8-3空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过_________________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有_____公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.两点不在同一条直线上一个2．空间点、直线、平面之间的位置关系3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线_________．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角___________.互相平行相等或互补4．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．锐角(或直角)【知识拓展】

1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(

)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(

)(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(

)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(

)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(

)【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

1．下列命题正确的个数为(

)①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0

B．1C．2 D．3【解析】

②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．【答案】

C2．在下列命题中，不是公理的是(

)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【解析】

选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的．【答案】

A3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(

)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】

由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．【答案】

C4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．题型一平面基本性质的应用【例1】

(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件【解析】

若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.【答案】

A②易知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH，EG，AC共点．【思维升华】

共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1

如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．【证明】

(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．题型二判断空间两直线的位置关系【例2】

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．【解析】

直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．【答案】

③④【思维升华】

跟踪训练2(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3(2)(2018·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是(

)A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交C．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交【解析】

(1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．(2)如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．【答案】

(1)B

(2)C题型三求两条异面直线所成的角【例3】

如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．【解析】

(1)证明

假设AE与PB共面，设此平面为α.因为A∈α，B∈α，E∈α，所以平面α