BET比表面积和孔径学习资料

BET比表面积和孔径孟子二章一词多义孟子二章一词多义

/孟子二章一词多义一、重点词语得道多助失道寡助【天时】有利于作战的天气、时令。【地利】有利于作战的地理形势。【人和】指作战中的人心所向，内部团结。【环】围。【兵革】泛指武器装备。兵，兵器。革，甲衣。【坚利】坚固锋利。【固国】巩固国防。【兵革之利】武器的强大。【顺】归顺，服从。【故】所以。生于忧患，死于安乐【畎亩】间、田地。【大任】重大的责任，担子。【行拂乱其所为】行拂，所行不顺。【所以动心忍性】所以，用来【恒】常。【然后】这样以后。【困于心】内心优困。【作】奋起，指有所作为。【法家】有法度的世臣。【外患】外来侵略的忧患。二、《〈孟子〉两章》通假字【亲戚湖畔之】“畔”通“叛”，背叛。【曾益其所不能】“曾”通“增”，增加。【困于心衡于虑而后作】“衡”通“横”，梗塞，指不顺。【入则无法家拂士】“拂”通“弼”，辅佐。三、一词多义【之】亲戚畔之：代词，他三里之城：助词，的寡助之至：动词，到【于】舜发于畎亩之中：从故天将降大任于是人也：给征于色：在生于忧患：由于，在【而】而后作：承接连词而死于安乐也：并列连词【拂】行拂乱其所为（阻挠，违反）拂士（同“弼”，辅佐，辅弼）【以】以天下之所顺：凭所以动心忍性：用来【发】发于畎亩：举，被任用发于声：表现四、古今异义【委而去之】古义：放弃今义：委托【委而去之】古义：离开今义：到【域民不以封疆之界】古义：限制今义：疆域【七里之郭】古义：外城今义：姓氏【池非不深也】古义：护城河今义：池塘【亲戚畔之】古义：内亲外戚今义：跟自己家庭有婚姻关系的家庭或它的成员。【舜发于畎亩之中】古义：被任用今义：送出、交付【举于版筑之间】古义：捣土用的杵今义：建筑、修路【举于士】古义：狱官）今义：士兵【故天将降大任于是人也】古义：这今义：判断动词【征于色，发于声，而后喻】古义：征验，表现今义：出征【征于色，发于声，而后喻】古义：古义──明白，了解；今义：比喻五、词类活用【威天下不以兵革之利】一般“威”是形容词为形容词，这里用作动词，作“威慑”讲【必先苦其心志】一般“苦”是形容词，在此为动用法，使……痛苦。【劳其筋骨】一般“劳”是形容词，在此为使动用法，使……劳累。【饿其体肤】一般“饿”是形容词，在此为使动用法，使……饥饿。【空乏其身】一般“空”“乏”是形容词，在此为使动用法，使……贫困。【行拂乱其所为】一般“乱”是形容词，在此为使动用法，使……额倒错乱。【所以动心忍性】一般“动”是动词，“忍”是形容词，在此为使动用法，使他的心惊动，使他的性情坚韧起来。【人恒过】一般“过”是名词，在此活用为动词，犯错误、犯过失【入则无法家拂士、出则无敌国外患者】一般“入”“出”是动词，在此活用为为名词，国内、国外。六、句子解释１、域民不以封疆之界限制百姓不能只靠划定的疆域的界限2、故君子有不战，战必胜矣所以君子不战则已，战就一定能胜利。3、得道多助，失道寡助能施行“仁政”的君主，帮助支持他的人就多，不行“仁政”的君主，支持帮助他的人就少。4、生于忧患，死于安乐在忧患中生存发展，在安逸享乐中灭亡。5、行拂乱其所为使他做事不顺。

《学奕、两小儿辩日》教学设计《学奕、两小儿辩日》教学设计

/《学奕、两小儿辩日》教学设计《学弈、两小儿辩日》教学设计第一课时学习目标1．读准每个字的读音。2．正确流利地朗读课文，背诵课文。根据课后注释联系上下文，了解故事内容。3．能从课文中体会到学习必须专心致志、不可三心二意的道理，学习孔子实事求是的科学态度，体会学无止境的道理。一、谈话导入，揭示课题1．教师谈话：文言文是我国传统文化的宝贵遗产，它言简意赅，记录了我国悠久的历史，灿烂的文明。不少文言文还揭示了深刻的道理。今天，我们一起学习两篇融知识性、趣味性与哲理性于一体的文言文。板书课题，齐读课题。2．成语导入：“专心致志”这个成语你熟悉吗？谁能讲讲它的意思。“专心致志”这个成语源自《孟子·告子》中的一篇文言文──《学弈》。（板书：学弈）介绍孟子资料：孟子（约公元前372―前289）名轲，字子舆。战国时邹国（现山东邹县）人。我国古代思想家、教育家。是孔子以后的儒学大师，被尊称为“亚圣”，后世将他与孔子合称为“孔孟”。他肯定人性本来是善的，都具有仁、义、礼、智等天赋道德意识。提出了“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”等论点。《孟子》是孟子与他的弟子合著的，内容包括孟子的政治活动、政治学说、哲学思想和个性修养等。3．释题：“弈”指什么？“学弈”又是什么意思呢？（“弈”，本来专指下围棋，“学弈”就是学下围棋。现在的“对弈”，就是下棋的意思，但不限于下围棋。）4．引导学生就课题质疑，及时归纳整理并板书：（1）谁学下棋？（2）怎么学下棋？（3）学得结果怎么样？（4）《学弈》这个故事告诉我们一个什么道理？5．课前同学们已经预习了课文，谁能给大家讲一讲《学弈》这个故事？二、初读课文，读通句子

1．教师范读课文，努力做到读得有声有色，流畅自如（最好能背诵）。从而感染学生，激发其诵读兴趣。

2．读后学生评价，及时归纳出朗读文言文的要点：一是读的速度要慢，二是停顿要得当。老师也可出示原文和停顿符号，以对学生朗读有所帮助。

3．学生模仿教师自由练读，读通读顺为止。（教师要给学生充裕的时间反复朗读）

4．同桌互读课文，互相正误。

5．教师运用多种方式指导学生朗读课文，如指名读、赛读、齐读等，直到读熟为止。弈秋，通国之／善弈者也。使／弈秋／诲／二人弈，其一人／专心致志，惟／弈秋之为听；一人／虽／听之，一心以为／有鸿鹄／将至，思／援弓缴／而射之。虽／与之／俱学，弗若之矣。为是／其智／弗若与？曰：非／然也。

三、精读课文，理解文意。

1．学生对照文后注释，自己尝试弄懂每句话的意思，理解故事的内容，遇有困难教师及时帮助。

2．同桌互相解疑释惑，合作学习，讨论每句话的意思，也可向教师请教。教师及时就文中比较难理解的词句进行指导：如“之”在不同句子里的意思不同；“与”是通假字，同“欤”，表示疑问或反问，跟“吗”“呢”相同；弗若，不如；为是其智弗若与，在这句话里，“为”应读第四声；然，这样。

3．学生对照注释，讲解自己对文中语句的理解，教师及时讲解学生理解中的难点。

（《学弈》参考译文：弈秋是全国最会下棋的人。让弈秋教两个人下棋，其中一个人专心致志，只听弈秋的教导；而另一个人虽然在听着，可是他心里总以为有天鹅要飞过来，想拿弓箭去射它。这样，虽然他同前一个人一起学习，却学得不如前一个。能说这是他的聪明才智不如前一个人吗？我说：不是这样的。）

4．同桌互相讲说故事内容。

四、自读思考，体会文中道理

教师引导学生逐一解答就课题提出的问题

1．谁学下棋？谁是老师？――有两个人学下棋，老师是全国最善于下棋的弈秋。

2．（这两个人）怎么学下棋？――“其一人专心致志，惟弈秋之为听”（其中一个人专心致志，只听弈秋的教导，注意力十分集中，一心一意）；“一人虽听之，一心以为有鸿鹄将至，思援弓缴而射之”（而另一个人虽然在听着，可是他心里总以为有天鹅要飞过来，想拿弓箭去射它，学习时注意力不集中，三心二意）。

3．学得结果怎么样？“虽与之俱学，弗若之矣”（虽然后一个人同前一个人一起学习，却学得不如前一个）。

解答这个问题后，教师可以追问：是什么原因使“虽与之俱学，弗若之矣”，（引导学生理解：两个人学习结果不同，并不是因为在智力上有多大差别，而是他们的学习态度不同――前一个专心致志，后一个三心二意。）

4．学弈这个故事告诉我们一个什么道理？（学习、做事必须专心致志，不可三心二意。）

五、联系生活，深化认识

1．请学生谈谈学习本文的体会。

（做什么事只有专心致志，一心一意才能成功。）

2．你能联系实际说一说吗？

（让学生联系生活、学习中的经历充分发言，认识到不专心产生的不良结果，增强做事专心致志的意识。）

六、复述故事，背诵课文。

1．同桌互相讲故事

2．指导学生背诵课文。

全文注释如下：

弈秋（人名），通（全）国之（文言助词，的）善（擅长）弈（下棋）者（的人）也（文言助词）。使（让）弈秋诲（教）二人弈，其（其中）一人专心致志（集中意志），惟（只）弈秋之（文言助词，有提起动词性谓语“为”的作用，从而使句中的“弈秋之为”取消了句子的独立性，成为了“听”的状语。――这一点只对教师讲，之所以提出这个“之”字，使为了和本文其他“之”字含义相区别。）为听，一人虽听之（他，指代弈秋），一心以为鸿鹄（天鹅）将至（原是生丝绳，这里指系着丝绳射鸟用的箭）（到），思（想）援（拉开）弓（弓箭）缴而射之（它，指鸿鹄），虽与（和）之（他，指代另一个学生）俱（一起）学，弗（不）若（如）之（他）矣（文言助词）。为（因为）是（这，指这个人）其（他的）智（智力、智慧）弗若与（文言助词，同“吗”）？曰（说）：非（不是）然（这样）也。

第二课时

一、复习巩固，导入新课

1、背诵《学弈》。这个故事告诉我们一个什么道理？

2．板书课题：《文言文两则<两小儿辩日>》。3．介绍资料：《两小儿辩日》选自《列子·汤问》，《列子》相传为列御寇的论集。列御寇，战国时郑国人，《列子》共8篇，其中保存了许多民间故事、寓言和神话传说，如愚公移山，歧路亡羊，杞人忧天等，具有很高的文学价值。

4．理解课题，质疑问难：（1）看了课题，你知道了些什么？（知道了文中的主人公是两个小孩；知道了这篇文章主要是写两个小孩辩日这件事）（2）看了课题你还想知道些什么？（①他们为什么争辩？②他们各自的观点是什么？依据是什么？③他们辩论的结果是什么？教师及时板书学生提出的问题）

二、总结学法，明确目标

1．回顾学习《学弈》一文的过程，总结学习方法。（1）理解课题，提出问题。

（2）读准字词，读通课文。

（3）结合注释，疏通文意。

（4）解疑释惑，体会道理。

（5）复述故事，熟读成诵。

2．明确方法，自主学习

*读准字词，读通课文

1）学生自读课文，注意语速要慢，适当停顿，到读通顺为止，。（2）学生多种形式朗读课文，师生及时评价。两小儿辩日孔子东游，见/两小儿/辩斗，问其故。一儿曰：“我以/日始出时/去人近，而/日中时/远也。”一儿以/日初出远，而/日中时/近也。一儿曰：“日初出/大如车盖，及日中\则如盘盂，此不为/远者小/而/近者大乎？”一儿曰：“日初出/沧沧凉凉，及其日中/如探汤，此不为/近者热/而/远者凉乎？”孔子不能决也。两小儿笑曰：“孰/为汝/多知乎？”孔子东游，见两小儿辩斗（1），问其故（2）。一儿曰："我以（3）日始出时去（4）人近，而日中（5）时远也。"一儿以日初出远，而日中时近也。一儿曰："日初出大如车盖（6），及（7）日中，则（8）如盘盂（9），此不为（10）远者小而近者大乎？"一儿曰："日初出沧沧凉凉（11），及其日中如探汤（12），此不为近者热而远者凉乎？"孔子不能决（13）也。两小儿笑曰："孰（14）为汝（15）多知乎？"（1）辩斗：辩论，争论。（2）故：原因，缘故。（3）以：以为，认为。（4）去：离。（5）日中：中午。（6）车盖：古时车上的篷盖，像雨伞一样，呈圆形。（7）及：到了。（8）则：就。（9）盂：一种装酒食的敞口器具。（10）为：是。（11）沧沧凉凉：阴阴冷冷，天气凉爽的样子。（12）探汤：把手伸到热水里去。意思是天气很热。（13）决：裁决，判断。（14）孰：谁，哪个。（15）汝：你。

*结合注释，疏通文意

（1）对照注释，弄懂词句，理解故事的内容。

（2）同桌互相解疑释惑，合作学习，弄明白每句话的意思。

（3）请学生参考注释，用现代口语复述故事，并根据学生复述的状况进行即时疏通点拨。

（译文如下：孔子到东方去游学，途中看见两个小孩在争论。孔子询问他俩争论的原因。一个小孩说：“我认为太阳刚出来时距离人近，而正午时距离人远。”另一个小孩却认为太阳刚出来时离人远，而正午时离人近。前一个小孩说：“太阳刚出来时大得像车上的篷盖，等到正午时就像个盘盂，这不是远处的小而近处的大吗”另一个小孩说：“太阳刚出来时清清凉凉，等到正午时就热得像把手伸进热水里一样，这不是近的时候热而远的时候凉吗”孔子听了，不能判断谁是谁非。两个小孩笑着说：“谁说你知道的事情多呢”）

3．解疑释惑，体会道理

（1）两小儿为什么争辩？（太阳是远是近）

（2）他们各自的观点是什么？依据是什么？（①一小儿的观点是：“我以日始出时去人近，而日中时远也。”依据是：“日初出大如车盖，及日中，则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”一个小孩认为太阳早上离人近，中午离人远，他是根据形状大小来判断的。②另一小儿的观点是：以日初出远，而日中时近也。依据是：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”另一个小孩认为太阳早上离人远，中午离人近，他是根据温度来判断的。）（3）他们辩论的结果是什么？（孔子不能决也――孔子也不能判断谁对谁错。）

（4）对两小儿所持观点，你同意哪一种为什么（引导学生积极发表看法，保护他们大胆发表自己见解的积极性。）

（教师适时补充资料供学生阅读：其实太阳早上和中午离我们的距离是一样的。①远小近大的原因：A、早晨和中午的时候太阳距离地球的远近是一样的。由于视觉的误差。同一个物体，放在比它大的物体群中显得小，而放在比它小的物体群中则显得大。同样的道理，早晨的太阳，从地平线上升起来的背衬是树木、房屋及远山和一小角天空，在这样的比较下，此时的太阳就显得小了。B、同一物体白色比黑色的显得大些，这种物理现象叫做“光渗作用”。当太阳初升的时候，背景是黑沉沉的天空，太阳显得明亮；中午时，背景是万里蓝天，太阳与其亮度反差不大，就显得小些。②日初凉、日中热的原因：A、早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地。在相同的时间、相待的面积里，直射比斜射热量高。B、在夜里，太阳照射到地面上的热度消散了，所以早上感到凉快；中午，太阳的热度照射到地面上，所以感到热。）

4．学了这个有趣的故事，你喜欢故事中的哪个人物？为什么？

（1）两小儿聪明可爱，善于动脑，对自己不懂的问题大胆质疑，勇于争辩。

（2）孔子谦虚谨慎、实事求是,尽管学识渊博，可是仍然“知之为知之，不知为不知”，引导体会学无止境的道理。

5．复述故事，熟读成诵。

（1）分角色朗读课文。

（2）学生分组表演故事。（学生自由选择使用现代话或使用文言文表演）

（3）学生背诵课文。

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用第五章定积分及其应用本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.第1节定积分的概念与性质1.1定积分问题举例曲边梯形的面积曲边梯形?设函数在区间上非负、连续?由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形?其中曲线弧称为曲边?求曲边梯形的面积的近似值?将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积?则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值?具体方法是?在区间中任意插入若干个分点（图5-1）

把分成个小区间

它们的长度依次为经过每一个分点作平行于轴的直线段?把曲边梯形分成个窄曲边梯形?在每个小区间上任取一点以为底、为高的窄矩形近似替代第个窄曲边梯形，，把这样得到的个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值?即

求曲边梯形的面积的精确值?显然?分点越多、每个小曲边梯形越窄?所求得的曲边梯形面积的近似值就越接近曲边梯形面积的精确值?因此?要求曲边梯形面积的精确值?只需无限地增加分点?使每个小曲边梯形的宽度趋于零?记于是?上述增加分点?使每个小曲边梯形的宽度趋于零?相当于令所以曲边梯形的面积为图5-11.1.2变速直线运动的路程设物体作直线运动?已知速度是时间间隔上的连续函数?且计算在这段时间内物体所经过的路程?求近似路程?我们把时间间隔分成个小的时间间隔?在每个小的时间间隔内?物体运动看成是均速的?其速度近似为物体在时间间隔内某点的速度?物体在时间间隔内运动的路程近似为把物体在每一小的时间间隔内运动的路程加起来作为物体在时间间隔内所经过的路程的近似值?具体做法是?在时间间隔内任意插入若干个分点

分成个小段

各小段时间的长依次为

相应地?在各段时间内物体经过的路程依次为

在时间间隔上任取一个时刻以时刻的速度来代替上各个时刻的速度?得到部分路程的近似值?即

于是这段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程的近似值?即?求精确值?记当时?取上述和式的极限?即得变速直线运动的路程?

1.2定积分的概念抛开上述问题的具体意义?抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括?就抽象出下述定积分的定义?定义设函数在上有界?在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间

各小段区间的长依次为在每个小区间上任取一个点作函数值与小区间长度的乘积并作出和?记?如果不论对怎样分法?也不论在小区间上点怎样取法?只要当时?和S总趋于确定的极限I?这时我们称这个极限I为函数在区间上的定积分?记作?即?其中叫做被积函数?叫做被积表达式?x叫做积分变量?a叫做积分下限?b叫做积分上限?叫做积分区间?根据定积分的定义?曲边梯形的面积为?变速直线运动的路程为?说明?(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关?而与积分变量的记法无关?即?(2)和通常称为f(x)的积分和?(3)如果函数在上的定积分存在?我们就说在区间上可积?函数在上满足什么条件时?在上可积呢？定理1设在区间上连续?则f(x)在上可积?定理2设在区间上有界?且只有有限个间断点?则在上可积?定积分的几何意义?设是上的连续函数，由曲线及直线所围成的曲边梯形的面积记为.由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义：（1）当时，（2）当时，（3）如果在上有时取正值，有时取负值时，那么以为底边，以曲线为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有其中分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.图5-2例1.利用定义计算定积分?解把区间[0?1]分成n等份??分点和小区间长度分别为(i?1?2?????n?1)?(i?1?2?????n)?取作积分和?因为?当时??所以?图5-3例2用定积分的几何意义求?解函数在区间上的定积分是以为曲边??以区间为底的曲边梯形的面积?因为以为曲边??以区间为底的曲边梯形是一直角三角形?其底边长及高均为1?所以?图5-4例3利用定积分的几何意义，证明.证明令，显然，则由和直线，所围成的曲边梯形是单位圆位于轴上方的半圆.如图5-5所示.因为单位圆的面积，所以半圆的面积为.由定积分的几何意义知：.图5-5????定积分的性质两点规定?(1)当时??(2)当时??性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即?证明:

?性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即?这是因为?????????性质???如果将积分区间分成两部分?则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和?即??这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性?值得注意的是不论的相对位置如何总有等式成立?例如?当时?由于?于是有?性质4如果在区间上f(x)?1则?性质5如果在区间上f(x)?0?则(a?b)?推论1如果在区间上f(x)?g(x)则(a?b)?这是因为g(x)?f(x)?0?从而?所以?推论2(a?b)?这是因为?|f(x)|?f(x)?|f(x)|???所以?即性质6设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值?则(a?b)?证明因为m?f(x)?M?所以?从而?性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续?则在积分区间上至少存在一个点???使下式成立??这个公式叫做积分中值公式?证明由性质6?各项除以得?再由连续函数的介值定理?在上至少存在一点??使?于是两端乘以得中值公式?注意?不论还是?积分中值公式都成立?并且它的几何意义是:由曲线,直线和轴所围成曲边梯形的面积等于区间上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间,矩形的高为区间内某一点处的函数值，如图5-6所示.图5-6习题5-11.利用定积分的概念计算下列积分.（1）;（2）().2.说明下列定积分的几何意义，并指出它们的值.（1）；（2）；（3）；（4）.3.不经计算比较下列定积分的大小（1）与;（2）与;（3）与;（4）与.4.设为区间上单调增加的连续函数，证明：5.用定积分定义计算极限微积分基本公式2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动?在时刻所经过的路程为?速度为则在时间间隔内物体所经过的路程可表示为及?即?上式表明?速度函数在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量?这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？2.2积分上限函数及其导数定义设函数在区间上连续?并且设为上的一点??我们把函数在部分区间上的定积分称为积分上限的函数?它是区间上的函数?记为?或?定理1如果函数在区间上连续?则函数在上具有导数?并且它的导数为?证明若?取使

?应用积分中值定理?有其中在与之间?时??于是即若?取?则同理可证?若?取?则同理可证?推论如果可导，则更一般的有例1计算.解==.例2求极限.解因为，，所以这个极限是型的未定式，利用洛必达法则得====.例3设在内连续且?证明函数在内为单调增加函数?证明??故?按假设?当时所以??从而这就证明了在内为单调增加函数?

定理2如果函数在区间上连续?则函数就是在上的一个原函数?定理的重要意义?一方面肯定了连续函数的原函数是存在的?另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系?2.3牛顿??莱布尼茨公式定理3如果函数是连续函数在区间上的一个原函数?则?此公式称为牛顿??莱布尼茨公式?也称为微积分基本公式?证明已知函数是连续函数的一个原函数?又根据定理2?积分上限函数也是的一个原函数?于是有一常数?使当时?有，而，所以?当时??所以?即?为了方便起见?可把记成?于是?该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系?例4计算?解由于是的一个原函数?所以?例5计算?解由于是的一个原函数?所以?例6计算?解?ln1?ln2??ln2?例7求.解====.例8计算正弦曲线y?sinx在[0??]上与x轴所围成的平面图形的面积?解这图形是曲边梯形的一个特例?它的面积??(?1)?(?1)?2?习题5-21.设，求；2.设，求；3.求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）.4.计算下列导数（1）；（2）；（3）.5.求下列极限（1）；（2）.6.计算下列定积分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）;（8）;（9）;（10）;（11）;（12）;（13）;（14）;（15）;（16）;（17）;（18）8．设，求.定积分的计算3.1定积分的换元积分法定理假设函数在区间上连续?函数满足条件?(1)(2)在（或）上具有连续导数?且其值域不越出?则有?这个公式叫做定积分的换元公式?证明由假设知?在区间上是连续?因而是可积的?在区间(或)上也是连续的?因而是可积的?假设是的一个原函数?则

另一方面?因为?所以F[?(t)]是的一个原函数?从而

因此?例1求.解令，则，，当时，，当时，，于是====例2求.解令，则，，当时，；当时，，于是=====.例3计算(a>0)?解令，则，当时?当时?

?例4计算?解:令则当时?当时??或?例5计算?解

?提示??在上在上例6计算?解令则，当时?当时??例7设在区间上连续，证明：（1）如果为奇函数，则；（2）如果为偶函数，则.证明由定积分的可加性知，对于定积分，作代换，得===，所以=（1）如果为奇函数，即，则，于是.（2）如果为偶函数，即，，于是.例8若在上连续?证明(1)?(2)?证明(1)令?则?(2)令?则?所以?例9设函数?计算?解设?则当时?当时??3.2定积分的分部积分法设函数在区间上具有连续导数?由得?式两端在区间上积分得?或?这就是定积分的分部积分公式?分部积分过程??例10计算?解?例11计算?解令?则?例12求.解=====.例13求.解====.例14设?证明(1)当n为正偶数时??(2)当n为大于1的正奇数时??证明

?(n?1)In?2?(n?1)In?由此得???而??因此??3.3定积分的近似计算虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍三种常用的方法：矩形法、梯形法及抛物线法。3.3.1矩形法用分点将区间等分成份，每一份长度为，取小区间左端点的函数作为窄矩形的高（图5-7），则有取小区间右端点的函数值作为窄矩形的高，则有以上两公式称为矩形法公式。图5-73.3.2梯形法将积分区间作等分，分点依次为相应的函数为

曲线上相应的点为将曲线的每一段弧用过点（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形形成了真正的梯形（图5-8），其面积为于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即

亦即（2）称此式为梯形法公式。在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有其中图5-83.3.3抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。（图5-9）将区间作等分，分点依次为对应的函数值为

曲线上相应的点为现把区间上的曲线段用通过三点的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：

将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：

即这就是抛物线法公式，也就是辛卜生公式。也有其中可见越大，近似计算越准确。一般说来，将积分区间作同样数目等份的情况下，抛物线形公式比梯形公式更精确一些。图5-9习题5-31计算下列定积分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.2.利用换元法计算下列积分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.3.计算下列定积分（1）；（2）.4.利用分部积分法计算下列积分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）.5.利用奇偶性计算下列各式（1）;（2）；（3）;（4）.6.若是连续的奇函数，证明是偶函数：若是连续的偶函数，证明是奇函数。7.若在区间上连续,证明(1)=;(2)=,由此计算.8.设在上连续，证明.9.设在上连续，证明：反常积分4.1无穷限的反常积分定义1设函数在区间上连续?取?如果极限存在?则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分?记作?即?这时也称反常积分收敛??如果上述极限不存在?函数在无穷区间上的反常积分就没有意义?此时称反常积分发散?类似地?设函数在区间上连续?如果极限(a<b)存在?则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分?记作?即?这时也称反常积分收敛??如果上述极限不存在?则称反常积分发散?设函数在区间上连续?如果反常积分和都收敛?则称上述两个反常积分的和为函数在无穷区间上的反常积分?记作?即?这时也称反常积分收敛?如果上式右端有一个反常积分发散?则称反常积分发散?反常积分的计算?如果是的原函数?则?可采用如下简记形式??类似地??例1计算反常积分?解

?例2计算反常积分(是常数?且)?解?提示??例3讨论反常积分的敛散性?解当时??当时??当时??因此?当时?此反常积分收敛?其值为?当时?此反常积分发散?4.2无界函数的反常积分定义2设函数在区间上连续?而在点的右邻域内无界?取?如果极限存在?则称此极限为函数在上的反常积分?仍然记作?即?这时也称反常积分收敛?如果上述极限不存在?就称反常积分发散?类似地?设函数在区间上连续?而在点的左邻域内无界?取?如果极限存在?则称此极限为函数f(x)在[a?b)上的反常积分?仍然记作?即?这时也称反常积分收敛?如果上述极限不存在?就称反常积分发散?设函数在区间上除点外连续?而在点的邻域内无界?如果两个反常积分与都收敛?则定义否则?就称反常积分发散?瑕点?如果函数在点的任一邻域内都无界?那么点称为函数的瑕点.反常积分的计算?如果为的原函数?为瑕点，则有?可采用如下简记形式??类似地?当为瑕点时?有?当为瑕点时??例4计算反常积分?解因为?所以点a为被积函数的瑕点??例5讨论反常积分的收敛性?解函数在区间上除外连续?且?由于?即反常积分发散?所以反常积分发散?例6讨论反常积分的敛散性?解当时??当时??当时??因此?当时?此反常积分收敛?其值为?当时?此反常积分发散?习题5-41.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.2.计算下列反常积分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.3.证明广义积分当时收敛；当时发散.4.已知，求常数.定积分的应用5.1“微元法”回忆曲边梯形的面积?设如果说积分?是以为底的曲边梯形的面积?则积分上限函数就是以为底的曲边梯形的面积?而微分表示点处以为宽的小曲边梯形面积的近似值称为曲边梯形的面积元素?（图5-10）以为底的曲边梯形的面积就是以面积元素为被积表达式?以为积分区间的定积分??一般情况下?为求某一量??先将此量分布在某一区间上?分布在上的量用函数表示?再求这一量的元素?设??然后以为被积表达式?以为积分区间求定积分即得?用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)?图5-105.2、定积分在几何上应用、平面图形的面积直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线与及左右两条直线与所围成?则面积元素为??于是平面图形的面积为?类似地??由左右两条曲线与及上下两条直线与所围成设平面图形的面积为?例1计算抛物线所围成的图形的面积?解(1)画图??（图5-11）(2)确定在轴上的投影区间:?(3)确定上下曲线????(4)计算积分?图????例2计算抛物线与直线所围成的图形的面积?解(1)画图??（图5-12）(2)确定在y轴上的投影区间:[?2?4]?(3)确定左右曲线???(4)计算积分?图????例3求椭圆所围成的图形的面积?解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍?椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0?a]?因为面积元素为ydx?所以?椭圆的参数方程为:x?acost?y?bsint?于是?图5-132．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素（图5-14）?由曲线???(?)及射线???????围成的图形称为曲边扇形?曲边扇形的面积元素为?曲边扇形的面积为?图????例4.计算阿基米德螺线??a?(a>0)上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积?解:?例5.计算心形线??a(1?cos?)(a>0)所围成的图形的面积?解?图5-15例6.求双纽线所围成的图形的面积?解由对称性可知总面积为第一象限面积的四倍（如图5-16），即

图5-165.2.2体积旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体?这直线叫做旋转轴?常见的旋转体?圆柱、圆锥、圆台、球体?旋转体都可以看作是由连续曲线y?f(x)、直线x?a、a?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体?设过区间[a?b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x)?当平面左右平移dx后?体积的增量近似为?V??[f(x)]2dx?于是体积元素为dV??[f(x)]2dx?旋转体的体积为?图????例7连接坐标原点O及点P(h?r)的直线、直线x?h及x轴围成一个直角三角形?将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体?计算这圆锥体的体积?解直角三角形斜边的直线方程为?所求圆锥体的体积为?图5-18例8计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积?解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体?体积元素为dV??y2dx?于是所求旋转椭球体的体积为?例9计算由星形线绕x轴旋转而成的旋转体的体积?解星形线的参数方程为，根据对称性可知，旋转体体积为第一象限图像绕x轴旋转而成的旋转体的体积的2倍图5-19平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为[a?b]?过点x且垂直于x轴的平面与立体相截?截面面积为A(x)?则体积元素为A(x)dx?立体的体积为?例10一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心?并与底面交成角??计算这平面截圆柱所得立体的体积?解?取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴?底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴?那么底圆的方程为x2?y2?R2?立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形?两个直角边分别为及?因而截面积为?于是所求的立体体积为?例11求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积?解取底圆所在的平面为xOy平面?圆心为原点?并使x轴与正劈锥的顶平行?底圆的方程为x2?y2?R2?过x轴上的点x(?R<x<R)作垂直于x轴的平面?截正劈锥体得等腰三角形?这截面的面积为?于是所求正劈锥体的体积为??5.2.3平面曲线的弧长设A?B是曲线弧上的两个端点?在弧AB上任取分点A?M0?M1?M2?????Mi?1?Mi?????Mn?1?Mn?B?并依次连接相邻的分点得一内接折线?当分点的数目无限增加且每个小段Mi?1Mi都缩向一点时?如果此折线的长的极限存在?则称此极限为曲线弧AB的弧长?并称此曲线弧AB是可求长的?定理光滑曲线弧是可求长的?1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y?f(x)(a?x?b)给出?其中f(x)在区间[a?b]上具有一阶连续导数?现在来计算这曲线弧的长度?取横坐标x为积分变量?它的变化区间为[a?b]?曲线y?f(x)上相应于[a?b]上任一小区间[x?x?dx]的一段弧的长度?可以用该曲线在点(x?f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替?而切线上这相应的小段的长度为?从而得弧长元素(即弧微分)?以为被积表达式?在闭区间[a?b]上作定积分?便得所求的弧长为?在曲率一节中?我们已经知道弧微分的表达式为??这也就是弧长元素??例12计算曲线上相应于x从a到b的一段弧的长度?解??从而弧长元素?因此?所求弧长为?例13计算悬链线上介于x??b与x?b之间一段弧的长度?解??从而弧长元素为?因此?所求弧长为?2.参数方程情形设曲线弧由参数方程x??(t)、y??(t)(??t??)给出?其中?(t)、?(t)在[???]上具有连续导数?因为?dx???(t)dt?所以弧长元素为?所求弧长为?例14计算摆线x?a(??sin?)?y?a(1?cos?)的一拱(0???2?)的长度?解?弧长元素为?所求弧长为?8a?极坐标情形设曲线弧由极坐标方程???(?)(?????)给出?其中r(?)在[???]上具有连续导数?由直角坐标与极坐标的关系可得x??(?)cos???y??(?)sin?(?????)?于是得弧长元素为?从而所求弧长为?例15求阿基米德螺线??a?(a>0)相应于?从0到2?一段的弧长?解?弧长元素为?于是所求弧长为?5.3定积分在经济上的应用在经济分析中，我们可以对经济函数进行边际分析和弹性分析，这用到了导数或微分的知识。而在实际问题中往往还涉及到已知边际函数或弹性函数，来求经济函数（原函数）的问题，这就需要利用定积分或者不定积分来完成。下面通过实例来说明定积分在经济分析方面的应用。5.3.1利用定积分求原经济函数问题在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数,总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数的边际函数为,则有例16生产某产品的边际成本函数为,固定成本C(0)=10000,求出生产x个产品的总成本函数。解总成本函数===5.3.2利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量,则直接采用定积分来解决。例17已知某产品总产量的变化率为(件/天),求从第5天到第10天产品的总产量。解所求的总产量为(件)5.3.3利用定积分求经济函数的最大值和最小值例18设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。解总成本函数为=总收益函数为.总利润函数为.其导数为,令,得.因为，所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为(元)。5.3.4??利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t),假设连续收益流以连续复利率r计息,从而总现值y=。例19现对某企业给予一笔投资A,经测算,该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入,若年利润为r,试求:(1)该投资的纯收入贴现值;(2)收回该笔投资的时间为多少?解??(1)求投资纯收入的贴现值:因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为Y=从而投资所获得的纯收入的贴现值为(2)求收回投资的时间:收回投资,即为总收入的现值等于投资。由得T=即收回投资的时间为T=例如,若对某企业投资A=800(万元),年利率为5%,设在20年中的均匀收入率为a=200(万元/年),则有投资回收期为=(年)由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元,投资回收期约为4.46年.5.4定积分在物理上的应用5.4.1变力沿直线所作的功例20电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a<b)处求电场力对单位正电荷所作的功??提示:由物理学知道?在电量为+q的点电荷所产生的电场中?距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为(k是常数)?解在r轴上?当单位正电荷从r移动到r+dr时?电场力对它所作的功近似为?即功元素为?于是所求的功为?例21在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体?在等温条件下?由于气体的膨胀?把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处?计算在移动过程中?气体压力所作的功?解?取坐标系如图5-20?活塞的位置可以用坐标x来表示?由物理学知道?一定量的气体在等温条件下?压强p与体积V的乘积是常数k?即pV?k或?在点x处?因为V?xS?所以作在活塞上的力为?当活塞从x移动到x?dx时?变力所作的功近似为?即功元素为?于是所求的功为?图5-20例22一圆柱形的贮水桶高为5m?底圆半径为3m?桶内盛满了水?试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解?作x轴如图5-21?取深度x为积分变量?它的变化区间为[0?5]?相应于[0?5]上任小区间[x?x?dx]的一薄层水的高度为dx?水的比重为9?8kN/m3?因此如x的单位为m?这薄层水的重力为9?8??32dx?这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW?88?2??x?dx?此即功元素?于是所求的功为(kj)?图5-215.4.2水压力从物理学知道?在水深为h处的压强为p??h?这里?是水的比重?如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处?那么?平板一侧所受的水压力为P?p?A?如果这个平板铅直放置在水中?那么?由于水深不同的点处压强p不相等?所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算?例23一个横放着的圆柱形水桶?桶内盛有半桶水?设桶的底半径为R?水的比重为??计算桶的一个端面上所受的压力?解?桶的一个端面是圆片?与水接触的是下半圆?取坐标系如图5-22?在水深x处于圆片上取一窄条?其宽为dx?得压力元素为?所求压力为?图5-225.4.3引力从物理学知道?质量分别为m1、m2?相距为r的两质点间的引力的大小为?其中G为引力系数?引力的方向沿着两质点连线方向?如果要计算一根细棒对一个质点的引力?那么?由于细棒上各点与该质点的距离是变化的?且各点对该质点的引力的方向也是变化的?就不能用上述公式来计算?例24设有一长度为l、线密度为?的均匀细直棒?在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M?试计算该棒对质点M的引力?解?取坐标系如图5-23?使棒位于y轴上?质点M位于x轴上?棒的中点为原点O?由对称性知?引力在垂直方向上的分量为零?所以只需求引力在水平方向的分量?取y为积分变量?它的变化区间为?在上y点取长为dy的一小段?其质量为?dy?与M相距?于是在水平方向上?引力元素为?引力在水平方向的分量为?图5-23习题5-51、求由下列各曲线所围成的图形的面积（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线及；（3），与直线；（4）；（5），.2、求二曲线与所围公共部分的面积3、求由曲线和它在处的切线以及直线所围成的图形的面积和它绕轴旋转而成的旋转体的体积.4、由，，所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体的体积.5、过点抛物线的切线，该切线与上述抛物线及围成一平面图形，求此图形绕旋转所成旋转体的体积.6、试求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转所得的旋转体的体积.7、设把一金属杆的长度由拉长到时，所需的力等于，其中为常数，试求将该金属杆由长度拉长到所作的功.8、一矩形闸门垂直立于水中，宽为，高为，问闸门上边界在水面下多少米时？它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍.9、设一电子设备出厂价值为10万元，并以常数比率贬值，求其价值随时间t（单位为年）的变化率。若出厂5年末该设备价值贬到8万元，则在出厂20年末它的价值是多少？第6节MATLAB软件应用6.1积分的MATLAB命令利用Matlab求解定积分主要分为两种，符号积分和数值积分.符号积分MATLAB中主要用int进行符号积分R=int(s,v)??%对符号表达式s中指定的符号变量v计算不定积分.表达式R只是表达式函数s的一个原函数,后面没有带任意常数C.R=int(s)????%对符号表达式s中确定的符号变量计算不定积分.R=int(s,a,b)?%符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限R=int(s,x,a,b)%符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。.数值积分求解定积分的数值方法基本思想都是将积分区间分成n个子区间，使得定积分问题分解成求和问题。Matlab主要用trapz,dblquad,quad,quadl等进行数值积分。基于变步长辛普生方法，利用quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)变步长，牛顿-柯斯特方法，利用quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。trapz(x,y)梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。可以用helpint,helptrapz,helpquad等查阅有关这些命令的详细信息6.2MATLAB计算定积分实例例1?计算定积分.如果用符号积分法命令int计算积分，输入MATLAB代码为：clear;symsx;int(x^4,x,-2,2)结果为ans=64/5例2（广义积分）计算广义积分输入MATLAB代码为：symsx;y=int(exp(sin(x)-x^2/50),-inf,inf);vpa(y,10)结果为15.86778263。例3求定积分'exp(-x*x)MATLAB代码为：fun=inline('exp(-x.*x)','x');??%用内联函数定义被积函数fname

Isim=quad(fun,0,1)??%辛普生法

Isim?=

??0.746824180726425

IL=quadl(fun,0,1)???%牛顿－柯特斯法

IL?=

0.746824133988447例4用梯形积分法命令trapz计算积分MATLAB代码为：clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;?%积分步长为0.1trapz(x,y)结果为ans=12.8533实际上，积分的精确值为。如果取积分步长为0.01,MATLAB代码为：clear;x=-2:0.01:2;y=x.^4;?%积分步长为0.01trapz(x,y)结果为ans=12.8005可用不同的步长进行计算，考虑步长和精度之间的关系。一般说来,trapz是最基本的数值积分方法,精度低,适用于数值函数和光滑性不好的函数.总习题5（A）一、选择题1.设，则当时，是的（）.(A)等价无穷小(B)同阶但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小2.设，，则有（）.(A)N<P<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N3.下列式子中，正确的是（）.(A)(B)(C)(D)4.下列广义积分收敛的是（）.(A)（B）(C)(D)5.设,则极限等于().(A).(B).(C).(D).6.设，，则（）.（A）在点不连续.（B）在内连续，在点不可导.（C）在内可导，且满足.（D）在内可导，但不一定满足.7.利用定积分的有关性质可以得出定积分（）．（A）. （B）.（C）. （D）.8.已知函数，则（）．（A）. （B）. （C）. （D）.9.设，且，则（）．（A）． （B）． （C）． （D）．10.下列广义积分发散的是（）．（A）.（B）.（C）.（D）.11.设函数连续，则在下列变上限定积分定义的函数中，必为偶函数的是（）．（A）.（B）.（C）.（D）.12.设,,则（）．（A）（B）（C）（D）13.等于（）．（A）.（B）.（C）.（D）14.设函数在闭区间上连续，且，则方程在区间内的根有（）．（A）0个.（B）1个.（C）2个.（D）无穷多个.15.设，其中，则在区间内（）．（A）无界.（B）递减.（C）不连续.（D）连续.二、填空题1..2..3.设是方程所确定的的函数，则.4.设是连续函数，，则.5.已知则.6.设，则常数.7..8..9.设，则.10.设，则.三、计算题1.； 2.； 3.；4.； 5.； 6.;7.;8.;9.;10..四、综合题1.证明：.2.设连续，,且(为常数).求，并讨论在处的连续性.3.设是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线和直线及所围成的平面区域，其中.（1）试求绕轴旋转而成的旋转体体积；绕轴旋转而成的旋转体体积；（2）问当为何值时，取得最大值？并求此最大值.4.设在区间上连续，在内可导，且满足.证明存在一点，使得.5.设在区间上可微，且满足条件.试证：存在，使.6.设函数在内连续，，且对所有，满足条件,求.7.设函数有导数，且.证明：.8.设在上连续，且满足.试证：.9.设过坐标原点作曲线曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D，（1）求该平面图形D的面积,（2）求该平面图形D分别绕轴和轴旋转一周所得旋转体的体积和.(B)一、选择题1.（2012、数学二）设则有（A）（B）（C）（D）2.（2011、数学二）设，，，则，，的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）3.（2004、数学二）等于（）（A）.（B）.（C）.（D）4.（2009、数学三）使不等式成立的的范围是（A）. （B）.（C）. （D）.5.（2008、数学二）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（）（A）曲边梯形ABOD面积. （B）梯形ABOD面积.（C）曲边三角形面积. （D）三角形面积.6.（2006、数学二）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数 （D）在间断的偶函数. 7.（2004、数学二）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）（B）（C）（D）8.（2010、数学二）.设为正整数,则反常积分的收敛性（A）仅与取值有关 （B）仅与取值有关（C）与取值都有关（D）与取值都无关二、填空题1.（2011、数学二）曲线的弧长。2.（2011、数学二）设函数，则。3.（2010、数学二）4.（2009、数学二）已知,则5.（2009、数学二）6.（2006、数学二）设函数在处连续，则.7.（2006、数学二）广义积分.8.（2004、数学二）_____..9.（2009、数学三）设，则.10.（2005、数学二）.11．（2013、数学二）设函数，则的反函数在处的导数．12.（2010、数学三）设可导函数由方程确定，则______.13．（2010、数学三）设位于曲线下方，轴上方的无界区域为,则绕轴旋转一周所得空间区域的体积是______.14.（2013、数学二）设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为．15.（2012、数学三）曲线，直线及轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积______.16.（2004、数学三）设则_____.三、综合题1.（2008、数学二）求积分.2.（2004、数学二）设,(Ⅰ)证明是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求的值域3.（2004、数学三）4.（2010、数学二）(1)比较与的大小,说明理由.(2)记求极限5.（2011、数学二）已知函数，设，试求的取值范围。6.（2005、数学二）设函数f(x)连续，且，求极限7.（2009、数学三）设是周期为2的连续函数，（Ⅰ）证明对任意的实数，有；（Ⅱ）证明是周期为2的周期函数．8.（2004、数学三）设在上连续，且满足，，证明：.9.（2013，数学二）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．10.（2013，数学二）设曲线L的方程为．（1）求L的弧长．（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．11.（2012、数学二）过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.12.（2011、数学二）一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成。（

=1\*ROMAN

I

）求容器的容积；（

=2\*ROMAN

II

）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：，重力加速度为，水的密度为）13.（2010、数学二）一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为）14.（2009、数学二）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。15.（2007、数学二）设是位于曲线下方、轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值.16.（2006、数学二）已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性；（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.17.（2004、数学二）曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.18.（2004、数学二）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.（1）求曲线y=f(x)的方程；（2）已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.19.（2009、数学三）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.20.（2008、数学二）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.21.（2006、数学三）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值。22.（2005、数学二）如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象.过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和.记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程23.（2005、数学二）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分24.（20