第三节 卷积与相关

是两种运算关系；都是含参量的无穷积分，与傅里叶变换、线性系统密切相关。

1.3卷积和相关都是两个函数通过某种运算得到另外一函数。

都是两个函数通过某种运算得到另外一函数。

一个函数是输入函数（待观测量、输入信号），一个函数描述观测方式或观测仪器的特征（或作用特点），另外一个函数就是输出函数（信号），即观测得到的结果。

“某种运算”：就是观测方式或观测仪器对输入函数作用的数学描述。

1.3-1卷积(convolution)

简要回顾卷积运算：可用来表示一个观测系统或一个观测仪器对输入信号的作用过程。一.卷积定义:都是实数；可实可复。相关运算：常用于比较两个函数的关联性、相似程度。一维卷积运算可简单地理解为f()h(x)曲线下面的面积随x在

到之间的变化，它是自变量x

的函数。

f是输入信号（或理想输出信号），h是描述线性不变系统（观测方式，观测仪器）的作用。g是输出信号

注意：在进行相乘之前必须关于原点反转。二．卷积计算方法

几何方法(thegraphicalmethod)

有三种方法可以得到两个函数的卷积：

直接积分(directintegration)数值积分(numericalintegration)

几何方法(thegraphicalmethod)

几何方法比较直观，有助于理解卷积的含义。具体求法大分为四步骤：折叠位移相乘积分首先，将

h()曲线绕纵轴翻转180°，得到曲线

h(

)。其次，对于一个

x值，只要将曲线

h(

)沿

x轴平移

x便得到

h(x

)曲线。最后，求式的积分：就是计算被积函数

f()h(x

)所对应的曲线与横坐标所围成的面积。

然后，求函数

f()和

h(x

)的乘积。对不同参量

x值，对应面积不同，且是

x的函数。这个函数就是

f(x)*h(x)。

01f(x)f()1h(x-)h(x-)01f(x)f()1h(x-)01f(x)f()h(x-)1

卷积运算图例01xf(x)101xh(x)21001f(x)f()h(x-)h(x-)01f(x)f()01f(x)f()h(x-)1f(x)f()1h(x-)01f(x)f()1h(x-)01f(x)f()1h(x-)f(x)f()h(x-)10101f(x)f()1h(x-)直接积分法对于一般函数直接积分的方法很容易。对于一些特殊函数来说，也可以用直接积分法，但一般需要对平移量x进行分段，并确定积分段的上、下限。例如：前面的例子平移项是x，可分成5段。我们可以注意到卷积运算的两个效应：

(1)展宽效应:假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为函数的宽度．一般说来，卷积函数的宽度等于被卷函数宽度之和．

(2)平滑效应:被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑．数值积分法编制一个简单程序，或用软件提供的功能直接求解程序一般有两种循环：

外层循环的增量是平移变量x的抽样间隔。内层循环对两个函数抽样值的乘积求和。三．卷积的性质

1）线性性质(Distributive)

2）可交换性(Commutative)3）平移不变性(Shiftinvariance)4）结合性(Associative)5）坐标缩放性质

6）δ函数的卷积

7）卷积运算具有平滑和展宽效果1）线性性质(Distributive)—叠加性和均匀性a和b为任意常数叠加性：函数和的卷积等于函数卷积的和。均匀性：当一个函数放大和缩小时，其卷积放大和缩小相同的倍数。线性性：同时具有叠加性和均匀性线性性质是线性系统的本质特性，在信息处理及许多学科中非常重要。根据卷积的线性性质可知：复函数之间的卷积运算，可转换成实函数之间的卷积运算。

2）可交换性(Commutative)

证明：

3）平移不变性(Shiftinvarance)

则：

若：两个函数发生平移，卷积结果也仅发生平移，卷积结果的幅值和形式不变。平移量等于两者平移量之和。平移不变性是线性系统的重要特性，在信息处理及许多学科中非常重要。

4）结合性(Associative)

有结合性和交换性可知，卷积运算的先后顺序对结果无影响

5）坐标缩放性质

若：当两个函数的坐标放大或缩小同样倍数时，其卷积的坐标也放大或缩小相同的倍数，但卷积的幅值将缩小或放大相同的倍数。

则：

6）δ函数的卷积

δ函数与任意另一个函数的卷积仅仅是重新产生这个函数或使这个函数产生相同的平移量。任意函数与δ函数的卷积等于函数本身，或仅仅发生平移，平移到函数（脉冲）所在的空间位置。δ函数的卷积性质及前面讲过的乘积性质、积分性质、FT性质等等，是非常重要的。1.3-2互相关和自相关(Cross-correlationandAutocorrelation)是一种运算关系(或过程)；是两个函数通过某种运算得到另外一函数；是含参量的无穷积分。常用于比较两个函数的关联性，相似程度，用于信号检测。一．定义

1）互相关定义

或其中：x,y,,

,′,′均为实变量，

f,g可实可复；

*表示复共轭，仅对复函数才有意义。

f(x,y)和g(x,y)的互相关为：2）自相关定义二．相关与卷积的关系（相关的卷积表达式）

1）互相关与卷积的关系

相关运算相当于先对

g(x,y)反演，取共轭，再进行卷积运算。

当g(x,y)=f(x,y)，表示自相关

证明：

2）自相关与卷积的关系

三.相关运算的性质自相关运算相当于函数自身先反演、取共轭，再与自身进行卷积运算。

1）互相关运算一般不具有可交换性

即：则有：显然，当

f,g均为实函数时，有：

2）自相关函数具有厄密对称性

当

f(x,y)

是实函数时，

自相关函数是实偶函数，对称分布。

一个复函数,若实部是偶的，而虚部是奇的，则称之为厄米的。即：(转置复共轭)该性质的重要性在于它反映了互相关运算的意义和作用，即：3)|Rfg(x,y)|2

Rff(0,0)Rgg(0,0)，其中:当且仅当

f(x,y)=k·g(x,y)时，(k为复常数)，才能取等号。互相关函数Rfg(x,y)反映了

f(,)和

g(-x,y)之间的相关性。|Rfg(x,y)|的数值反映了在给定点(x,y)处关联性的强弱，当f(x,y)=kg(x,y)，二者完全相关时，|Rfg(x,y)|取最大值。

自相关函数在原点处取最大值，且为正值。1）当

f(x,y)是复值函数时，

Rff(x,y)是厄米函数。即：

Rff(x,y)=R*ff

(-x,-y)，|Rff(x,y)|

Rff(0,0)。

3）当f(x,y)是虚函数时，Rff(x,y)也是实偶函数。2）当

f(x,y)是实函数时，

Rff(x,y)是实偶函数，在原点处取最大值。是以原点为对称点的、具有峰值的对称分布。即：

Rff(x,y)=Rff

(-x,-y)，|Rff(x,y)|Rff(0,0)。4)|Rff(x,y)|

Rff(0,0)对自相关函数的进一步说明:自相关的这些特殊性质，无论对于卷积和互相关，一般来说，都不适用。它们甚至对自卷积也不适用，除非很特殊的情况。如：一个实