第六章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域

表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划

问题，并能加以解决．

二元一次不等式组与简单的线性规划问题[理要点]一、二元一次不等式表示平面区域1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，

边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)

边界直线．不含包含2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合

；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合

.Ax＋By＋C>0Ax＋By＋C<03．可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的

来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．正负4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的

．公共部分二、线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的

线性约束条件由x，y的

不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数

，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的

解析式不等式(组)一次解析式一次名称意义可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得

或

的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的

或

问题(x，y)最大值最小值最大值最小值集合

[究疑点]1．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两

侧的充要条件是什么？提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.[题组自测]1．如图所示的平面区域(阴影部分)满

足不等式 (

)A．x＋y－1<0B．x＋y－1>0C．x－y－1<0D．x－y－1>0答案：

B解：(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)．取原点(0,0)，代入2x＋y－10，∵2×0＋0－10<0，∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，不等式2x＋y－10<0表示的区域如图(1)所示．(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图(2)所示．(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．答案：(1)A[归纳领悟]二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：直线定界、特殊点定域．注意不等式是否可取等号，不可取等号时直线画成虚线，可取等号时直线画成实线．若直线不过原点，特殊点常选取原点.答案：A答案：5[归纳领悟]求目标函数的最值的一般步骤是：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，准确理解z的几何意义，对于目标函数z＝ax＋by而言，当b>0时，在可行域内越向上平移直线ax＋by＝0，z的值越大；越向下平移直线ax＋by＝0，z的值越小．当b<0时，情况正好相反．[题组自测]1．一项装修工程需要木工和瓦工共同完成，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是______________．2．(2010·四川高考)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 (

)A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案：B3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.[归纳领悟]线性规划实际应用问题的解决常见的错误点有：(1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”、“至

少”等线性约束条件出现失误．(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确．(3)最大解为“整点时”不会寻找“最优整点解”．处理此类问题时．一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清，二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如x＝k或y＝k，k∈Z)．一、把脉考情从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)、求目标函数的最值、线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档题；主要考查平面区域的画法、目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．预测2012年高考仍将以目标函数的最值、线性规划的综合运用为主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．解析：画出可行域(如图中阴影部分)，由图可知，当直线经过点A(1,1)时，z最大，最大值为2×1＋1＝3.答案：C解析：作出可行域如图所示．作直线l0：x－2y＝0.当把l0平移到l1位置时，此时过点A(1，－1)，z的值最大，且zmax＝1－2×(－1)＝3.答案：B3．(2010·陕西高考)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨

铁矿