人教版 初中数学八年级上册 12.3.1角的平分线的性质 第二课时

角平分线的性质第二课时

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1

再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）情境问题（对折后的折痕是这个角的平分线）这说明：活动2情境问题

把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

（再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的）．角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．活动3合作探究

折出如图所示的折痕PD、PE画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？探究角平分线的性质

将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形活动4

猜想:

角的平分线上的点

到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠AOB（已知）

∴∠1=∠2（角平分线的定义）

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已证）

∠1=∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线的性质活动5验证猜想角平分线上的点到角两边的距离相等。得到角平分线的性质：活动6

利用此性质怎样书写推理过程?PAOBCED12用数学语言表述：∵∠1=∠2,

∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路实践应用(1)解：设500米的图上距离为X厘米

ABC

然后从O点起在射线OC上取2.5厘米处即为建集贸市场处。1：20000=X:50000X=2.5厘米

作∠AOB的角平分线OC(如图）

思考：那么到角的两边距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？猜想:PAOBCED12活动7到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.？

证明：

PAOBCED12已知：如图，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E且PE=PD求证:∠1=∠2探究角平分线的性质活动8验证猜想∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）

在Rt△PDO和Rt△PEO中PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴

△PDO≌△PEO（HL）∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。得到与角平分线有关的另一个性质：活动9

利用此性质怎样书写推理过程?PAOBCED12用数学语言表述：∵PD⊥OA，PE⊥OBPD=PE∴∠1=∠2

如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF实践应用(2)

分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！证明：∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE(角平分线的性质）

在Rt△DCF和Rt△DEB中DC=DEDF=DB(已知）∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL)∴CF=BE(全等三角形的对应边相等）3.△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．实践应用(3)证明：过P点作PD⊥ABPE⊥BCPF⊥AC垂足分别为D.E.F点∵BM平分∠ABC,∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

随堂练习BOAC·DPE1.如图，OC是∠AOB的平分线，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。EDCBA回顾与小结1.角平分线的性质1：

2.与角平分线有关的性质：

PAOBCED12角平分线上的点到角两边的距离相等。

∴∠1=∠2,

用数学语言表述：∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴P