2021年内蒙古呼和浩特市中考数学一模试卷(附答案详解)

2021年内蒙古呼和浩特市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）若一个数的倒数等于它本身，则这个数( )A.1 B.−1 C.0 D.1−14月24日是中国航天.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应( )．A.0.439×106 B.4.39×106 C.4.39×105 D.439×103下列计算正确的( )A.𝑥2⋅𝑥3=𝑥6

B.(𝑥2−1)÷𝑥=𝑥−1𝑥C.𝑥2+𝑥+1=(𝑥+1)2+1

D.

+

=−12 4

𝑦−𝑥一个物体的三视图如图所示根据图中的数据可这个物体的侧面积( )A.24𝜋𝑐𝑚2B.12𝜋𝑐𝑚2C.60𝜋𝑐𝑚2D.44𝜋𝑐𝑚2在一次古诗词诵读比赛中，五位评委给某选手打分，得到互不相等的五个分数，去掉一个最高分，平均分为a；若去掉一个最低分，平均分为c；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分𝑚.则a，c，m的大小关系正确的( )A.𝑐>𝑚>𝑎 B.𝑎>𝑚>𝑐 C.𝑐>𝑎>𝑚 D.𝑚>𝑐>𝑎在△𝐴𝐵𝐶中，若一个内角等于另外两个内角的差，( )30°C.必有一个内角等于60°

B.45°D.90°已知正比例函的图象与反比例函的图象相交于𝐴(2,4)，下面四个判断正确的( )2 ①𝑦𝑦=−2 𝑥②两个函数图象还有另一交点，且坐标为(−2,−4)③当𝑥<−2或0<𝑥<2时，𝑦1<𝑦2④正比例函数𝑦1与反比例函数𝑦2都随x的增大而增大第1页，共23页1个 B.2个 C.3个 D.4个8. 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角𝐵𝐷//𝑥轴，𝐴(1,0)，𝐷(0,2)，若点B在第一象限，则对角线AC与BD的交点M的坐标( )A.(1.5,2) B.(2.5,2) C.(√5,2) D.(2,√5)9. 𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐(𝑎>0)𝐴(𝑚𝑦1)，𝐵(𝑛,𝑦2)，=𝑦2，则𝑃(𝑚,𝑛)可能在下列哪个一次函数图象( )A. B.C. D.10.当𝑚≥2时，关于代数√𝑚−1−𝑚−3，以下判断正确的( )−3C.有最大值，最大值为−4二、填空题（618.0分11.分解因式：𝑥3−169𝑥= ．

154D.有最小值，最小值为−174.已知关于x𝑥2−𝑥−𝑎2=121+𝑥= ；若1+1=−8，𝑎= ．2

𝑥1.CD⊙𝑂的直径ABH𝐷=2√𝐷=√3，则AB的长为 ．𝐴𝐵𝐶𝐴=36°，点DAC上，连接BD，线段BDBC的长相等，𝐵𝐶=6，𝐴𝐷= ；若𝐴𝐵=6，𝐴𝐷= ．第2页，共23页继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加会实践活动的人数人．ABCD2BDP是线段AD延长线上的一个动点，∠𝑃𝐵𝑄=45°，点Q是BQ与线段CD延长线的交点，当BD平分∠𝑃𝐵𝑄时，PD 𝑄𝐷(填“>”“<BD不平分∠𝑃𝐵𝑄时，𝑃𝐷⋅𝑄𝐷= ．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）计算求解(1)计算√75×√1+(−1)−1−|√2−2|−√3𝑡𝑎𝑛60°．3 2(2)先化简1÷(𝑥2+1−𝑥+1)，然后令𝑥=−3，再求出它的值．𝑥 𝑥+1 2四、解答题（本大题共7小题，共62.0分）𝑥+𝑦=−7−𝑚{𝑥𝑦=1+3𝑚x为负数．m的取值范围．mm2𝑚𝑥𝑥2𝑚1的解为𝑥1．第3页，共23页如图，ABCDACBDEGADCGBAFFD．(1)求证：△𝐴𝐺𝐹≌△𝐷𝐶𝐺；(2)若𝐴𝐺=𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐷=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．⋅托尔斯泰这位文学巨匠逝世后，一道关于他的算题悄然传开，伟大的文学82192062结合自己对世纪等常识的了解，算出托尔斯泰生于哪一年，逝世于哪一年．50(百分制)进行整理描述和分析，部分信息如图表．𝑏.七、八年级成绩的平均数、中位数如表：第4页，共23页年级 平均七 76.9八 79.2

中位数m79.5𝑐.七年级成绩在70≤𝑥<80这一组的是：7072747576767777777879根据以上信息，回答下列问题：在这次测试中，七年级在80分以(含80)的人，并写出表中m值；在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两名学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；5060分的学生，其中有两名女生，若从这62人，求选到的两个人是一男一女的概率．BA45°CABAB45°D处，它沿正北方向航行18.5𝑘𝑚ECE70°EA有多远？(参考数据：𝑠𝑖𝑛70°≈0.94，𝑐𝑜𝑠70°≈0.34，𝑡𝑎𝑛70°≈2.75)第5页，共23页第第9页，共23页东十东十ADCA△𝐶AB⊙𝑂交AC于点，BD，∠𝐶𝐵𝐷𝑂EAC于点F𝐴𝐹=𝐴𝐵．CA(1)求证：𝐵𝐶2=𝐶𝐷⋅𝐶𝐴；(2)若tan∠𝐹𝐵𝐶=1，𝐷𝐹=2，求⊙𝑂的半径．324.已知在平面直角坐标系中，设二次函数𝑦1=𝑥2+𝑏𝑥+𝑎，𝑦2=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1(𝑎、b是实数，𝑎≠0)．(1)若函数𝑦1的对称轴为直线𝑥=3，且函数𝑦1的图象经过点(𝑎,−6)，求函数𝑦1的表达式；1 (2)若函数𝑦的图象经过点(𝑟,0)，其中𝑟≠0，求证：函数𝑦的图象经过点(1,0)；1 𝑟(3)设函数𝑦1和函数𝑦2的最小值分别为m和n，若𝑚+𝑛=0，求m、n的值．答案和解析D【解析】解：一个数的倒数等于它本身，则这个数为±1．故选：D．−11的倒数等于它们本身．1C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，nan的值．科学记数法的表示形𝑎×10𝑛1≤|𝑎|<10，nnan≥n<1时，n是负数．【解答】4390004.39105．故选：C．D【解析】解：A、𝑥2⋅𝑥3=𝑥5，此选项错误，不符合题意；B、(𝑥2−1)÷𝑥=𝑥−1，此选项错误，不符合题意；𝑥 𝑥2C、𝑥2+𝑥+1=(𝑥+1)2+3，此选项错误，不符合题意；2 4D、𝑦+𝑥−𝑦

𝑥𝑦−𝑥

=−1，此选项正确，符合题意．故选：D．按同底数幂乘法法则，分式混合运算法则，配方法进行运算，看结果是否正确即可．个式子的值是解此题的关键．C【解析】解：由左视图和主视图可得该物体为圆锥体且其高为ℎ=8𝑐𝑚，由俯视图得到圆锥体的底面圆半径为𝑟=12×1=6(𝑐𝑚)，2∴圆锥体的母线长为𝑙=√𝑟2+ℎ2=√62+82=10(𝑐𝑚)，，∴圆锥体的侧面积为=𝜋𝑟𝑙=6×10𝜋=60𝜋(𝑐𝑚2)，侧故选：C．ℎ=8𝑐𝑚𝑟=𝑚𝑆侧=求解．本题考查了一个物体三视图(主视图，左视图，俯视图)的基本概念，由三视图得到圆锥体的高以及底面圆的半径是解本题的关键．A【解析】解：由题意可得，aam，ccm，故𝑐>𝑚>𝑎，故选：A．a，c，m的大小关系，从而可以解答本题．D【解析】【分析】180°.∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°，把∠𝐴=∠𝐶−∠𝐵代入求出∠𝐶即可．【解答】解：∵∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°，∠𝐴=∠𝐶−∠𝐵，∴2∠𝐶=180°，∴∠𝐶=90°，∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故选：D．B【解析】解：由正比例函数𝑦1的图象与反比例函数𝑦2的图象相交于点𝐴(2,4)，可求出，1 𝑦=2𝑥，𝑦=81 𝑥不正确；(−2,②正确；𝑥<−2或0<𝑥<2<𝑦2，③正确；x④不正确；综上所述，正确的有②③，有两个，故选：B．根据正比例函数𝑦1的图象与反比例函数𝑦2的图象相交于点𝐴(2,4)，可求出两个函数关系式，再根据图象和性质进行判断即可．数的图象和性质是正确判断的关键．B【解析】解：设点B的坐标为(𝑎,2)(𝑎>0)，过点B作𝐵𝐸⊥𝑥轴交x轴于点E，如图，𝐸=𝐷=𝑎𝐷=𝐸=2，第10页，共23页第第13页，共23页∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐴𝑂𝐷=90°，∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐴𝐵𝐸=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠𝐷𝐴𝐵=90°，∴∠𝐷𝐴𝑂+∠𝐵𝐴𝐸=90°，∴∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐴𝐵𝐸，∴△𝐴𝑂𝐷∽△𝐵𝐸𝐴，∴𝑂𝐷=𝑂𝐴，𝐴𝐸 𝐵𝐸∵𝐴(1,0)，∴𝑂𝐴=1，𝐴𝐸=𝑎−1，∴2𝑎−1

=1，2∴𝑎=5，∴𝑀点的坐标为(0+5,2)，2即M点的坐标为(2.5,2)，故选：B．设点B的坐标为(𝑎,2)(𝑎>0)，过点B作𝐵𝐸⊥𝑥轴交x轴于点E，利用矩形的性质判定𝐴𝑂𝐷∽△𝐵𝐸𝐴aM的坐标．①根据题意画出图形，②利用矩形的性质判定△𝐴𝑂𝐷∽△𝐵𝐸𝐴．B【解析】解：若𝑦1=𝑦2，则𝑎𝑚2−2𝑎𝑚+𝑐=𝑎𝑛2−2𝑎𝑛+𝑐，则𝑎(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)=2𝑎(𝑚−𝑛)，∵𝑎>0，且A，B不重合，∴𝑚≠𝑛，∴𝑚+𝑛=2，∴𝑛=−𝑚+2，∵−1<0，2>0，∴点𝑃(𝑚,𝑛)可能在第一、二、四象限，故选：B．根据𝑦1=𝑦2，得到𝑎𝑚2−2𝑎𝑚+𝑐=𝑎𝑛2−2𝑎𝑛+𝑐，化简得𝑛=−𝑚+2，再结合一次函数的性质即可判断．特征，二次函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数图象及其性质．C【解析】解：设√𝑚−1=𝑡，∴√𝑚−1−𝑚−3=√𝑚−1−(𝑚−1)−4=𝑡−𝑡2−4=−(𝑡−1)2−15，2 4∵𝑚≥2，∴𝑡=√𝑚−1≥1，∴𝑡−1≥1，2 2∴−(𝑡−1)2≤−1，2 4∴√𝑚−1−𝑚−3≤−1−15=−4，4 4∴有最大值，最大值为−4，故选：C．设√𝑚−1=𝑡，利用换元法将代数式√𝑚−1−𝑚−3化为𝑡−𝑡2−4=−(𝑡−1)2−15，2 4结合𝑚≥2可得𝑡≥1，代入配方后的式子计算可求解．本题主要考查用配方法求函数的最值，利用换元法将代数式进行配方是解题的关键．11.【答案】𝑥(𝑥+13)(𝑥−13)【解析】解：𝑥3−169𝑥=𝑥(𝑥2−169)=𝑥(𝑥+13)(𝑥−13)．故答案为：𝑥(𝑥+13)(𝑥−13)．先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可．本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．212【解析】解：∵关于x的一元二次方程𝑥2−2𝑥−𝑎2=0有两个不相等的实数根，∴𝛥=(−2)2+4𝑎2>0．∴𝑎是任意实数．根据题意知，𝑥1+𝑥2=2，𝑥1⋅𝑥2=−𝑎2，则由1+1

=−8得：𝑥1+𝑥2=

2=−8．𝑥2 𝑥1

𝑥1⋅𝑥2

−𝑎2解得𝑎=±1．2故答案是：2；±1．2根据根与系数的关系求得：𝑥1+𝑥2=2，𝑥1⋅𝑥2=𝑎2，然后将其代入所求的代数式求值即可．𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)+𝑥=−𝑏，𝑥1⋅𝑥2=𝑐．2 𝑎 𝑎3【解析】【分析】本题主要考查：垂径定理、勾股定理或相交弦定理．是基础知识要熟练掌握．根据垂径定理和相交弦定理求解．【解答】解：由垂径定理得𝐻𝐷=√2，由勾股定理得𝐻𝐵=1，设圆O的半径为R，在𝑅𝑡△𝑂𝐷𝐻中，则𝑅2=(√2)2+(𝑅−1)2，由此得2𝑅=3，或由相交弦定理得(√2)2=1×(2𝑅−1)，由此得2𝑅=3，所以𝐴𝐵=3．故答案为：3．14.【答案】63√5−3【解析】解：如图，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，顶角𝐴=36°∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=72°，∵𝐵𝐶=𝐵𝐷，∴∠𝐶=∠𝐵𝐷𝐶=72°，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐴=72°−36°=36°，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，∵𝐵𝐶=6，∴𝐴𝐷=6；∵∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，∴△𝐵𝐶𝐷∽△𝐴𝐶𝐵，∴𝐵𝐶=𝐶𝐷，𝐴𝐶 𝐵𝐶设𝐵𝐶=𝐵𝐷=𝐴𝐷=𝑥，则𝐶𝐷=6−𝑥，∴𝑥=6−𝑥，6 𝑥解得𝑥=−3+3√5(负值舍去)，∴𝐴𝐷=3√5−3．故答案为6；3√5−3．𝐵𝐶=𝐵𝐷=𝐵𝐶𝐷∽△𝐵𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐶=𝐵𝐷=𝐴𝐷=𝑥𝐶𝐷=6−𝑥𝑥=6−𝑥，解方程可得出答案．

𝐴𝐶

𝐵𝐶

6 𝑥本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△𝐵𝐶𝐷∽△𝐴𝐶𝐵是解题的关键．8第14页，共23页第第17页，共23页【解析】解：由题可知每人每天除草量是一定的，x0.5𝑥𝑦，下午在大片草地除草量为0.5×0.5𝑥𝑦，下午在小片草地除草量为0.5×0.5𝑥𝑦，一个人刚好把剩下一块的小片地除完则为y，又因为大片地的面积是小片地的2倍，列出方程，0.5𝑥𝑦+0.5×0.5𝑥𝑦=2×(0.5×0.5𝑥𝑦+𝑦)，0.5𝑥𝑦+0.25𝑥𝑦=0.5𝑥𝑦+2𝑦，0.75𝑥𝑦−0.5𝑥𝑦=2𝑦，0.25𝑥𝑦=2𝑦，0.25𝑥=2，𝑥=8．答：此次参加社会实践活动的人数为8人．故答案为：8．x人，每人每天除草量为𝑦5×𝑦，0.5×0.5𝑥𝑦，一个人刚好把剩下一块的小片地除完则为y，又因为大片草地的面积是小片草地的2倍，列出方程解答即可．xy，根据题意找到关系即可解答．=8【解析】解：①当BD平分∠𝑃𝐵𝑄时，∵∠𝑃𝐵𝑄=45°，∴∠𝑄𝐵𝐷=∠𝑃𝐵𝐷=22.5°，∵四边形ABCD是正方形，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴=∠𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=45°，∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝑄=22.5°+45°=67.5°，在△𝐴𝐵𝑃和△𝐶𝐵𝑄中，∠𝐴=∠𝐶∵{𝐴𝐵=𝐵𝐶 ，∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝑄∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐵𝑄(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐵𝑃=𝐵𝑄，在△𝑄𝐵𝐷和△𝑃𝐵𝐷中，𝐵𝑄=𝐵𝑃∵{∠𝑄𝐵𝐷=∠𝑃𝐵𝐷，𝐵𝐷=𝐵𝐷∴△𝑄𝐵𝐷≌△𝑃𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)，∴𝑃𝐷=𝑄𝐷；②当BD不平分∠𝑃𝐵𝑄时，∵𝐴𝐵//𝐶𝑄，∴∠𝐴𝐵𝑄=∠𝐶𝑄𝐵，∵∠𝑄𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝑃=∠𝑄𝐵𝐷+∠𝐴𝐵𝑄=45°，∴∠𝐷𝐵𝑃=∠𝐴𝐵𝑄=∠𝐶𝑄𝐵，∵∠𝐵𝐷𝑄=∠𝐴𝐷𝑄+∠𝐴𝐷𝐵=90°+45°=135°，∠𝐵𝐷𝑃=∠𝐶𝐷𝑃+∠𝐵𝐷𝐶=90°+45°=135°，∴∠𝐵𝐷𝑄=∠𝐵𝐷𝑃，∴△𝐵𝑄𝐷∽△𝑃𝐵𝐷，∴𝐵𝐷=𝑄𝐷，𝑃𝐷 𝐵𝐷∴𝑃𝐷⋅𝑄𝐷=𝐵𝐷2=22+22=8，故答案为：=，8．①当BD平分∠𝑃𝐵𝑄时，证明△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐵𝑄和△𝑄𝐵𝐷≌△𝑃𝐵𝐷，可得结论；②当BD不平分∠𝑃𝐵𝑄时，证明△𝐵𝑄𝐷∽△𝑃𝐵𝐷，列比例式可得结论．本题考查了正方形性质，全等、相似三角形的性质和判定，勾股定理，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，第二问有难度，证明△𝐵𝑄𝐷∽△𝑃𝐵𝐷是关键．17.【答案】解：(1)原式=5√3×√3+(−2)−(2−√2)−√3×√33=5−2−2+√2−3=√2−2；(2)原式=1÷[𝑥2+1−(𝑥−1)(𝑥+1)]𝑥 𝑥+1=1÷𝑥2+1−𝑥2+1

𝑥+1𝑥 𝑥+1=1⋅𝑥1𝑥 2=𝑥1，2𝑥当𝑥=−3时，2原式=

−31 −122 = =1．22×(−3) −3 62【解析】(1)先化简二次根式，负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减；(2)先算小括号里面的，再算小括号外面的，最后代入求值．本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握二次根式和分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．18.

(1)

𝑥 𝑦=−7−𝑚 𝑥=𝑚−3【答案】解：

解方程{𝑥−𝑦=1 3𝑚，得：{𝑦=−2𝑚−4，根据题意，得：根据题意，得：−2𝑚−4<0，解得−2<𝑚≤3；(2)由(2𝑚 1)𝑥<2𝑚 1的解𝑥>1知2𝑚 1<0，解得𝑚<−1，2则在−2<𝑚<−1中整数−1符合题意．2【解析】(1)解方程组得出x、y，由x为非正数，y为负数列出不等式组，解之可得；(2)由不等式的性质求出m的范围，结合(1)中所求范围可得答案．本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．(1)证明：∵ABCD是平行四边形，∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐴，∵点G是AD的中点，∴𝐺𝐴=𝐺𝐷，在△𝐴𝐺𝐹和△𝐷𝐺𝐶中∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐶𝐷𝐺{𝐴𝐺=𝐷𝐺 ，∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐶𝐺𝐹∴△𝐴𝐺𝐹≌△𝐷𝐺𝐶(𝐴𝑆𝐴)；(2)解：四边形ACDF是矩形．理由：∵△𝐴𝐺𝐹≌△𝐷𝐺𝐶，∴𝐴𝐹=𝐶𝐷，又∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴ACDF平行四边形，∵ABCD是平行四边形，∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，∴𝐴𝐵=𝐴𝐹，又∵𝐴𝐺=𝐴𝐵，∴𝐴𝐺=𝐴𝐹，∴𝐴𝐵=𝐴𝐺=𝐴𝐹，∵四边形ABCD是平行四边形，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=120°∴∠𝐹𝐴𝐺=60°，∴△𝐴𝐹𝐺是等边三角形，∴𝐴𝐺=𝐺𝐹，∵△𝐴𝐺𝐹≌△𝐷𝐺𝐶，∴𝐹𝐺=𝐶𝐺，∵𝐴𝐺=𝐺𝐷，∴𝐴𝐷=𝐶𝐹，∴四边形ACDF是矩形．【解析】(1)直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出答案；(2)利用平行四边形的判定与性质结合全等三角形的性质得出𝐹𝐺=𝐶𝐺，再利用矩形的判定方法得出答案．此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、矩形的判定方第18页，共23页法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．20x19(62𝑥)+62𝑥=82，解得：𝑥=10，∴201019721900−72=1828，1828+82=1910．18281910年．1828191020x19(62𝑥)x的值，即可确定出托尔泰出生年份，从而可得出逝世年份．找出合适的等量关系列出方程，再求解．21.【答案】2377.5解：(1)80(80)158=23()，50252625267778，∴𝑚=77+78=77.5，2故答案为：23、77.5；甲学生在该年级的排名更靠前，∵七年级学生甲的成绩大于中位数77.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，∴甲学生在该年级的排名更靠前．2A、B，4CD、E、画树状图如图：第19页，共23页共有30种等可能的结果，选到的两个人是一男一女的结果有16种，∴选到的两个人是一男一女的概率为16=8．30 1570≤𝑥<80m的值；将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；30种等可能的结果，选到的两个人是一男一女的结果有16由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图和中位数的意义．22.【答案】解：如图，过点B作𝐵𝑀⊥𝐴𝐷，垂足为M，过点C作𝐶𝑁⊥𝐴𝐷，垂足为N．设𝐶𝑁=𝑥𝑘𝑚.在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑁中，∠𝐴=45°，∵𝑡𝑎𝑛45°=𝐶𝑁，𝐴𝑁∴𝐴𝑁=𝐶𝑁𝑡𝑎𝑛45∘

= 𝑥𝑡𝑎𝑛45∘

=𝑥，在𝑅𝑡△𝐸𝐶𝑁中，∠𝐶𝐸𝑁=70°，∵𝑡𝑎𝑛70°=𝐶𝐸，𝐸𝑁∴𝐸𝑁=

𝐶𝑁𝑡𝑎𝑛70∘

= 𝑥 ，𝑡𝑎𝑛70∘∵𝐶𝑁⊥𝐴𝐷，𝐵𝑀⊥𝐴𝐷，∴∠𝐴𝑁𝐶=∠𝐴𝑀𝐵=90°，∴𝐶𝑁//𝐵𝑀，∴𝐴𝐶=𝐶𝑁=𝐴𝑁，𝐴𝐵 𝐵𝑀 𝐴𝑀又∵𝐶为AB中点，∴𝐴𝐵=2𝐴𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∴𝐵𝑀=2𝐶𝑁=2x，𝐴𝑁=𝑀𝑁，第20页，共23页第第23页，共23页由题可知，∠𝑀𝐷𝐵=45°，在𝑅𝑡△𝐵𝑀𝐷中，∠𝑀𝐷𝐵=45°，∵𝑡𝑎𝑛45°=𝐵𝑀，𝐷𝑀∴𝐷𝑀=𝐵𝑀𝑡𝑎𝑛45∘

= 2𝑥𝑡𝑎𝑛45∘

=2𝑥，∴18.5−2𝑥−

𝑥𝑡𝑎𝑛70∘

=𝑥，∴𝑥=18.5×𝑡𝑎𝑛70°≈5.5，13×𝑡𝑎𝑛70∘∴𝐴𝐸=𝐴𝑁−𝐸𝑁=5.5−5.5𝑡𝑎𝑛70∘

=3.5，因此，E处距离港口A大约3.5𝑘𝑚．B𝑀⊥𝐷C𝑁⊥𝐷.设𝑁=𝑥在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑁中，∠𝐴=45°，根据三角函数的定义得到𝐴𝑁=

𝐶𝑁 𝑡𝑎𝑛45∘

𝑥𝑡𝑎𝑛45∘

=𝑥，𝐸𝑁=𝐶𝑁

𝑥 𝐴𝐶=𝐶𝑁=𝐴𝑁，解直角三角形即可得𝑡𝑎𝑛70∘

𝑡𝑎𝑛70∘

𝐴𝐵

𝐵𝑀

𝐴𝑀到结论．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，∵𝐴𝐵=𝐴𝐹，∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐹𝐵，∵𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，∴∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐶𝐵𝐹，∴∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶，∵∠𝐴 ∠𝐴𝐵𝐷=90°，∴∠𝐴 ∠𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐶=90°，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐵，又∵∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，∴△𝐵𝐶𝐷∽△𝐴𝐶𝐵，∴𝐵𝐶=𝐶𝐷，𝐴𝐶 𝐵𝐶∴𝐵𝐶2=𝐶𝐷⋅𝐶𝐴；(2)解：∵𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，∴∠𝐷𝐵𝐹=