2023年高考江苏数学试题及答案(word解析版)2

年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕数学Ⅰ参考公式：样本数据的方差，其中．棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高．棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，为高．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．〔1〕【2023年江苏，1，5分】集合，，那么_______．【答案】【解析】由交集的定义可得．【点评】此题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于根底题．〔2〕【2023年江苏，2，5分】复数，其中为虚数单位，那么的实部是_______．【答案】5【解析】由复数乘法可得，那么那么的实部是5．【点评】此题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．〔3〕【2023年江苏，3，5分】在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是_______．【答案】【解析】，因此焦距为．【点评】此题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比拟根底〔4〕【2023年江苏，4，5分】一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，那么该组数据的方差是_______．【答案】【解析】，．【点评】此题考查方差的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．〔5〕【2023年江苏，5，5分】函数的定义域是_______．【答案】【解析】，解得，因此定义域为．【点评】此题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于根底题．〔6〕【2023年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，那么输出的值是________．【答案】9【解析】的变化如下表：159975那么输出时．【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．〔7〕【2023年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子〔一种各个面上分别标有个点为正方体玩具〕先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】【解析】将先后两次点数记为，那么共有个等可能根本领件，其中点数之和大于等于10有六种，那么点数之和小于10共有30种，概率为．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．〔8〕【2023年江苏，8，5分】是等差数列，是其前项和．假设，，那么的值是_______．【答案】20【解析】设公差为，那么由题意可得，，解得，，那么．【点评】此题考查等差数列的第9项的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．〔9〕【2023年江苏，9，5分】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】此题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数与在区间上的图象是关键，属于中档题．〔10〕【2023年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，那么该椭圆的离心率是________．【答案】【解析】由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，那么，由可得，那么．【点评】此题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．〔11〕【2023年江苏，11，5分】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上其中，假设，那么的值是________．【答案】【解析】由题意得，，由可得，那么，那么．【点评】此题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据求出a值，是解答的关键．〔12〕【2023年江苏，12，5分】实数满足那么的取值范围是________．【答案】【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离，，那么，图中点距离原点最远，点为与交点，那么，那么．【点评】此题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决此题的关键．〔13〕【2023年江苏，13，5分】如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，那么的值是________．【答案】【解析】令，，那么，，，那么，，，，，，那么，，，由，可得，，因此，因此．【点评】此题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．〔14〕【2023年江苏，14，5分】在锐角三角形中，，那么的最小值是_______．【答案】8【解析】由，，可得〔*〕，由三角形为锐角三角形，那么，在〔*〕式两侧同时除以可得，又(#)，那么，由可得，令，由为锐角可得，由(#)得，解得，，，由那么，因此最小值为，当且仅当时取到等号，此时，，解得〔或互换〕，此时均为锐角．【点评】此题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〔15〕【2023年江苏，15，14分】在中，，，．〔1〕求的长；〔2〕求的值．解：〔1〕，为三角形的内角，，，，即：．〔2〕，，又为三角形的内角，，．【点评】此题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．〔16〕【2023年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，．求证：〔1〕直线平面；〔2〕平面平面．解：〔1〕为中点，为的中位线，，又为棱柱，，又平面，且，平面．〔2〕为直棱柱，平面，，又，且，平面，平面，又，平面，又平面，，又，，且平面，平面，又，平面平面．【点评】此题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大．〔17〕【2023年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥，下局部的形状是正四棱柱〔如下图〕，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．〔1〕假设，，那么仓库的容积是多少；〔2〕假设正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？解：〔1〕，那么，，，，故仓库的容积为．〔2〕设，仓库的容积为，那么，，，，，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此，当时，取到最大值，即时，仓库的容积最大．【点评】此题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．〔18〕【2023年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的圆：及其上一点．〔1〕设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；〔2〕设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；〔3〕设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．解：〔1〕因为在直线上，设，因为与轴相切，那么圆为，，又圆与圆外切，圆：，那么，解得，即圆的标准方程为．〔2〕由题意得，设，那么圆心到直线的距离，那么，，即，解得或，即：或．〔3〕，即，即，，又，即，解得，对于任意，欲使，此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于两点，此时，即，因此对于任意，均满足题意，综上．【点评】此题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．〔19〕【2023年江苏，19，16分】函数．〔1〕设，．①求方程的根；②假设对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；〔2〕假设，，函数有且只有1个零点，求的值．解：〔1〕①，由可得，那么，即，那么，．②由题意得恒成立，令，那么由可得，此时恒成立，即恒成立∵时，当且仅当时等号成立，因此实数的最大值为．〔2〕，，由，可得，令，那么递增，而，因此时，因此时，，，那么；时，，，那么；那么在递减，递增，因此最小值为，①假设，时，，，那么；logb2时，，，那么；因此且时，，因此在有零点，且时，，因此在有零点，那么至少有两个零点，与条件矛盾；②假设，由函数有且只有1个零点，最小值为，可得，由，因此，因此，即，即，因此，那么．【点评】此题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，根本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．〔20〕【2023年江苏，20，16分】记．对数列〔〕和的子集，假设，定义；假设，定义．例如：时，．现设〔〕是公比为的等比数列，且当时，．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕对任意正整数〔〕，假设，求证：；〔3〕设，，，求证：．解：〔1〕当时，，因此，从而，．〔2〕〔3〕设，，，，，，因此原题就等价于证明．由条件可知．=1\*GB3①假设，那么，所以．=2\*GB3②假设，由可知，设中最大元素为，中最大元素为，假设，那么由第=2\*GB2⑵小题，，矛盾．因为，所以，所以，，即．综上所述，，因此．【点评】此题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔21-A〕【2023年江苏，21-A，10分】〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，在中，，，为垂足，是中点，求证：．解：由可得，由是中点可得，那么，由可得，由可得，因此，又可得．【点评】此题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．〔21-B〕【2023年江苏，21-B，10分】〔选修4-2：矩阵与变换〕矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵．解：，因此．【点评】此题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．〔21-C〕【2023年江苏，21-C，10分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．解：直线方程化为普通方程为，椭圆方程化为普通方程为，联立得，解得或，因此．【点评】此题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是根底题．〔21-D〕【2023年江苏，21-D】〔本小题总分值10分〕〔选修4-4：不等式选讲〕设，，，求证：．解：由可得，．【点评】此题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于根底题．【必做题】第22、23题，每题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．〔22〕【2023年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系中，直线，抛物线．〔1〕假设直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；〔2〕抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．=1\*GB3①求证：线段上的中点坐标为；=2\*GB3②求的取值范围．解：〔1〕，与轴的交点坐标为，即抛物线的焦点为，，．〔2〕=1\*GB3①设点，，那么：，即，，又关于直线对称，，即，，又中点一定在直线上，，线段上的中点坐标为；=2\*GB3②中点坐标为，即，，即关于有两个不等根，，，．【点评】