任意角三角比

任意角的三角比1一、任意角

1.任意角的概念：在平面内由一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角．射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边.正角—逆时针旋转的角，负角—顺时针旋转的角，零角—不作旋转的角。22.终边相同的角:

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正方向重合，凡有相同终边的角都互称为终边相同的角．两个终边相同的角，它们相差3600的整数倍。任一角α终边相同的角有无穷多个．终边相同的角连同α角在内可表示为：k3600+α,或2kπ+α，（k∈Z)3

3.象限角:角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正方向重合，角的终边落在第几象限内，这个角就叫做第几象限的角．终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限.4

为了需要，我们常在直角坐标系中讨论角，使角的顶点和始边分别与坐标原点和x正半轴重合，考察角的终边的位置。这样就形成了终边落在坐标轴上或象限角的概念，以及象限角的区间表示，用弧度制和角度制表示角的时候，有下表：5角度制弧度制第一象限第二象限第三象限第四象限(k·3600,k·3600+900)(k·3600+900,k·3600+1800)(k·3600+1800,k·3600+2700)(k·3600+2700,k·3600+3600)6

这里用区间表示的象限角的方法，有时可以改变它的形式。如用(2kπ-,2kπ)k∈Z也表示第四象限角，两者的一致性是由k取整数决定的，故字母的取值范围一般不能省。还应注意我们已学过的锐角，直角和钝角这些概念与象限角应加以区别。7

二．弧度制1．角度制：周角的1/360叫做1度角，记为10；2．弧度制：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用“弧度”做单位来度量角的制度叫弧度制。规定：正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是零；单位“弧度”两字常可略去。83．弧长公式：圆弧的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积．l=α·r4.扇形面积公式：S=l·r(l是扇形的弧长，r是扇形的半径．)

5.弧度的意义：将任意角的集合和实数集R之间建立一一对应关系.9三.任意角的三角比的定义：1.锐角的三角比的定义：sinA=cosA=tgA=ctgA=102．任意角的三角比的定义：设α是任意大小的角，α终边上任一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么α的六个三个函数定义为：

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角α的顶点与始边分别和坐标原点以及x正半轴重合，终边上一点P(x,y)，P到原点的距离为r,(r=)在直角坐标系中，任意一个角都对应着一条射线oM。于是，角α的六种三角比只与射线oM的位置有关,另一方面，两点确定一条直线，可以知道，平面上任一点P与原点o（0，0）就唯一确定了射线oM；因此，任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取的点P的位置无关。123．三角函数值的符号各三角函数值在各象限的符号如下图所示：134．特殊角的三角函数值145.三角函数的定义域．sinα｛α|α∈R｝cosα｛α|α∈R｝tgα｛α|α∈R，α≠kπ+π/2,k∈Z｝ctgα｛α|α∈R，α≠kπ，k∈Z｝secα｛α|α∈R，α≠kπ+π/2，k∈Z｝cscα｛α|α∈R，α≠kπ，k∈Z｝15终边在x轴正半轴终边在x轴负半轴终边在x轴终边在y轴正半轴终边在y轴负半轴终边在y轴16例1

：集合M={θ|θ=}，N={θ|θ=}，那么集合M与N的关系是（）(A)MN;(B)M=N;(C)MN;(D)不确定；例2：终边在坐标轴上的角的集合

。例3：把-表示成2kπ+θ，使|θ|最小的θ的值是

。C17例4：若α是第三象限的角，则α/2是第几象限的角

；2α是第几象限的角。例5：已知扇形OAB的圆心角为1500，内切圆的面积为36πcm2，求弧AB的长和扇形OAB的面积。例6：已知角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系.例7：已知扇形的周长为20cm，求它的面积的最大值。18例8：已知角α的终边经过点P（2，-3）,求α的六个三角函数值．19例9（1）将112°30′化成弧度制。（2）将化成角度制。（3）10°约等于多少弧度（保留四个

有效数字）。（4）3弧度约等于多少度（精确到整数度）。4π920

解：（1）112°30′＝＝×＝弧度

（2）弧度＝×=8°（3）∵1°≈0.017453弧度，∴10°≈10×0.017453=0.17453≈0.1745弧度（4）∵1弧度≈57.3°，∴3弧度≈3×57.3°=171.9°≈172°5π

84π94π9180π21说明

在掌握角度制、弧度制的互化的同时，也应记住近似互化公式。（上述计算过程，也可以用计算器来完成）。22例10、在0°~360°(或0~2π）的范围内找出一个与以下各角终边相同的角，并判别下列各角分别属于哪个象限（1）-546°（2）1998°

（3）-21.3π（4）-523解：（1）设所求的角是α，与-5460角有相同终边的角是k·3600－5460，k∈Z，

而0≤α＜3600，

∴0≤k·3600－5460＜3600，

解得，546/360≤k＜1＋(546/360)，

即1＋(186/360)≤k＜2+(186/360)，

其中k∈Z，所以k=2,

于是α＝2×3600－5460＝1740，

又因为1740与-5460终边相同，

所以-5460属于第二象限。24（1）的另解：∵－546°＝－720°＋174°

＝－2×360°＋174°

以下分析同上。（2）1998°＝5×360°＋198°，α＝198°

∴1998属于第三象限。（3）－21.3π＝－22π＋0.7π

＝－11×2π+(7π)/10

∴α＝（7π）/10，－21.3π属于第二象限（4）∵1弧度≈57.3°，

∴－5弧度≈－5×57.3＝－286.5°

∴－5弧度≈－1×360°＋73.5°

∴α≈73.5°，-5属于第一象限角。25

说明：（1）的两种解法揭示了

β＝k·3600+α等价于α=-k·3600＋β，

k∈Z（弧度制情况类同）。

掌握终边相同的角的表示的方法是：“大角”化“小角”，负角化非负角。（4）体现了角度制、弧度制近似值互化的重要性。26例11.

下列各区间能表示第一象限角的集合是（）（A）(2lπ,2lπ+π/2)（B）(2kπ,2kπ+π/2]k∈Z（C）(mπ，mπ+π/2)，m是偶数（D）(4nπ，4nπ+π/2)n∈Z27答案：表示第一象限角的集合是

(mπ，mπ+π/2)，m是偶数说明象限角的区间表示应注意：

1、区间中的字母取值范围。

2、区间的开、闭性。

3、表示区间的左端的数应小于该区间

的右端的数。这里D表示的集合是

第一象限角的集合的真子集。28例5已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正方向重合，α的终边上一点P（5a,-12a）,(a<0)。求Sinα,cosα,tgα的值。分析：根据三角比的定义，应先求出r,注意隐含条件r＞0。29解：∵α<0,∴r=(5a)2+(-12a)2=13|a|=-13a

∴sinα==cosα==-tgα==-

5a-12a

512-13a

5a

5

1