程：东华理工学院数信学院信息技术系第48页第48页由总资产报酬率公式，即（3）。由(4)东华理工学院数信学院信息技术系第49页第49页R=

由于公司经营主要目的是取得满意利润（m），就一个详细公司而言，其所有者权益（）在一时刻也是一定，因此公司所追求主要目的就是取得满意净资产收益率（r）。

由（6）式可得：净资产收益率模型r=(R-……(7)

由（7）式可知影响影响公司净资产收益率（r）主要原因有三个：一是总资产报酬率（R）；二是资产负债率（b）；三是债务利息率（i）（

东华理工学院数信学院信息技术系第50页第50页令R-i=△则R=i+△i=R-△将其代入（7）式得，或r=以上（7）（8）（9）三式是完全等价。对净资产收益率模型（7）进行讨论：东华理工学院数信学院信息技术系第51页第51页当△=R-i>0时，即总资产报酬率（R）高于债务利息率（i）,由（8）式可知，当△>0，即R>i时。资产负债率()越高，则净资产收益率（r）也越高。如图1所表示 （%）图1：——β曲线（△>0）东华理工学院数信学院信息技术系第52页第52页当△=R-i<0，即R<i时，总资产报酬率（R）低于债务利息率（i）时，资产负债率()越高，则净资产收益率（r）越低。如图2所表示图2:——β曲线（△<0）

东华理工学院数信学院信息技术系第53页第53页当负债率时，净资产收益率r>0,此时，公司有利可图（>0）当资产负债率时，净资产收益率r