辽宁师附中2022年数学高三上期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：2B案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项 125601fxRyfx1x1fx1x1 2aflog3

2，bf

log

321，cf332abc

bca

bac D．cba已知等比数列

a

1，a

16，等差数列

中b

a，S

为数列

的前nS

（ ）n 2 6

n 5 4 n n 9A．36 B．72 C．D．已知锐角满足2sin21cos2,则tan（ ）1A． B．1 C．2 D．42a1tan

bcos,1，且

（ ）3 2 a//b，则cosa//b，则cos2 2A．1 B．2 23 3

C．232

D．13金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）A．20 B．24 C．25 D．26x0y0 已知x，y满足不等式 ，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t x 2y t2xy4A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]已知直线l1

：xmy（m0）与抛物线C：y24x交于O（坐标原点，A两点，直线l2

：xmym与抛物线C交于B，D两点若|BD|3|OA|，则实数m的值为（ ）1 1A． B．4 5

1 1C． D．3 8《易·之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六如图，白圈为阳数，黑点为阴数10332个阳数且能构成等差数列的概率为（）1 1 1 3A． B． C． D．5 20 12 40XN

2，且P(60X85)0.3．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A．40 B．60 C．80 D．100某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n的值为（ ）A．100 B．1000 C．90 D．90x2已知双曲线a2

y2b2

1（，b0）的左、右焦点分别为，以

（O为坐标原点）为直径的圆C交双曲线于B两点，若直线AE与圆C相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．23 62

B．2 2 62

C．3 22 62

D．3 2 62数学王子高斯函数xR，用xxy称为高斯函数，例如：0.511，已知函数f(x)4

x2

32x

（0x2，则函数yf(x)的值域为（ ）22A．1,22

C．

D．0,1,21,0,1,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1,0,1,2 2x,x

f

x log x,x1,则f f 2 . 12已知数列n

a1

1，函数fxexan1

2an

1cosx在R上有唯一零点，则数列|an

的前n项和S .n对任意正整数n，函数f(n)2n37n2cosn1，若f(2)0，则的取值范围是 ；若不等式f(n)0恒成立，则的最大值为 ．16．命题对任意x1，x21的否定是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在ABC中，角,B,C所对的边分别是a,b,c，且2sin2(BC)3cosA0.3A的大小；3B4

, a2

，求边长c.18（12分）在ABC中，内角，，C的对边分别为，，，且满足aB；

cosCcsinB.若b2 3，AD为BC边上的中线，当ABC 的面积取得最大值时，求AD的长.19（12分）已知函数fxexx1eax2，a0．2yf(x在点f处的切线方程；fx的极小值；fx的零点个数．20（12分已知抛物线y

4xF，准线lxMPPF与抛物线C交于另一点A.MPMA的斜率分别为kk1 2

k1

k常数；2PMA的内切圆圆心为G(ab的半径为rr表示点G的横坐标a；

PMA

1PA的方程.221（12分）已知an

为等差数列，bn

为等比数列，an

nSn

，满足a1

3，b1

1，bS2

10，a2b5

a.3求数列n

和n

的通项公式；令c

S

为奇数

，数列

n项和

，求T .n n

n n 2nb, 为偶数n

x 3t22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数，以坐标原点为极点，x轴正半y t轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4cos．lC的直角坐标方程；1设点M(0,3)，直线l与曲线C交于不同的两点、B，求 1 的值．1|MA| |MB|参考答案125601、C【解析】∵y=（x+）（-x+）=（x+，即函数）关于x=1对称．∵当x1时，fx1x1为减函数，（log）=（2-log）=（ 9）2

3 3 log2 332233223log

=log

=log4，log4＜log2＜3，∴b＞a＞c，3 33故选C2、A【解析】根据a是a与a的等比中项，可求得a，再利用等差数列求和公式即可得到S .4 2 6 4 9【详解】等比数列

an 2

1，a6

16，所以a aaa2 6

4，又a4

aq22

0，所以a4

4，由等差数列的性质S9

9b5

9a4

36.故选：A【点睛】3、C【解析】利用sin2sincos,cos12sin2代入计算即可.【详解】4sincos2sin2，因为锐角，所以sin02cossin，即tan2.C.【点睛】4、D【解析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.a//b1costansin3cossin1 23 23故选：D【点睛】5、D【解析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为C2C3C4C5，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.5 5 5 5【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为C2

C3C

C

205126（种，故选：D.

5 5 5 5【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.6、B【解析】作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】

x0画出不等式组 y0 所表示的可行域如△AOB2xy4t≤2△OAMz＝9x+6yA（2，0）Z＝18不符合题意x2yt 8t 2t4t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在2xy4的交点（3 ，3 ）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.7、D【解析】BxyDx

，联立直线与抛物线方程，消去x、列出韦达定理，再由直线xmy与抛物线的交点求出A1 1 2 2点坐标，最后根据|BD|3|OA|，得到方程，即可求出参数的值；【详解】

Dx,y

xmym解：设B x,y ，1 1

，由2 2 y2

4x

y24my4m0，16m216m0，解得m1m0yy1 2

4m，yy12

4m.x又由

y24my0y0y4mA4m2,4m，y2

4x∵|BD|3|OA|，∴(1m21

y291m416m2，2y1

y2

y1

y24yy2 1

16m216m，∴代入解得m1.8故选：D【点睛】8、C【解析】“3个数中至少有2.【详解】C310

120种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：,3,4,5,5,6,7,7,8,9,3,5,7,5,7,9，共10种，P故选：C.

10 1.120 12【点睛】.9、D【解析】由正态分布的性质，根据题意，得到P(X110)P(X60)，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.【详解】，由题意，成绩X近似服从正态分布N85,2，则正态分布曲线的对称轴为x85，PX110)PX60)0.50.30.2，500110分的人数为5000.2100故选D.【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.10、A【解析】利用频率分布直方图得到支出在[20,40)的同学的频率，再结合支出在[20,40)（单位：元）34人，即得解【详解】由题意，支出在[20,40)（单位：元）34人由频率分布直方图可知，支出在[20,40)的同学的频率为(0.010.024)100.34,n故选：A【点睛】

34 100．0.34本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.11、D【解析】连接EC【详解】

3c，在ACF中，由余弦定理得AF，结合双曲线的定义，即得解.2连接CA，AF，则OCCACF

c，OEc，2EC|FCc2 2RtEACAE

2c，cosACE1，3故cosACFcosACE13在ACF 中，由余弦定理AF2CA2CF22CACFcosACF6可得c.63根据双曲线的定义，得2cc

c2a，6363 23 2 6e 所以双曲线的离心率 a

3 2 623 2 63故选：D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12、B【解析】利用换元法化简fxfxyf(x)的值域. 32

4x 12f(x4

232x4

（0x2，所以y

32x4 2x1 242

，令2xt（1t4，则xxft) t2t4（1t4，函数的对称轴方程为t3，所以ft)222f(x13yf(x)的值域为22故选：B【点睛】

min

f(3) ，f(t)2

max

f(1) ，所以2.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。113、2【解析】先由解析式求得f（，再求f(f（）)．【详解】1f（2）log12

21，f(1)211，2ff（2）f(1)1，21故答案为：2【点睛】对号入座142n1n2【解析】fxx0，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最n后运用分部求和可得答案.【详解】fxfxR上有唯一零点，所以f00，∴a 2a 1，∴a 12a 1，n1 n n1 n∴an

22的等比数列an

2n

1，Sn

2n1n2.故答案为：2n1n2【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题.215、,13 132 2【解析】n2代入求解即可；当n为奇数时cosn1,f(n)2n37n2n10为2n27n1,设ng(n)2n27n1,gn的最小值；同理当n为偶数时cos1,则转化nf(n)2n37n2n10为2n27n

,h(x2x27x

(x2)利用导函数求得hx的最小值,11n x11进而比较得到的最大值.【详解】由题,f(2)1628210解得13.2当n为奇数时cosn1,f(n2n37n2n10,得2n27n1,ng(n2n27n1n

g(n)

min

g(1)8,所以8；当n为偶数时cos1,f(n2n37n2n10,得2n27n1,n1设h(x)2x27x (x≥2),1xx≥2,h(x)4x7

10,h(x单调递增,x2h(x)

min

h(2)13,所以13,2 2综上可知f(n0恒成立则的最大值为13.2故答案为:(1)13；(2)13 22【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.16、存在x 1，使得x210 0【解析】试题分析：根据命题否定的概念，可知命对任意x1，x21的否定是存在x 1，使得x0 0

1”．考点：命题的否定．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6262

；（2） .3BCA代入已知条件，得到关于的方程，得到A的值.由（1）A的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长c.【详解】（1）ABC2sin2C0，2sin2A3cosA0cos2A0，2cos2A3cosA20，即20.因为cosA1,1，所以cosA1，2因为A0,，所以A.3（2）sinAB3226 2 1 3226 22 2 2 2 4c asinC

sinA，2 332 336 262所以 ，解得c6 2624 2【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.718（）） .73【解析】3利用正弦定理及ABC可得3cosBsinCsinCsinB，从而得到tanB ；3在ABC12a2c2ac3ac4

ABC

1acsinB acac4时，32 43ABC的面积取得最大值，此时ac2C【详解】

π，在ACD中，再利用余弦定理即可解决.6由正弦定理及已知得3sinA 3sinBcosCsinCsinB结合sinAsinBC，得3cosBsinCsinCsinB，3因为sinC0，所以tanB ，3B0,πB2π.3在ABC中，由余弦定得12a2c2ac，a2c2ac3ac，所以ac4，当且仅当ac2时，ABC的面积取得最大值，此时Cπ.6在ACD 中，由余弦定理得3π 3AD2CA2CD22CACDcos6

12122 31

7.27即AD .7【点睛】19（）y1（）极小值1（）函数yfx的零点个数为1．【解析】f0f0的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；yfx的单调性，进而可得出该函数的极小值；x1fx0f20yfx在区间0,yfx的零点个数.【详解】fxexx11eax2fxxexxea．2所以f01，f00．yfx在点fy1；fxxex

xex

ea，令fx0，得x0或xaa0．列表如下：x,aaa,00fx00fx极大值极小值yfx的单调递增区间为a和x,aaa,00fx00fx极大值极小值（3）x1fx0f2e22ea

e220．由（2）可知，函数yfx在0,上单调递增，所以函数yfx的零点个数为1．【点睛】于中等题.20（）（）①a

r2；②x y10.344 834【解析】Fxmy1P(x,y1 1

)，A(x,y2

y2

4x，利用直线的斜率公式和韦达定理表k1

k，化简即可；2由（1）知点Gx轴上，故Ga,0PMP坐标，因为内心到三角形各边的距.【详解】Fxmy1P(x,y1 1

)，A(x,y2

)，M(1,0)xmy1联立方程组y2 4x

y24my40.yy 4m于是，有：1 2yy 41 2kk

y y yx yx1 2 12 2

yy1 2，1 2 x1

1 x2

1 xx1

xx112又yxyxyy

1yy(yy)(y

y)1(4)4m4m0，12 21

2 4 12 1 2

1 2 4kk1

0；①由（1）知点Gx轴上，故Ga,0

xmy1 的直线方程： x ny 1Pmn, 2

y24xnm nmP在抛物线

上，得n2m2

1， a11m2a11n2r21m2a11m2a11n2又 rr

1n2

a

r2

n2m2

4a，ar2；4

1 1Sr（解法一）

r22

a2 81

1 2 2

81 34m34834所以直线PA的方程为x348

y10（解法二）设内切圆半径为r，则r 2设直线PM 的斜率为k，则：2MPyk(x1)PA的直线方程，1mk 2k

, 1mk 1mk2k

1mk(

)24 ，1mk 1mkk2(1m2)1，t11t11m22又由（1）可设内切圆的圆心为又由（1）可设内切圆的圆心为(t,0). k(t1)k(t1)1k22 2t11m21)2即：

8，解得：342k2(t1)21k234

m 834所以，直线PA的方程为：x348

y10.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.21（1）an

2n1，bn

n1（）T2n

2n 2(4n1)．2n1 3【解析】设n

dn

的公比为q，由基本量法列式求出d,q后可得通项公式；奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和．【详解】设n

dn

的公比为q，由bS2 2

10，a5

2b2

a.得：3q6d10 d234d2q3

，解得