《排列与组合》设计市赛获奖 市赛一等奖

《排列与组合》教学设计（3）教学目标：1.理解排列的意义掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题2.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质并能用它们解决一些简单的应用问题.3.掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想．4.使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法教学重点：排列组合综合题的解题思路的形成课时安排：1课时典例精析题型一排列数与组合数的计算【例1】计算：(1)eq\f(8！＋A\o\al(6,6),A\o\al(2,8)－A\o\al(4,10))；(2)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋…＋Ceq\o\al(3,10).【解析】(1)原式＝eq\f(8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×1,8×7－10×9×8×7)＝eq\f(57×6×5×4×3×2,56×(－89))＝－eq\f(5130,623).(2)原式＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,11)＝330.【点拨】在使用排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！)进行计算时，要注意公式成立的条件：m，n∈N+，m≤n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用.【变式训练1】解不等式＞6.【解析】原不等式即eq\f(9！,(9－x)！)＞6×eq\f(9！,(11－x)！)，也就是eq\f(1,(9－x)！)＞，化简得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13，又因为2≤x≤9，且x∈N*，所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.题型二有限制条件的排列问题【例2】3男3女共6个同学排成一行.(1)女生都排在一起，有多少种排法？(2)女生与男生相间，有多少种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？(4)3名男生不排在一起，有多少种排法？(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法.又3名女生内部可有Aeq\o\al(3,3)种排法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144种排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝72种排法.(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144种.(4)直接分类较复杂，可用间接法.即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝576种.(5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有Aeq\o\al(2,3)种排法.又甲、乙之间还有Aeq\o\al(2,2)种排法.这样就有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有Aeq\o\al(2,2)种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24种.【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.(1)43251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第97项是多少？【解析】(1)不大于43251的五位数Aeq\o\al(5,5)－(Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2))＝88个，即为此数列的第88项.(2)此数列共有120项，而以5开头的五位数恰好有Aeq\o\al(4,4)＝24个，所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项，即51234.题型三有限制条件的组合问题【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？【解析】(1)只须从A，B，C之外的9人中选择2人，Ceq\o\al(2,9)＝36种不同选法.(2)由A，B，C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人，即有Ceq\o\al(5,9)＝Ceq\o\al(4,9)＝126种选法.(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有Ceq\o\al(1,3)种选法，再从余下的9人中选4人，有Ceq\o\al(4,9)种选法，所以共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(4,9)＝378种选法.(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有Ceq\o\al(5,12)种，再减去A，B，C三人都不入选的情况Ceq\o\al(5,9)，共有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,9)＝666种选法.(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有Ceq\o\al(5,12)种，再减去A，B，C三人都入选的情况Ceq\o\al(2,9)种，所以共有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,9)＝756种选法.【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类.【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？【解析】(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：在同一个面上取，共有4Ceq\o\al(4,6)种；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6种；第三类：在六条棱的