金融衍生市场6

第六章期货定价原理1本章学习指导本章内容本章介绍了期货价格与相关现货价格，相关远期价格的关系，以及主要金融期货的定价方法。大纲要求

了解期货价格与预期现货价格之间关系的相关理论，理解期货价格与远期价格的关系，掌握股票指数期货，外汇期货、中、长期国库券期货和短期国库券期货的定价方法，并能够进行相关计算。2第一节

期货价格与相关价格的关系一、期货价格与现货价格的关系概述

期货价格与现货价格的基本关系，也是期货套期保值策略依据的两个基本原理：（1）同一品种的商品，其期货价格与现货价格受到相同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有不同，但其价格的变动趋势和方向有一致性；（2）随着期货合约到期日的临近，期货价格和现货价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两价格大致相等。

3二、期货价格与预期现货价格的关系

1.期货价格等于预期现货价格预期假说认为，期货合约当前的交易价格等于大家一致预期的在交割时的现货市场价格，用符号来表示就是：其中，pf是当前的期货合约的交易价格；

ps是预期期货合约标的资产在交割日的现货价格。

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2.期货价格低于预期现货价格著名经济学家凯恩斯认为，预期假说并没有正确地解释期货的价格。他认为，总体而言，套期保值者在期货市场上是以空头出现的，他们必须诱使投机者以多头的角色出现在期货市场上。因为承担多头的角色有风险，所以保值者需要通过使多头所预期的回报率来吸引投机者充当多头的角色，所以期货价格的估计必然会低于将来的现货价格。换句话说，当交割期来临时，现货价格实际上要比期货市场所预测的价格略高一些，其差额是对投机者承担保值者不愿承担的风险的一种回报。用符号表示为：5

这样，一个以价格购买期货合约的投机者可希望他在交割日能以一个更高的价格售出合约。期货价格和预期的现货价格之间的这种关系就称为正常期货折价，意指期货合约的价格在合约有效期内被认为是呈上升趋势的。

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3.期货价格高于预期现货价格

一个相反的假说认为，在通常情况下，套期保值者愿意在期货市场上作多头，这样他们必须诱使投机者做空头。因为持空头寸要承担风险，保值者就需要通过使持空头寸的预期回报率比无风险状态下更高来吸引投机者，即期货价格比预期的现货价格要高：

这样，一个持空头寸的投机者以pf的价格卖出的期货合约，将被预期在交割日以更低的价格ps买回来，期货价格和预期的现货价格之间的这种关系就称为期货溢价，指期货的价格在合约有效期内将被认为是呈下降趋势的。—7

具体关系如下图：正常期货溢价正常期货折价预期价格假说8

三、期货价格与远期价格的关系期货合约和远期合约最主要的差别就是期货合约要求每日清算赢利和亏损，而远期合约只在到期日或对冲远期头寸时才能实现赢利和亏损。在到期日，期货价格和远期价格都等于现货价格，但是，对于具有相同的到期日的期货合约和远期合约来说，在到期日之前的任何时刻，期货价格和远期价格是否相等就是需要讨论的问题了。

9（1）无风险利率在合约的期限内保持不变的情况（2）无风险利率的变化在合约的期限内无法预测的情况10第二节

股票指数期货与外汇期货定价一、股票指数期货的定价与其他金融期货相比，股票指数期货的一个明显的特征是其标的资产并非实际存在的金融资产，而是一种假定的资产组合。大部分股票指数可以看成支付红利的证券。这里的证券就是计算指数的股票组合，证券所付红利就是该组合的持有人收到的红利。根据合理的近似，可以认为红利是连续支付的。设q为红利收益率，可得股票指数期货价格为：11

其中，t表示期货合约到期的时间（年）；t表示现在的时间（年），则t-t表示期货合约中，以年为单位表示的剩下的时间；s表示期货合约标的的股票指数在时间t时的价格；r为无风险利率。12二、外汇期货的定价确定外汇期货价格的理论依据是国际金融领域著名的利率平价关系。根据利率平价理论，具有相同期限和风险的两国证券在定价上的差异应该等于两国利率的差异。根据第一节的讨论可知，在合理近似的情况下，期货价格可等于远期价格，我们用以下两个组合来给外汇期货定价：组合a：一个远期多头加上现金金额组合b：金额的外汇13

k表示远期合约中约定的交割价格；s表示以美元表示的一单位外汇的即期价格；rf表示外汇的无风险利率，若外汇的持有人将外汇投资于以该国货币标价的债券，他就能够获得货币发行国的无风险利率的收益；f表示t时刻远期多头的价值；采用连续复利方式计息。这两个组合在时刻t时都将等于一单位的外汇，因此，在t时刻两者也应该相等，有：即14远期价格f就是使得式中f=0时的k值，因而有当外汇的利率大于本国利率（）时，f始终小于s，并且合约到期日t越大，f值越小；当外汇的利率小于本国利率（）时，f始终大于s，并且合约到期日t越大，f值越大。15

第三节利率期货的定价一、长期利率期货的定价长期国库券期货和中期国库券期货是目前交易最活跃的长期利率期货，我们以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题，定价程序如下：161.根据报价计算债券的现金价格现金价格，又称为不纯价格,它与报价的关系为：现金价格＝报价＋上一个付息日以来的累计利息上一个付息日以来的累计利息是以实际过去的天数与两次息票支付期间实际天数的比率为基础的，计算公式为：172.交割债券与标准债券的转换因子芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于15年且在15年内不可赎回的任何国库券用于交割。由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准债券为期限15年、息票率为8%的国库券，其他券种均得按一定的比例折算成标准债券。这个比例称为转换因子（conversionfactor）。转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。18

在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因子由交易所计算并公布。算出转换因子后，我们就可算出空头方交割100美元面值的债券应收到的现金：空方收到的现金＝标准债券的期货报价×交割债券的转换因子＋交割债券的累计利息19

3.确定最便宜可交割债券由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差别的，而空方可选择用于交割的国债多达30种左右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。由于空头方收到的价款为：（期货的报价×转换因子）＋累计利息而购买债券的成本为：债券的报价＋累计利息所以最便宜可交割债券就是购买交割债券的成本与空头方收到的现金之差最小的那个债券，即交割差距=债券报价－（期货报价×转换因子）

204.确定长期国库券期货价格假设用于交割的最便宜可交割债券和交割日期是已知的，则长期国库券就相当于一提供已知现金收入的证券的期货。下式适用于长期国库券期货的定价：

但是由于其报价和交割制度的特殊性，使公式的运用较为复杂。其中，i表示期货合约有效期内的息票利息的现值；t表示期货合约的到期时刻（年）；t表示现在的时刻（年）；r表示无风险利率；s表示t时刻期货合约的标的债券的价格。这里，f和s都为债券的现金价格。

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通过以下四个步骤来确定国债期货价格：（1）根据最便宜可交割债券的报价，算出该交割债券的现金价格；（2）根据交割债券的现金价格算出交割债券期货理论上的现金价格；（3）运用公式根据交割债券期货的现金价格算出交割债券期货的理论报价；（4）考虑到最便宜可交割债券和标准的15年期年利率为8%的债券的区别，将以上求出的期货报价除以转换因子，从而得出标准债券的理论报价，也是标准债券期货理论的现金价格。22二、短期利率期货的定价1.即期利率和远期利率

n年期即期利率(spotinterestrate)是指从当前时间开始计算并持续n年的一项投资的利率（以连续复利计息）。比如，4年期即期利率就是从现在开始投资并持续4年的利率。在这n年中，没有利息支出，只有在到期时一次性将所有的利息和本金支付给投资者，因此，n年期即期利率也称为n年期零息票收益率(n-yearzero-couponyield)。远期利率(forwardinterestrate)是指由当前即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率（以连续复利计息）。23

远期利率与即期利率的关系如下：假设r为t年期的即期利率，r*是t*年期的即期利率，且t*>t，是t和t*期间的远期利率，有242.短期国库券期货的定价在短期国库券期货合约中，标的资产是90天期的美国国库券。通常，期限为13周，即91天的短期国库券交易较多，但期货合同也允许90天或92天的短期国库券进行交易，不过期货合同的价格总是用90天期短期国库券来计算的。在实际交割时，所交割的国库券既可以是新发行的短期国库券，也可以是尚有90天剩余期限（交割日至国库券到期日的天数）的原来发行的6个月或1年期的国库券。短期国库券也被称为贴现债券，以折价方式发行，在期限内不付息，在到期日投资者收到债券的面值。25假定t是现在的时间（年），t是期货合约的到期时间（年），t*是期货合约标的资产的贴现债券的到期时间，其中t*-t约为90天；r表示从t到t的期限内的无风险利率（连续复利），r*是从t到t*的期限内的无风险利率，是在t时刻的t和t*期间的远期利率；合约标的资产的贴现债券的面值为$100，s是其在t时刻的价格，则s为：26f是t时刻的期货价格，则f为：可简化上式：要重申的一点是，由上式得到的期货价格是期货合约的现金价格，是合约的多头方在合约到期时购买$100面值的国库券所必须支付的价格，它与短期国库券期货合约的报价是有区别的，二者之间的关系为：27参考答案一、问答题

1.期货价格与现货价格的关系答案：期货价格与现货价格的基本关系，也是期货套期保值策略依据的两个基本原理：①同一品种的商品，其期货价格与现货价格受到相同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有不同，但其价格的变动趋势和方向有一致性；②随着期货合约到期日的临近，期货价格和现货价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两价格大致相等。

282.远期利率与即期利率的关系

答案：假设r为t年期的即期利率，r*是t*年期的即期利率，且t*>t，是t和t*期间的远期利率，如果现在是0时刻，投资者投入1元的资金，按照利率r持续t年后，再按照利率持续t*-t年，则收益变为：若直接在0时刻以r*的利率持续投资t*年后，其收益为：而这两种方式得到的收益结果应该是一样的，则有：即，29上式说明将t年期的即期利率r和自t开始到t*为止这一段时间里的远期利率组合起来而得到的整个t*年时间内的等价利率就是t*年期的即期利率r*。整理后，可以得到：3.在分析期货价格与远期价格的关系时，利率r与标的资产的价格s之间的存在怎样的相关关系答案：若s与r高度正相关，当s上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因期货交易中的逐日结算而立即实现一笔盈利。又由于s的上涨几乎与利率r的上涨同时出现，获得的这笔盈利将会以较高利率进行再投资。30

同样，当s下跌时，投资者立即亏损。亏损将以较低的利率的再融资。在上述两种情况下，持有期货合约多头头寸的投资者都会有所收益，而相应持有远期多头头寸的投资者将不会因利率变动而受到影响。因此，期货多头比远期多头更具有吸引力。当s与r正相关性很强时，期货价格要比远期价格高。当s与r的负相关性很强时，情况就相反。二、计算题

1.现在为1998年5月5日。一种息票利率为12%，在2001年7月27日到期的政府债券报价为110-17。现金价格为多少？31答案：1月27日至5月5日为98天，5月5日至7月27日为83天债券现金价格=110.531+=113.780美元

2.假设长期国债期货价格为101-12。下面四种债券哪一种为最便宜可交割债券：

债券价格转换因子1125-051.21312142-151.37923115-311.11494144-021.402632答案：交割各种债券的成本为债券1：

债券2：

债券3：

债券4：债券4的成本最小，所以债券4为最便宜可交割债券。33

3.现在为1996年7月30日。1996年9月份的长期国库券期货合约的最便宜可交割债券为息票利率为13%的债券，预期在1996年9月30日进行交割，该债券的息票利息在每年的2月4日和8月4日支付，期限结构是平坦的，以半年计复利的年利率为12%，债券的转换因子为1.5，债券的现价为$110，计算该合约的期货价格和报价。答案：1996.2.4～7.30为177天，7.30～8.4为5天，8.4～9.30为57天，9.30～1997.2.4为127天。34最便宜可交割债券的现金价格为：

5天（0.0137年）后，即8.4日将收到的利息的现值为：

合约还将持续62天（0.1694年），则交割债券的期货现金价格为：

交割债券的报价为：标准债券的期货报价为：354.假设9个月期的利率为年利率8%，6个月期的利率年利率为7.5%（都为连续复利），估计面值为$1000000的6个月后交割的90天的短期国库券的期货价格。如何报价？答案：报价为100-4×（100-97.775）=91.100或91-035.无风险年利率为7%（连续复利计息），某股票指数的红利年支付率为3.20%，指数现值为150，计算6个月期限期货合约的价格。答案：366.假定某一国债期货合约最合算的交割券是面值为1000美元，息票率为14%（每半年支付一次利息），转换因子系数为1.3750的国债，其现货报价为120美元，该国债期货的交割日为270天后。该债券上一次付息在60天前，下一次付息在120天后，再下一次付息在300天后，市场任何期限的风险利率为年利率的10%（连续复利），请根据上述条件求出国债期货的理论价格。（假设一年为365天）答案：该交割券的现金价格为： （美元）

120天（0.3288年）后支付的7美元的利息的现值为：（美元）37由于该期货合约的有效期为270天（0.7397年）则交割券期货理论上的现金价格为：（美元）由于该期货合约的有效期为270天（0.7397年）则交割券期货理论上的现金价格为：（美元）交割时，交割券还有（270−120=150天）的累计利息，该付