分析10-偏微方程数值解法

第十章偏微分方程数值解法10-1第章第十章目录§1差分方法的基本概念1.1偏微分方程的定解问题

1.2差分方法的基本概念§2椭圆型方程第一边值的差分方法

2.1差分格式的建立2.2差分格式解的存在唯一性§3抛物型方程的差分解法及其稳定性3.1差分格式的建立3.2差分格式的稳定性§4双曲型方程的差分解法4.1几种简单的差分格式4.2差分格式的收敛性与稳定性2第章十章偏微分方程数值解法

补充知识

“高数”中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方程，如：

其中：

1.2.满足：

3第章十章偏微分方程数值解法

补充知识

（续1）3.2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z满足：

4.满足：

5.满足：6.满足：

上面是已知函数，，验证满足等式，反过来，将等式视为方程，则是求解方程，得到解函数。

4第章十章偏微分方程数值解法因此偏微分方程：1.含偏微分的等式，2.求解偏微分方程、求含多个自变量的函数3.带有初值、边界条件。常微分方程的求解已很困难，通过分门别类研究，能求得一些特殊类型方程的解（只含一个变量），即便是一阶方程，也很难求出解析解表达式，也因此，在上一章我们研究了一阶微分方程的数值解法。

补充知识

（续2）5第章十章偏微分方程数值解法§1差分方法的基本概念要求解偏微分方程比求解常微分方程更难，因此寻求偏微分方程的数值解更显重要，实际上，绝大部分偏微分方程不可能求到解析函数解，基本上都是数值解法。

一般来说，偏微分方程从实际问题抽出后，多是下列几种类型:

（1）泊阿松方程（Poisson），又称为椭圆型方程：

：自变量的变化区域，有界区域。

：的边界，分段光滑曲线。

1.偏微分方程定解问题当称为拉普拉斯方程（Laplace）或调和方程，

例如

满足：

6第章十章偏微分方程数值解法相应第一边值条件：

第二、第三边值条件：

为边界的外法线方向，为第二边界条件，为第三边界条件。

各种物理性质的定长问题（不随时间变化过程），都可用椭圆型方程描述。如带有稳定热源或内部无热源的稳定场的温度分布，不可压缩流体的稳定克旋流动及静电场的电热等均满足上述方程。

椭圆型方程（续）7第章十章偏微分方程数值解法（2）热传导方程（抛物型）

相应有：柯西（Cauchy）初值条件：初边值条件为：

第一边值条件：

第二边值条件：

8第章十章偏微分方程数值解法抛物型方程（续）第三边值条件为：

其中在热传导过程的研究中，气体的扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题，都可用上述方程来描述。9第章十章偏微分方程数值解法（3）波动方程（双曲型）

最简单形式为线性双曲方程：

其初边值条件为：

边值条件同热传导方程。

物理中常见的一维振动及各类波动问题，均可用波动方程描述。

10第章十章偏微分方程数值解法差分方法的基本概念如果偏微分方程定解问题的解存在，唯一，并且连续依赖于定解数据（即出现在方程和定解条件中的已知函数），则此定解问题是适定的。可以证明，上面所举各种定解问题都是适定的。2.差分方法的基本概念：

先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。

11第章十章偏微分方程数值解法差分方法的基本概念（续1）所以，偏微分方程数值解法，实际上是通过网格及差分格式将偏微分方程定解问题离散化后求定义域上有限离散点（网格点）对应函数值u(x,y)的近似值（差分值），体现在常微分方程数值解法中是求定义区间上离散点xi对应y(xi)的近似值yi。

因此，用差分方法求解偏微分方程定解问题，一般需解决以下问题：

（1）选取网格：对定义区域如何划分？常用的有矩形、菱形等格式。

（2）对偏微分方程及定解条件，选择充分近似，列出差分格式，化偏微分方程为差分方程组（线性代数方程组）。

12第章十章偏微分方程数值解法差分方法的基本概念（续2）如可用差商（差分）代替导数：

对偏导数同样有：

一般还可以得出：等等；

13第章十章偏微分方程数值解法（3）求解充分方程（解的存在性与唯一性）

差分方法的基本概念（续3）（4）讨论充分方程的解是否可作为偏微分方程的解的近似值（收敛性及误差估计）。按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，为了帮助理论，下面先简单介绍在常微分方程中近值问题数值解法；

二阶线性微分方程第一边值问题：

14第章十章偏微分方程数值解法二阶线性微分方程第一边值问题（1）差分方程的建立：

将[a,b]分为n个相等的小区间，要将离散化，建立充分方程，即要用：

则在内节点xi处，方程化为：

x1,…,xn-1称为内节点，x0,xn称为边界点。

15第章十章偏微分方程数值解法二阶线性微分方程第一边值问题（续1）在上式中略去余项，并记qi=q(xi),fi=f(xi),yi=y(xi),则得差分方程：

此为（n-1)(n-1)阶线性代数方程组。其解作为边值问题精确解y(x)在x1,x2,…,xn-1处的近似值，称为差分解。

以则差分方程组可简记为：

16第章十章偏微分方程数值解法二阶线性微分方程第一边值问题（续2）可证：

1.极值定解：设y0,y1,…,yn不全相等:

①若满足条件，，则

y0,y1,…,yn中正的最大值只能是y0或yn。2.充分方程解唯一存在。

②若满足，则

y0,y1,…,yn

中负的最小值只能是y0或yn。

17第章十章偏微分方程数值解法二阶线性微分方程第一边值问题（续3）这是(n-1)(n-1)的三对角方程组，∴系数矩阵对角占优追赶法求解。

3.方程组解法：

亦即：

18第章十章偏微分方程数值解法二阶线性微分方程边值问题例题例用差分法解 二阶线性微分方程第一边值问题： 解：取h=0.1,则所以：因此差分方程为：19第章十章偏微分方程数值解法二阶线性微分方程边值问题例题（续）xiyiy(xi）xiyiy(xi)0.10.07048940.07046730.60.48356840.48348010.20.14268360.142464090.80.71147910.71141090.30.21830480.21824360.90.84700450.84696330.40.29910890.2990332

解此差分方程，计算结果列在下表中：其中：二阶线性微分方程的解函数为20第章十章偏微分方程数值解法差分方法求解偏微分方程简例下面，我们再通过一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程问题的一般过程及差分方法的基本概念。

设有一阶双曲型方程初值问题：首先对定解区域：作网格剖分，最简单常用的一种网格是：用两族分别平行于x轴与t轴的等距直线21第章十章偏微分方程数值解法差分方法求解偏微分方程简例（续1）将D分成许多小矩形区域（见图10-1）。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点，h和τ分别称作x方向和t方向的步长。这种网格称为矩形网格。如果我们用向前差商表示一阶偏导数，即:其中:

0τ2τ3τ3h-h2hh-2htx（图10-1）22第章十章偏微分方程数值解法于是，方程（10-1）在节点处可表示为:差分方法求解偏微分方程简例（续2）

(10-2)其中：由于当h，τ足够小时，是小量，在式（10-2）中略去就得到一个与方程（10-1）相近似的差分方程。紧接下屏记为23第章十章偏微分方程数值解法差分方法求解偏微分方程简例（续3）此处，可看作是问题（10-13）的解在节点处的近似值。由初条件有：

(10-4)式（10-3）与（10-4）结合，就得到求问题（10-1）的数值解的差分格式。而称式 （10-5）为差分方程（10-3）的截断误差。(10-3)24第章十章偏微分方程数值解法差分方法求解偏微分方程简例（续4）如果一个差分方程的截断误差为，则称差分方程对t是q阶精度，对x是p阶精度的。显然，截断误差的阶数越大，差分方程对微分方程的逼近越好。若网格步长趋于0时，差分方程的截断误差也趋于0，则称差分方程与相应的微分方程是相容的。这是用差分方法求解偏微分方程问题的必要条件。

如果当网格步长趋于0时，差分格式的解收敛到相应微分方程定解问题的解，则称这种差分格式是收敛的。用差分格式求解时，除了截断误差外，每步计算都会产生舍入误差，在递推计算的过程中，误差还会传播。对计算过程中误差传播的讨论就是差分格式的稳定性问题。25第章十章偏微分方程数值解法差分方法求解偏微分方程简例（续5）如果利用某种差分格式求解，计算过程中误差越来越大，以致所求的解完全失真，则称该差分格式是数值不稳定的。后面的讨论表明，差分格式的稳定性不仅与差分格式本身有关，而且与网格步长之比（称为网格比）的大小有关。如果一种差分格式对任意网格比都稳定，则称该差分格式是无条件稳定的；若只对某些网格比的值稳定；则称为条件稳定。如果对任何网格比都不稳定，则称完全不稳定。完全不稳定的差分格式是无效的。值得指出的是，稳定性与微分方程无关。定理10.1（Lax等价定理）给定一个适定的初值问题，如果逼近它的差分格式与它相容，则该差分格式收敛的充分必要条件为它是数值稳定的。由此定理，在对差分格式的稳定性进行讨论的同时，收敛性问题也就解决了。（证明略）26第章十章偏微分方程数值解法§2椭圆型方程第一边值问题

的差分解法本节以Poisson方程为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。2.1差分格式的建立考虑Poisson方程的第一边值问题： (10-6)取h和τ分别为x方向和

y方向的步长，如图10-2所示，以两族平行线：将定解区域剖分成矩形网格。节点的全体记为：RQPTS图10-227第章十章偏微分方程数值解法Poisson方程差分格式的建立定解区域内部的节点称为内点，记内点集为。边界与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为。与节点沿x方向或y方向只差一个步长的点和称为节点的相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于，如图10-2中的点S，T称为正则内点，正则内点的全体记为，至少有一个相邻节点不属于的内点称为非正则内点，非正则内点的全体记为。我们的问题是要求出问题（10-3）在全体内点上的数值解。为简便起见，记:

对正则内点，由二阶中心差商公式:紧接下屏28第章十章偏微分方程数值解法Poisson方程差分格式的建立（续1）

Poisson方程（10-6）在点(k,j)处可表示为:(10-8)(10-7)其中：29第章十章偏微分方程数值解法在式（10-8）中略去R(k,j)即得与方程（10-6）相近似的差分方程:Poisson方程差分格式的建立（续2）式（10-9）为其截断误差表示式.（10-10）式（10-10）中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数uk,j

则除了包含正则内点处解u的近似值外，还包含一些非正则内点处u的近似值，因而方程个数少于未知数个数。在非正则内点处Poisson方程的差分近似不能按式（10-10）给出，需要利用边界条件得到。30第章十章偏微分方程数值解法Poisson方程边界条件的处理边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。（1）直接转移用最接近非正则内点的边界点上的u值作为该点上u值的近似，这就是边界条件的直接转移。如图10-2，点R(k,j)为非正则内点，其最接近的边界点为Q点，则有

（10-11）将式（10-11）代入式（10-10），方程个数即与未知数个数相等。式（10-11）可以看作是用零次插值得到非正则内点处u的近似值，容易求出，其截断误差为O(h+τ)。31第章十章偏微分方程数值解法Poisson方程边界条件的处理（续1）（2）线性插值这种方案是通过用同一条网格线上与点P相邻的边界点与内点作线性插值得到非正则内点P(k,j)处u值的近似。如图10-2，由点R与T的线性插值确定u(p)的近似值uk,j，得: （10-12）其中，其截断误差为。将式（10-12）与（10-10）联立，得到方程个数与未知数个数相等的方程组，求解此方程组可得到Poisson方程第一边值问题（10-6）的数值解。32第章十章偏微分方程数值解法（10-13）由式（10-10）所给出的差分格式称为五点菱形格式，它所涉及的节点如图10-3所示。简记为:

（10-14）jk图10-3Poisson方程边界条件的处理（续2）实际计算时经常取h=

τ，此时五点菱形格式可化为:其中:

33第章十章偏微分方程数值解法例1用五点菱形格式求解Laplace方程第一边值问题其中取。[解]如图10-4所示，网格中有四个内点，均为正则内点。由五点菱形格式（10-13），得方程组:(0.3)(1.3)(2.3)(3.3)(3.2)(3.1)(2.1)(1.1)(0.1)(0.2)(1.2)(2.2)(0.0)(1.0)(2.0)(3.0)Oy图10-434第章十章偏微分方程数值解法例1(续1)代入边界条件：35第章十章偏微分方程数值解法例1（续2）其解为得36第章十章偏微分方程数值解法五点矩形格式（10-17）当时，利用点构造的差分格式：（10-15）称为五点矩形格式，简记为（10-16）其截断误差为：其