计算机控制技术-杨鹏-计算机控制系统的控制策略2复习过程

计算机控制技术-杨鹏-计算机控制系统的控制策略2

随着采样理论以及现代控制理论的不断发展，人们也愈来愈重视用离散系统进行直接数字控制，并取得了可喜的成果。因此，可以说用数字调节器代替模拟调节器是计算机控制的初级阶段，而应用采样控制理论进行直接数字控制则是计算机控制系统的发展方向。由于数字控制系统与模拟调节系统控制方法不同，所以它们使用的数学工具也不同，如表4-1。4.1数字PID控制

PID调节器之所以不衰，即使在数字化的计算机时代仍能得到广泛的应用，主要有下面几点：1.技术成熟2.人们熟悉

3.不需要求出数字模型4.控制效果好4.1.1

模拟PID调节器1.比例调节器（P）比例调节器的微分方程为 (4-1)式中u——调节器的输出e(t)——调节器的输入，一般为偏差值，即e(t)=y(t)-r(t)Kp——比例系数由上式可以看出，调节器的输入y与输入偏差e(t)成正比。因此只要偏差e(t)一出现，就能及时的产生与之成比例的调节作用，具有调节及时的特点，它是一种最基本的调节规律，比例调节的特性曲线如图4-1所示。

比例调节作用的大小，除了与偏差e(t)有关外，主要取决于比例系数KP。比例系数愈大调节作用愈强，动态特性也愈好；反之比例系数愈小，调节作用愈弱。但对于大多数惯性环节，KP太大时会引起自激震荡。其关系如图4-2所示。

比例调节的主要缺点是存在静差，因此对于扰动较大、惯性也较大的系统，若采用单纯的比例调节器，就难于兼顾动态和静态特性，需要用调节规律比较复杂的调节器。2.比例积分调节器（PI） 所谓积分作用，是指调节器的输出与输入偏差的积分成比例的作用，其积分方程为

(4-2)T1——积分时间常数。它表示积分速度的大小，T1越大，积分速度越慢，积分作用越弱。反之T1越小，积分速度越快，积分作用越强。积分作用的响应特性曲线如图4-3所示。

积分作用的特点是：调节器的输出与偏差存在时间有关，只要有偏差存在，输出就会随时间不断增长，直到偏差消除，调节器的输出才不会变化。因此积分作用能消除静差，这是它的优点。但从图4-3可以看出，积分的作用动作缓慢（不像比例调节器，只要偏差一出现就立即响应），而且在偏差刚一出现时，调节器作用很弱，不能及时克服扰动的影响，致使被调参数的动态偏差增大，调节过程增长，因此它很少被单独使用。

如果把比例和积分两种作用合起来，就构成PI调节器，其调节规律为： (4-3) PI调节器的输出特性曲线如图4-4所示。

由图4-4可以看出，对于PI调节器当有一阶跃作用时，开始瞬时有一比例输出u1。随后在同一方向，在u1的基础上输出值不断增大，这就是积分作用。

由于积分作用不是无穷大，而是具有饱和作用，所以经过一段时间以后，PI调节器的输出趋于稳定值K1KPe(t)，其中系数K1KP是时间t→时的增益，称之为静态增益，用=K1KP表示。由此可见，这样的调节器既克服了单纯比例调节器有静差存在的缺点，又避免了积分调节器响应慢的缺点，即静态和动态特性均得到了改善，所以应用比较广泛。3.比例微分调节器（PD）上述的PI调节器动作快，可以消除静态误差，是一种广为应用的调节器。然而一旦控制对象具有较大的惯性时，用PI调节器就无法得到很好的调节品质。这时，如果在调节器中加入微分作用，亦即在偏差刚刚出现偏差值尚不大时，根据偏差变化的趋势（即变化速度），提前给出较大的调节作用，使偏差尽快消除。由于调节及时，可以大大减小系统的动态误差及调节时间，从而使过程的动态品质得到改善。微分方程为

(4-4)式中TD——微分时间常数

微分作用响应曲线如图4-5所示.

实际PD调节器的阶跃响应曲线，如图4-6所示。

为了进一步改善品质，往往把比例、积分、微分三种作用组合起来，形成PID三作用调节器。理想的PID微分方程为

(4-5)其对阶跃信号的响应曲线，如图4-7所示。

由图4-7可以看出，对于一个PID三作用调节器，在阶跃信号作用下，首先是比例和微分作用，使其调节作用加强，然后再进行积分，直到最后消除静差为止。因此，采用PID调节器，无论从静态，还是从动态的角度来说，调节品质均得到了改善，从而使得PID调节器成为一种应用广泛的调节器。

这里要说明的是，并非所有系统都需要使用PID调节器，在工业控制系统中，PI、PD调节器也常常被人们所采用，因为它们比较简单。究竟使用哪一种调节器合适，只有根据具体情况，并根据现场实验进行选定。4.1.2数字PID调节器控制算法1.PID算法的数字化由公式(4-5)可知，在模拟调节系统中PID算法的模拟表达式为：

(4-6)式中：u(t)——调节器的输出信号；e(t)——调节器的偏差信号，它等于测量值与

给定值之差；KP——调节器的比例系数；T1——调节器的积分时间；TD——调节器的微分时间。

由于DDC系统是一种时间离散控制系统，即它是对多个调节回路进行继续控制。因此为了用计算机实现式(4-6)，必须将其离散化用数字形式的差分方程来代替连续系统的微分方程。此时积分项和微分项可用求和及增量式表示：

(4-7)

(4-8)

将式(4-7)和式(4-8)代入式(4-6)，则可得到离散PID表达式：

(4-9)式中，Δt=T——采样周期；e(n)——第n次采样时的偏差值；e(n-1)——第(n-1)次采样时的偏差值；n——采样序号，n=0，1，2……

由于式(4-9)的输出值与阀门开度的位置一一对应，因此通常把式(4-9)称为PID的位置控制算式。由式(4-1-9)可以看出，要想计算，不仅需要本次与上次的偏差信号e(n)与e(n-1)，而且还要在积分项把历次的偏差信号e(j)进行相加。这样不仅使得计算繁琐而且为了保留e(j)还要占用很大的内存。因此用式(4-9)直接进行控制是不方便的。为此我们做如下的改动：

根据推理原理可写出(n–1)次的PID输出表达式：

(4-10)用式(4-9)减去式(4-10)可得：整理后可得：

(4-11)式中

——积分系数

——微分系数由式(4-11)可知，要计算第n次输出值U（n），只需知道U(n-1)，e(n)，e(n-1)，e(n-2)即可，比用式(4-9)计算要简单得多。在很多控制系统中，由于执行机构是采用步进电机或多圈电位器进行控制的，所以此时只要给一个增量信号即可。因此我们可以把式(4-9)和式(4-10)相减得到：

(4-12)式中KI、KD同式(4-11)。

式(4-12)表示第n次输出的增量ΔU(n)，等于第n次与第n-1次调节器输出的差值，即在第（n1）次的基础上增加（或减少）的量，所以式(4-12)叫做PID的增量控制式。

用计算机实现位置型和增量型控制算式的原理如图4-8所示。在位置控制算式中，由于全量输出所以每次输出均与原来位置量有关。为此这不仅需要对e(j)进行累加，而且计算机的任何故障都会引起U(n)大幅度变化，对生产不利。

而增量控制虽然改动不大，然而却带来了很多优点：必要时可用逻辑判断的方法去掉；手动/气动切换时冲击比较小；不产生积分失控，所以容易获得较好的调节效果。但是增量型控制也有其不足之处：积分截断效应大，有静态误差；溢出的影响大。

在选择时不可一概而论，而应该根据被控对象的实际情况加以选择。一般认为，在以可控硅作为执行器或对控制精度要求高的相同中，应当采用位置型算法，而在以步进电机或电动阀门作执行器的系统中，则应用增量式算法。

2.PID算法程序设计

从上面的分析可知，按式(4-11)和(4-12)就可进行PID程序设计。其实两式基本上是相同的，只不过相差U(k-1)一项，为了使读者多了解几种程序设计方法，下面介绍位置型和增量型PID程序设计。(1)位置型PID算法的程序设计根据式(4-1-9)可写出第k次采样PID表达式为

(4-13) 式中：

——积分系数，

——微分系数。

为计算方便，设

则式(4-13)可写为

(4-14)式(4-14)即为离散化的位置型PID编程表达式。由于KP，KI，KD有可能是小数，E(k)也可能是负数，编程时通常采用如下处理方法：①将小数或混合小数化为整数;②采用16位有符号指令运算。增量型PID算法的程序设计 根据式(4-12)可写出第k次采样增量型PID表达式为

(4-15)其中

(4-16)读者可根据式(4-15)和式(4-16)自己编写程序。 此外，在位置型PID算法中亦可采用增量型PID表达式计算，将式(4-11)改写为

(4-17)采用式(4-17)的优点是可以限制ΔU(k)，防止控制增量过大，对系统稳定有利。4.1.3数字PID调节器控制算法改进

模拟调节器进行的控制是连续的，控制作用每时每刻都在进行；而数字控制器在保持器作用下，控制量在一个采样周期内是不变化的。

由于计算机的数值运算和输入/输出需要一定的时间，控制作用在时间上有延滞。

计算机的运算字长有限和A/D、D/A转换器的分辨率及精度而使控制有误差。

因此如果单纯地由数字控制器去模仿模拟调节器，并不能获得理想的控制效果。必须发挥计算机运算速度快、逻辑判断功能强、编制程序灵活等优势，建立许多模拟调节器难以实现的特殊控制规律，才能在控制性能上超过模拟调节器。1.积分饱和及其防止方法(1)积分饱和的原因及影响假设给定值从0突变为。在执行机构不存在极限时，当有突变量时，便产生很大的偏差e，从而使控制量u很大，并使输出很快上升。然而由于在相当一段时间内，e保持很大，因此控制量u保持上升。只有当e减小到某个值后，u才不会再增加，然后开始下降。当等于设定值x*时，e等于0，但由于积分项的作用，使控制作用u仍很大，所以输出量继续上升，使输出量出现超调。在变负后，积分项开始减小，使u下降较快。在y下降到小于x*时，偏差又变正，于是y又有所上升。在这以后，u趋向于u*，y也趋向于x*，达到稳定状态。这个过程见图4-9的曲线a。

但是，如果执行机构存在极限，则在设定值从0突变为x*时，控制量u只能取。在作用下，系统输出y也将上升，但比在计算值u作用下要慢（见图4-9上图的曲线b）。这样，误差e要比没有限制时在较长时间内保持为较大的正值，这使积分项的累积也要大大增加。在输出y达到设定值x*后，虽然e小于等于0，但由于积分项的积累太大，使u仍保持较大的数值，从而使y将大大超过设定值。只有e变负，并且持续较长时间τ后，才能抵消以前累积的正的积分值，使，退出饱和区，回到正常的控制状态，见图4-9的曲线b。图4-9中下图u(t)的虚线部分是u的计算值。可见，主要由于执行机构的限制和积分项的存在，引起了PID运算的饱和，因此这种饱和称为积分饱和。积分饱和增加了超调量和系统的调整时间。（2）积分饱和的抑制

有许多克服积分饱和的方法，下面介绍常用的两种方法。a.积分分离法它的想法是，当误差较大时，取消积分作用，当被调量接近设定值时，再加入积分作用，以减小静差。即

使用PD数字控制器

使用PID数字控制器

在单片微机上实现时，选择一个偏差值ε作为积分项投入的阈值，这个偏差值称为积分界限。当实际偏差值大于等于积分界限ε时，不执行PID表达式中的积分项。当实际偏差值小于积分界限ε时在按PID表达式进行计算。

引入积分分离后，控制量不易进入饱和区，即使进入了，也能较快退出，使系统的输出特性比单纯PID控制得到改善，如图4-10所示。积分界限的选取，对克服积分饱和有重要影响，它可通过实验整定。b.遇限制削弱积分法 遇限制削弱积分法的思想是，当控制量进入饱和区后，只执行削弱积分项的累加，而不进行增加积分项的累加。它在计算u(k)时，先判断u(k–1)是否超过umin或umax，若已超过umax，则只累计负偏差；若小于umin，则只累计正偏差。其算法框图见图4-11。这种方法可减小系统处于饱和区的时间。2.数字PID控制微分作用的改进（1）数字PID控制微分作用的缺点

微分作用有助于减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定，同时加快系统动作速度，减小调整时间，有利于改善系统的动态特性。

但是，对于一般的数字PID算式，其微分项的作用有几个缺点。为了分析数字PID的微分作用，由式(4-1-4)中得出微分部分的输出与偏差的关系：

对应的Z变换为

当e(t)为单位阶跃输入时，

所以由此可得

即仅在t=T时，输出等于

，在其他采样时刻输出均为0。

可见，对于单位阶跃输入，标准PID数字控制器的微分作用仅在第一个采样周期存在，以后就无作用。而在连续控制系统中，PID调节器的微分部分能在较长时间内起作用，如图4-12所示。图4-12中，a为标准数字PID控制器的微分作用，b为连续PID调节器的微分作用。

标准数字PID控制器的微分作用的另一个问题是，当偏差e(k)突然变大时，控制器的输出在偏差产生的那一个采样周期内，输出的数值很大，可能使执行机构发生饱和。且由于标准PID算式的微分作用的特点，使得它对阶跃输入特别敏感。则在系统受到干扰时，测量数据可能发生突发性误差。因此，必须对标准PID算式的微分作用进行改进。（2）微分先行PID控制 在标准PID数字控制器算式中，加入一个惯性环节可构成微分先行PID数字控制器。它不仅以平滑微分产生的瞬时脉动，减小干扰的影响，而且能加强微分对全控制过程的影响。下面推导微分先行数字控制器的算式。 一阶惯性环节的传递函数为 (4-18)标准PID控制器的传递函数为

(4-19)由式(4-18)和(4-19)可得到微分先行PID调节器的传递函数：

(4-20)设

即

这样可把式(4-20)化简为

(4-21)

式(4-21)中，T1叫做实际积分时间，T2叫做实际微分时间，K1叫做放大系数，

叫做微分放大系数。为了保证PID控制作用和高频滤波效果，通常要求

，即的取值范围为

。使用中常取

。

式(4-21)对应的框图如图4-13所示。图中的前置方块

，主要起微分作用，所以它称为微分先行PID控制。由图4-13可见，该微分先行控制器由三个环节组成，下面推导其计算公式。

使用后向差分近似方法，利用，由式(4-21)可得（4-22）

由式(4-1-22)可直接得出差分方程为

设

可得

(4-23)

按式(4-23)编写程序，即可完成微分先行PID控制的计算。(3)不完全微分PID控制在标准PID算法的微分环节上直接加上一个一阶惯性环节，也可克服完全微分的缺点，构成不完全微分PID控制器。它的传递函数为

(4-24)式中Kd为微分增益，一般在3～10的范围内选取。它在微分环节上加了惯性环节，故有时称为近似微分PID算式。它仅改变了标准PID控制器的微分部分，使得在偏差发生突变时，微分作用可比较平缓。按照前面介绍的微分先行PID控制器算式的推导方法，读者可自行推导它的计算公式。3.其他PID控制方法(1)带死区的PID控制在控制精度要求不高，控制过程要求尽量平稳的场合，例如化工厂中间容量的液面控制，为了避免控制动作过于频繁，消除由此引起的振荡，可以人为设置一个不灵敏区B，即采用带死区的PID控制。当

时，控制器输出为u0（可以为0）。只有当

时，才按PID算式计算控制量。即

死区B是一个可调参数。B值太小，调节动作过于频繁，达不到稳定控制过程的目的；B值太大，又会产生很大的误差和滞后。所以应根据实际情况来设定B的数值。(2)砰砰—PID复合控制砰砰（Bang-Bang）控制是一种时间最优控制，又称快速控制法。它的输出只有开和关两种状态。在输出低于设定值时，控制为开状态（最大控制量），使输出量迅速增大。在输出预计将达到设定值的时刻，关闭控制输出，依靠系统惯性，使输出达到设定值。它的优点是控制速度快，执行机构控制比较简单（只有开、关两种状态）。缺点是如果系统特性发生变化，控制将发生失误，从而产生大的误差，并使系统不稳定。为此，可综合砰砰与PID两种控制方式。在偏差大时，使用砰砰控制，以加快系统的响应速度。在偏差较小时，使用PID控制，以提高控制精度。即

|ek|>Q，砰砰控制

|ek|≤Q，PID控制

Q是一可调参数。Q取得小，砰砰控制范围大，过渡过程时间短，但超调量可能变大。Q取得大，则情况相反。控制时，为|ek|>Q时，控制量取与偏差同符号的最大值或最小值，因此，当偏差较大时，该最大的控制量迅速减小，可加速过渡过程。4.1.4数字PID调节器的参数整定

在数字控制系统中，参数的整定是十分重要的，控制系统参数整定的好坏直接影响控制品质。

由于一般的生产过程（如热工和化工过程）都具有较大的时间常数，而数字控制系统（DDC）的采样周期则要小的多（约差一个数量级），所以DDC系统以及PID数字控制器的参数整定，完全可以按照模拟调节器的各种参数整定方法进行分析和综合。但是数字控制器与模拟调节器相比毕竟有其特殊性，即除了比例系数KP，积分时间TI和微分时间TD外，还有一个重要参数——采样周期T。合理地选择采样周期T，也是控制系统的关键问题之一。1.采样周期T的确定

前面已经介绍了香农（shannon）采样定理。该定理给出了系统采样频率的上限为fn≥2fmax，此时系统可真实地恢复到原来的连续信号。

从理论上讲，采样频率越高，失真越小。但是从控制器本身来讲，大都是依靠偏差E(k)进行调节计算的。当采样周期T太小时，偏差信号ΔE(k)也会过小，此时计算机将失去调节作用，采样周期T过长将引起误差。因此，采样周期T必须综合考虑。

影响采样周期T的因素有：

加到被控对象的扰动频率

对象的动态特性

数字控制器D(z)所使用的算法及执行机构的类型

控制回路数

对象所要求的控制质量

采样周期的选择方法有两种，一种是计算法，一种是经验法。计算法由于比较复杂，特别是被控系统各环节的时间常数难以确定，所以工程上用的比较少。工程上应用最多的还是经验法。

所谓经验法是一种试凑法。即根据人们在控制工程实践中积累的经验以及被控对象的特点及参数，先选择一个采样周期T，然后送入微型机控制系统进行试验，根据被控对象的实际控制效果，再反复地改变采样周期T，知道满意为止。经验法所采用的采样周期如表4-2所示，表中所列的采样周期T仅共参考，由于生产过程千变万化，因此实际的采样周期需要经过现场调试后确定。2.扩充临界比例度法

扩充临界比例度法是简易工程整定方法之一。用它整定的步骤如下：

选择一个足够短的采样周期Tmin。例如对于带有纯滞后

的系统其采样周期取纯滞后时间的十分之一以下。

求出临界比例度δu和临界振荡周期Tu。具体方法是将上述的采样周期Tmin输入到计算机控制系统，并只有比例控制，直到系统产生等幅振荡。此时的比例度即为临界比例度δu，振荡周期称为临界振荡周期Tu。

选择控制度。所谓控制度，就是以模拟调节器为基准，将DDC的控制效果与模拟调节器的控制效果相比较，控制效果的评价函数通常采用（误差平方积分）表示。

(4-25)

对于模拟系统，其误差平方面积可按记录纸上的图形计算。而DDC系统可有计算机直接计算。通常当控制度为1.05时，表示DDC系统与模拟系统控制效果相当。

根据控制度，查表4-3即可求出T、KP、TI和TD的值。3.扩充响应曲线法

断开数字调节器，使系统在手动状态下工作。当系统在给定值处平衡后，给一阶跃输入（如图4-14(a)所示）。

用仪表记录下被调参数在阶跃作用下的变化过程曲线（即广义对象的飞升特性曲线），如图4-14(b)所示。

在曲线最大斜率处做切线，求得被控对象滞后时间θ，惯性时间常数τ以及它们的比值τ/θ。

根据所求得的τ，θ和τ/θ的值，查表4-4即可求得控制器的T、KP、TI和TD。4.大滞后系统的参数整定

当被控对象存在较大滞后时，可采用D.M.Bain和G.D.Martin提出的适用大滞后过程参数整定方法。已知被控对象为一阶滞后系统，即

(4-26)其中：K=Δy/Δu为相对增益； τ为惯性时间常数； θ为纯滞后时间。

按下面公式计算KP、TI和TD：

(4-27) (4-28)

其中，A，B和C依表4-5的性能指标选择：例4-1：已知某一阶滞后被控对象的参数为K=1.47，τ=750秒，θ=50秒。

按扩充响应曲线法求得当控制度=1.05时，PID控制器参数为：T=2.5，KP=17.25，TI=100，TD=22.5。

按D.M.Bain方法，当T=5秒时，按最小IAE指标选择PID控制器参数为：KP=3.1，TI=771。

以上三种方法特别适用于被控对象是一阶滞后环节。如果被控对象为其它环节，则可采用其它方法进行整定。4.2串级控制4.2.1基本原理1.串级控制系统基本概念 图4-15为串级控制的方框图，该系统有两个控制器，主控制器和副控制器，主控制器的输出作为副控制器的给定，因此称之为串级控制。

现将方框图中的有关名词简介如下：

主被控量——指工艺控制指标。是在串级系统中起主导作用的被控量y1。

副被控量——指为了稳定主被控量或因某种需要而引入的辅助变量y2。

主对象——由主被控量表征其主要特性的生产设备，如下例中的加热炉。

副对象——由副被控对象表征其主要特性的生产设备，如上例中炉膛温度检测点至调节阀之间的设备。

主控制器——按主被控量的测量值与工艺规定值（即设定值）之间的偏差工作，其输出作为副控制器的设定值，在系统中起主导作用。

副控制器——按副被控量的测量值与来自主控制器的设定值偏差工作，其输出直接操纵执行结构（执行器）。在计算机控制系统中，上面的两个控制器均可用计算机来替代，或者用一台计算机完成两方面的工作。

主回路——由主对象、主检测变送器、主控制器、副控制器、执行器及副对象构成的外回路（也称外环或主环）。

副回路——由副对象、副检测变送器、副控制器及执行机构所构成的内回路（也称内环或副环）。2.串级控制系统工作原理

图4-15中F1、F2为外部扰动，F2作用于副回路，F1作用于主回路。当F2产生时，由于副对象时间常数较小，副控制器立刻进行调节。如干扰较小，经副回路调节以后，副回路输出y2基本保持不变，这样就不会影响y1。当干扰较大，则要影响y1，这时主控制器的输出开始变化，副控制器接受给定值与测量值两方面的变化，从而使偏差增加，校正作用加强，加速了调节过程。

当F1作用于主回路时，主控制器根据输出y1的变化去改变副控制器的给定，副控制器接受指令后，很快产生校正作用使输出y1稳定，缩短了调整时间。

若F1、F2同时作用主、副回路，当它们使得主被控变量与副被控变量同一方向变化，则副控制器的输入偏差增大，从而它的输出变化较大，以迅速克服干扰；如果主被控变量与副被控变量分别往相反方向变化，则副控制器输入的偏差减小，它的输出只要有较小的变化就能克服扰动。

综上所述，在串级控制系统中，由于主、副控制器串联在一起，再加上一个闭合的副回路，不仅能克服作用于副回路的干扰，而且能使作用于主回路的干扰加快调节过程。在调节过程中，副回路具有先调、快调、粗调的特点，主回路则相反，具有后调、慢调、细调的特点。主副控制器相互配合，使系统输出稳定，与简单PID单回路控制相比，大大改善了调节过程的品质。4.2.2

设计举例1.管式加热炉温度串级控制系统（1）问题提出

石油工业的管式加热炉，其主要任务是把石油或重油加热到一定温度，以保证下道工序的顺利进行。加热炉的工艺过程如图4-16所示，被加热的原料油流过炉膛四周的排管后，被加热到出口温度，工艺上要求油料出口温度的波动不超过±1～2℃。（2）被控对象分析

燃料油经过蒸汽雾化后在炉膛中燃烧，被加热油料（原料油）流过炉膛四周排管后，就被加热到出门温度，在燃料油管道上安装了一个调节阀，用它来控制燃油量以达到调节温度的目的。从现场实际分析，引起原料油出口温度改变的扰动因素很多，主要有：

燃料油方面（燃料油组分和调节阀前的油压）的扰动。

喷油用的过热蒸汽压力波动。

被加热油料方面（其流量和入口温度）的扰动。

炉膛漏风和大气温度方面的扰动。（3）串级控制系统

从上述分析可见，用简单控制系统无法完成控制要求，即可考虑采用串级控制系统。在串级控制系统中，由炉膛温度来控制调节阀（见图4-16），然后再用出口油温来修正炉膛温度的设定值，其控制方案的框图如图4-17所示。2.串级控制系统的工作过程

对于串级控制系统，当扰动作用发生时，控制系统克服扰动的过程即开始。根据扰动进入系统的位置不同，可将其分为两类，将包含于副回路的扰动称为二次扰动，而把作用于副回路之外的扰动称为一次扰动，现分三种情况讨论。

扰动进入副回路

扰动进入主回路

扰动同时作用于主、副回路3.串级控制系统的特性分析（1）克服二次干扰的能力强这主要是由于副回路具有快速作用，它能够有效地克服二次干扰的影响。可以说串级系统的主要作用是用来克服进入副回路的二次干扰。如图4-18。

当二次干扰经过干扰通道Gf2(s)后，进入副环，首先影响副被控量y2，于是副控制器立即动作，力图削弱干扰对y2的影响。显然，干扰经过副环的抑制后再进入主环，对主被控量y1的影响将有较大的削弱。按图4-18所示的串级控制系统，可以写出二次干扰F2至主被控量yl的传递函数G(s)：（4-29）

为了与单回路控制系统相比较，由图4-19可以很容易地得到单回路控制下F2至yl的传递函数G′(s)：

(4-30)（2）改变对象的动态特性，提高系统的工作频率

内环的存在可以改善对象动态特性，因此可以加大主控制器的增益，提高系统的工作频率。分析比较图4-18和4-19，不难发现串级控制系统中的内环似乎代替了单回路中的一部分对象，亦即可以把整个副回路看成是一个等效对象G′P2(s)： (4-31)

假如副回路中各环节传递函数为

；

；

；

(4-32)

将式(4-32)代入(4-31)有

(4-33)

令

(4-34) (4-35)

则式(4-33)变为 (4-36)

式中，K′p2和T′p2分别为等效对象的增益和时间常数。

比较G′P2(s)与GP2(s)，由于Kc2KvKm2Kp2≥0，这个不等式在任何情况下都成立，故有

<(4-37)

这就说明，副回路的存在起到了改善系统动态特性的作用。等效时间常数缩小了(Kc2KvKm2Kp2)倍，而且随着副控制器比例系数的增大而减小。通常情况下，副对象是单容或双容对象，因此副控制器的比例系数可以取得很大，这样，等效时间常数就可以减到很小，从而加快了副环的响应速度，提高了系统的工作频率。(3)串级控制系统有一定的自适应能力

我们知道，生产过程总是包含一些非线性因素。因此，在一定负荷下，即在确定的工作点情况下，按一定控制质量指标整定的控制系数只适应工作点附近的一个小范围。如果负荷变化过大，超过了这个范围，那么控制质量就会下降，在单回路控制系统中若不采用其它措施是难以解决的。但在串级控制系统中情况就不同了，负荷变化引起副回路内各环节参数的变化，可以较少影响或不影响系统的控制质量。

这可以用式(4-34)所表示的等效副对象的增益公式来说明，等效对象的增益为

一般情况下，Kc2KvKm2Kp2>>1。

因此，如果副对象增益或调节阀的特性随负荷变化时，对等效增益的影响不大，因而在不改变调节器（控制器）整定参数的情况下，系统的副回路能自动地克服非线性因素的影响，保持或接近原有的控制质量；从另一方面看，由于副回路通常是一个流量随动系统，当系统的操作条件或负荷改变时，主控制器将改变其输出值，副回路能快速跟踪并及时而又精确地控制流量（操纵量），从而保持系统的控制品质，从上面的分析可见，串级控制系统对负荷的变化具有一定的自适应能力。

为进一步说明串级控制系统的控制效果，下面用频率法来估算一个实例。例4-2：设串级控制系统实例的力框图如图4-20所示。其主、副对象的传递函数分别为

；

主、副控制器的传递函数分别为

；

用频率法估算结果如表4-6所示。

从表中可以看到，由于采用串级控制，系统工作频率由单回路的0.087增加到0.23，加快了2.6倍；二次扰动下最大动态偏差由单回路的0.24减小到0.011，大约减小了22倍之多；即使是一次扰动作用下，最大动态偏差也由单问路的0.3减小到0.11，减小了近3倍。由此可见，串级控制系统控制效果的改善作用是十分明显的。4.3大林（Dahlin）算法

在热工及化工生产过程中，大多数过程存在纯滞后。被控对象的纯滞后时间对控制系统的控制性能极为不利，它使系统的稳定性降低，过渡过程的特性变坏。当对象的纯滞后时间与对象的时间常数T之比/T0.5时，若使用常规的PID控制，很难达到系统的控制目标；尤其是对大滞后系统，PID控制策略难以胜任。如果采用数字控制器的Z域最少拍直接设计方法，则系统不仅不能达到最少拍的预期效果，反而造成系统较大的超调和振荡。这类系统的控制特点是要求其超调量为零或较小，而快速性是次要的，并且允许有较长的调整时间。在对这类含有纯滞后的被控对象进行设计中，常采用大林算法或补偿（Smith）控制，以取得较好的控制效果。 这类控制系统的被控对象连续传递函数G0(S)常用带纯滞后的一阶或二阶惯性环节描述，既

或(4-38)式中，为滞后时间，T1、T2为时间常数，K为放大系数。为简便起见，设=NT，N为正整数，T为计算机控制系统的采样周期。4.3.1大林算法的设计原理

大林算法主要解决超调问题，其设计原理是，以大林算法设计的数字控制器，使所设计的系统闭环传递函数相当于一个带有滞后的一阶惯性环节环节，其滞后时间大小与被控对象G0(s)的滞后相同，既

(4-39)上式中为闭环系统的的时间常数。

计算机控制系统结构框图如图4-21所示，图中H0(s)为零阶保持器；大林算法的闭环系统脉冲传递函数为

(4-40)

因此，数字控制器D(z)的脉冲传递函数为：

(4-41)1、带纯滞后的一阶惯性环节的大林算法

(4-42)代入，并进行Z变换

(4-43)将上式代入(4-41)式，得

(4-44)2、带纯滞后的二阶惯性环节的大林算法

(4-45)代入，并进行Z变换

(4-46)其中

(4-47)

(4-48)将(4-46)、(4-47)、(4-48)式代入(4-41)，得

(4-49)4.3.2振铃现象及其消除

振铃现象是指数字控制器的输出u(kT)以接近1/2采样频率（既二倍采样周期）的频率大幅度的波动。它对系统的输出几乎无影响，但是，由于振铃现象的存在，会使执行器频繁的调整，加速磨损。

衡量振铃现象强烈程度的量是振铃幅度RA（RingAmplitude）。它的定义是数字控制器在单位阶跃输入的作用下，第0次的输出幅度与第一次的输出幅度之差，既

RA=u(0)-u(T)

(4-50)

振零现象的产生是由于控制器输出的Z变换U(z)中含有Z平面单位园内左半平面接近z=-1的极点。距离z=-1越近，振铃幅度越大。U(z)中单位圆右半平面的零点会加剧振铃现象，而右半平面的极点会削弱振铃现象。

大林提出了一种消除振铃现象的方法，既先找出D(z)中引起振玲现象的极点的因子（z=-1附近的因子），然后令因子的z=1，这样就消除了这个极点。根据终值定理，系统的稳态输出保持不变。

例4-3若数字控制器D(z)的传递函数分别为

、

、

，在单位阶跃作用下，试求振铃幅度RA。解1、

RA=u(0)-u(T)=1-0.5=0.5

由于该D(z)中-0.5极点距离z=-1较远，振铃幅度较小。

2、

RA=u(0)-u(T)=1-0.7=0.3

由于该D(z)中右半平面增加0.2极点，振铃幅度与1相比变小。

3、

RA=u(0)-u(T)=1-0.2=0.8

由于该D(z)中右半平面增加0.5零点，振铃幅度与2相比加剧。例4-4已知被控对象的传递函数

，采样周期T=0.5s，所期望的闭环传递函数的时间常数

=0.5s，试用大林算法设计数字控制器D(z)，并分析是否产生振铃现象，若有则消除。解1、求系统的广义被控对象的脉冲传递函数G(z)

以T=0.5代入得

2、求系统的闭环传递函数H(z)

其中

，

，

，代入上式，得

，则3、判断是否出现振零现象

显然，数字控制器输出U(kT)正负上下摆动，有振铃现象。因为U(z)中有z=–0.858这个靠近z=–1的极点。4、求数字控制器D(z)

上式中，令极点因子

中z=1，得

4.4数字控制器设计方法

数字控制系统设计是基于被控对象数学模型已知的情况下，用控制理论的方法，设计出数字控制器，使控制系统满足一定的性能指标。工程上常见的计算机控制系统，如图4-22所示。

由图可见，计算机控制系统由连续部分和离散部分组成。连续部分就是保持器和控制对象，绝大多数情况下使用的是零阶保持器。

计算机控制系统的设计方法分为离散化设计方法和连续化设计方法两种。离散化设计方法是，将被控对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离散控制理论的一套方法进行分析和综合，设计出满足控制指标的离散控制器，由计算机去实现。连续化设计方法是，忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在s域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，然后再将连续控制器变换为离散控制器，由计算机去实现。

这些设计方法以z变换理论为基础，以传递函数为工具。在这些设计方法中，经常需要连续和离散对象的转换，因此下面首先讨论这个问题。4.4.1连续对象的离散化方法1.冲激响应不变法

冲激响应不变法就是指离散环节G(z)的单位冲激响应h(kT)与连续环节G(s)的单位脉冲响应h(t)的采样点的值相等。如图4-23所示。

在图中，h(t)是G(s)的单位脉冲响应，h(k)是G(z)的单位冲激响应，G(z)的输入是单位冲激函数δ(k)，也称克罗内克（kronecker）函数，定义

(4-51)

现在要求G(z)的输出h(k)等于G(s)的输出h(t)在采样点的数值。在图4-23中，若系统的输入r(t)=δ(t)，在连续系统的情况下，G(s)=L[h(t)]/L[δ(t)]，由于L[δ(t)]=1，所以G(s)=L[h(t)]，即环节(或系统）的传递函数G(s)等于脉冲响应函数h(t)的拉氏变换；在离散系统中，G(s)=Z[h(kT)]/Z[δ(kT)]，因为Z[δ(kT)]=1，所以G(s)=Z[h(kT)]，即环节(或系统）的传递函数G(z)等于单位冲激响应h(kT)的z变换，其中T为采样周期。这种求取离散等效传递函数G(z)的方法称为冲激响应不变法。

它可以按照以下三个步骤进行：

利用拉普拉斯反变换，计算单位脉冲响应

；

将h(t)按采样周期T离散化求得离散序列h(kT),简写为h(k)；

应用Z变换求等效的离散传递函数(4-52)利用以上步骤求G(z)的过程通常简记为(4-53)

因为Z变换表中只给出一些典型函数的变换关系，所以对于复杂的函数尚需进行复杂的分解以后才能查表。例4-5试离散化连续环节

，求G(z)。解：脉冲响应函数

，对采样周期为T，得

，作为离散环节的单位冲激响应，则离散环节的Z传递函数例4-6设图4-23中，

，试求G(z)。解：

例4-7设图4-23中，，试求G(z)。解：

由于冲激响应不变法实质上是z变换法，故又称为Z变换法。s平面与z平面的映射关系是基于，因此s平面左半平面映射到z平面单位圆内，当G(s)是稳定的，变换后的G(z)也是稳定的。采样周期的选择应满足采样定理，根据系统的频带宽度应适当提高采样频率。与冲激响应不变法类似，还有阶跃不变法和斜坡不变法。2.零阶保持器法 在计算机控制系统中，常常需要将连续的控制对象连同保持器一起离散化，使其变成纯粹的离散系统来简化系统的分析和设计，如图4-24所示。因此下面考虑实用中最经常碰到的前面带有零阶保持器的连续对象的离散化问题。Gh(s)是零阶保持器的传递函数。

图4-24(a)中，若令

(4-54)即代替了图4-24(a)中的G(s)，则图4-24(a)可简化成图4-24(b)。于是利用冲激响应不变法可以使得G(z)的输出等于的输出在采样点的数值。利用前面定义的简记符号，并参考式(4-54)及Z变换的性质可以求得(4-55)

按照上式可直接通过查z变换表而求得G(z)，也可以利用计算机帮助计算。首先计算

，然后再将所得结果乘以()，即得零阶保持等效离散传递函数G(z)。例4-8试将带有零阶保持器的对象

变换成G(z)。

解：3.双线性变换法双线性变换法又称塔斯廷变换或称梯形积分法。

根据从G(s)到G(z)的双线性变换

(4-56)可以很容易求得从G(z)到G(s)的变换关系为

(4-57)例4-9试将

双线性变换成G(z)。解：

例4-10试将

双线性变换成G(s)。解：

双线性变换法的主要特点：

双线性变换方法简单，容易计算，它适用于G(s)或G(z)

的分子和分母已展成多项式的情形。

双线性变换将s左半平面映射到z平面上的单位圆内，因而没有混叠效应，而且，双线性变换不改变系统的稳定性。因此，有时为了判断离散系统的稳定性，可首先将G(z)经双线性变换化为G(s)，然后再用连续系统判断稳定性的方法来判断原离散系统的稳定性。

双线性变换是基于用梯形法则对微分方程进行差分近似，因而这样的变换是近似的。但是，当采样周期T足够小时，有较高的变换精度。4.零极点匹配法G(s)常常以零极点的形式给出，如

(4-58)其中n≥m。这时获得离散等效传递函数的一个简单而有效的方法是利用的关系，将s平面上的零点和极点一一对应地映射到z平面上的零点和极点。

应用以上给出的变换规则，可以写出相应于式(4-58)的离散传递函数为

(4-59)

其中T为离散化步距。若在离散传递函数中要求有一拍延迟，则上式分子中的最后一项应为。

式(4-59)中系数的选择是使得在某个特征频率G(s)与G(z)具有同样的增益。在绝大多数控制系统的应用中，特征频率通常选为ω=0，就是使得 (4-60)

若在其它场合，该特征频率可选用别的值。例4-11试应用上述规则，将离散为G(z)。解：G(s)有一极点在s=-a，有一零点在s=∞。按上述规则求得(4-61)根据式(4-60)的增益匹配原则(4-62)得(4-63)将式(4-63)代入式(4-61)得(4-64)若考虑一拍的延迟，则应有(4-65)利用增益匹配原则

(4-66)得

，代入式(4-65)得(4-67)

零极点匹配法的转换关系非常简单，计算也很容易。这种转换关系的精确度跟采样周期T有关，显然T越小，精确程度越高。它主要用在计算机控制系统的设计、数字滤波器设计及快速数字仿真等方面。4.4.2数字控制器的离散设计方法

在连续的控制对象离散化后，计算机控制系统可当作纯粹的离散系统来进行设计，因此控制器的设计可以直接在Z域进行。本节将介绍常用的直接离散化设计方法--解析设计法。

解析设计法是一种最直接的数字设计方法。若根据系统的性能要求给出适当的闭环传递函数H(z)，那么可以很容易地利用解析设计法求得所需求的控制器的传递函数D(z)。设离散控制系统具有如图4-25所示的结构图。

根据图4-25，可以求得从r到y的闭环传递函数为(4-68)从而解得(4-69)该方法的关键不在于式(4-69)的计算，而在于如何根据性能指标的要求合适地给出闭环传递函数H(z)，同时考虑到闭环系统的稳定性及控制器的可实现性等要求。下面讨论这些问题。1.可实现性

参考图4-25，设 (4-70)其中G(z)为连续控制对象G(s)经零阶保持法变换得到的离散传递函数。显然有(4-71)degA(z)和degB(z)分别表示A(z)和B(z)的次数。同时设控制器的传递函数为(4-72)要使得控制器在物理上是可实现的，则必须要求(4-73)

上式意味着：要产生k时刻的控制量u(k)，最多只能利用直到k时刻的误差数据

以及过去时刻的控制量

。根据式(4-68)、(4-70)及(4-72)，可以求得

(4-74)设A0(z)为上式中分子和分母相消的因子多项式，即有

(4-75)(4-76)根据式(4-71)及(4-73)，有

(4-77)因此

(4-78)根据式(4-76)，有

(4-79)将式(4-78)及(4-79)代入式(4-73)，整理得

(4-80)

式(4-80)其物理意义是：若对象传递函数的分母比分子高d阶，则设定H(z)时也必须至少分母比分子高d阶。也就是说，若在对象中有d拍的延时，则在最后的闭环系统中也必定至少有d拍的延时。2.稳定性根据式(4-70)及(4-74)，式(4-79)可写为

(4-81)由上式可见，一般情况下D(z)可能会抵消G(z)的一部分甚至全部的零极点，因此设

(4-82)

(4-83)即，假设G(z)的极点多项式A1(z)和零点多项式B1(z)将被D(z)抵消。根据式(4-84)，闭环系统的特征方程为

(4-84)将式(4-82)和(4-83)中的S(z)，R(z)，B(z)和A(z)代入式(4-84)得

(4-85)可见，被抵消的零点和极点仍然都是闭环系统的极点。因此，为使闭环系统是稳定的，D(z)决不能抵消G(z)中位于单位圆上的或单位圆外的零极点。设(4-86)其中

和

分别表示所有根在单位圆上和单位圆外的因子多项式，

和

分别表示所有根在单位圆内的因子多项式。

因此，为了保证闭环系统的稳定性，D(z)决不能抵消

和

。故此，根据式(4-81)，可以得到在设定H(z)时应同时满足的条件：(1)

中应包含因子

；(2)

中应包含因子

。

实际上，为了使系统具有满意的性能，D(z)不仅不能抵消中不稳定的零极点(即单位圆上及单位圆外的零极点），而且也不能抵消单位圆内那些很靠近单位圆周的零极点。因此实际上不是以单位圆作为划分

和

以及

和

的分界域，而是以如图4-26中的D域。3.静态精度的要求设闭环系统的传递函数为(4-87)误差变换式为

(4-88)当输入为单位阶跃函数时

(4-89)若要求闭环系统为I型系统，即稳态误差应为零。有(4-90)若要求系统的速度品质系数为，则也可对H(z)提出相应的要求。(4-91)若给定，根据上式可提出对H(z)的要求。4.动态性能的要求

为了满足动态性能的要求，需要适当地设定闭环模型传递函数H(z)。通常可以根据对系统的频带及阻尼的要求来给出H(z)的主导极点。然后再根据对其他方面的要求，如：可实现性，稳定性及静态精度等，再考虑一些非主导的零极点及决定其中的系数。

例如，若设(4-92)即假设对象的极点都在单位圆内，而零点则可能有在单位圆外。若采用一阶主导极点模型，可取(4-93)其中d表示A(z)比B(z)高的阶次，r表示的次数。z=a是一阶主导极点。这里可取，T表示采样周期，是一阶模型的时间常数。由于比高d阶，满足可实现性的要求。同时由于中包含，因而也满足稳定性的要求。的选择是为了满足静态精度的要求。若采用二阶主导极点模型，可取(4-94)其中(4-95)式(4-94)的主导极点为一对共轭极点，可设成式(4-95)的形式，式中的其余附加项用来满足可实现性、稳定性及静态精度的要求。

设系统的结构如图4-27所示。对象的传递函数

；性能指标：Kv≥1，σ%≤20%，ts≤6秒；采样周期T=1秒。利用解析法来设计离散的控制器传递函数D(z)。

解：利用零阶保持器法将G(s)化为G(z)：

(4-96)设采用式(4-94)所示的二阶主导极点模型，同时取D域为单位圆，则据式(4-96)得

。且为满足Kv的要求，设(4-97)其中，A(z)比B(z)高一阶，即d=1，

为一阶，即r=1，故据(4-94)可得(4-98)该例中，T=1，

，据式(4-95)可得,(4-99)将式(4-99)代入(4-98)得(4-90)据H(1)=1的要求，可得

(4-101)再据对的要求，即式(4-101)得

(4-102)由式(4-101)和式(4-102)得,

(4-103)从而得到满足性能指标的闭环模型传递函数

(4-104)控制器的传递函数为

(4-105)

从上式看出，D(z)抵消了G(z)的零点(z=-0.967)和一个极点(z=0.905),而G(z)的另外一个极点(z=1)并未被抵消掉，这是我们所希望的。由于D(z)抵消了G(z)的靠近单位圆的零点(z=-0.967)，造成输出y的稳定性较差些。利用Matlab对其进行仿真，结果如图4-28及4-29所示。分析结果表明，控制量u振荡得厉害，输出y呈现波纹。这是由于D(z)抵消了G(z)的很靠近单位圆的零点(z=-0.967)造成的。

为了不抵消G(z)的靠近单位圆的零点(z=-0.967)，可令

，据式(4-94)及(4-100)可以给定如下的模型传递函数：

(4-106)根据H(1)=1的要求，可求得

(4-107)根据对Kv的要求，即式(4-91)，可求得(4-108)由式(4-107)和(4-108)得,(4-109)将式(4-109)代入(4-106)得

(4-110)得控制器的传递函数为

(4-111)

从上式可以看出，D(z)只抵消了对象的一个极点(z=0.905)而没有抵消G(z)的零点(z=-0.967)和另外一个极点(z=1)。对其进行仿真结果如图4-30。分析结果，输出y和控制量u令人满意。

解析设计法具有方法简单和直接的优点，关键是合适地给定闭环系统的传递函数。只要适当地考虑可实现性、稳定性、静态精度及动态精度的要求，给出H(z)也不是困难的该方法的缺点是，设计出来的控制器可能较复杂。当对象中具有不能抵消的极点时，H(z)的设定也较复杂。总之，该方法比较通用、灵活而简单。4.4.3最少拍控制1.最少拍随动系统的脉冲传递函数

在如图4-4-10所示的典型数字控制系统中，最少拍随动系统的闭环误差脉冲传递函数为

(4-112)

即，式(4-4-62)也可表示为

或(4-113)

式(4-11