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第三章

导数应用3．1函数的单调性定理3.1设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在区间（a,b）内可导。

1.如果x∈（a,b）时，f’(x)>0,则f’(x)在[a,b]上单调增加；

2.如果x∈（a,b）时，f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减少。例1求函数f(x)=x2-2x+2的单调区间。解函数f(x)=x2-2x+2的定义域为(-∞，+∞)∵f’(x)=2x-2=2(x-1)令f’(x)=2(x-1)=0得=1以=1为分点，将函数定义域分为两个子区间（-∞，1），（1，+∞）当x∈（-∞，1）时，f’(x)<0当x∈（1，+∞）时，f’(x)>0∴函数f(x)=x2-2x+2的单调减少区间为（-∞，1]，单调增加区间为[1，+∞）。

3．2函数极值3．2．1函数的极值及其求法

定义3.1设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义。如果对该邻域内的任意一点x(x≠x0),恒有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的极大值，称x0为函数f(x)的极大值点；如果对该邻域内的任意一点x(x≠x0),恒有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的极小值，称x0为函数f(x)的极小值点。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值统称为极值点。定理3、2如果点x0是函数f(x)的极值点，且f’(x0)存在，则f’(x0)=0

使f’(x)=0的点，称为函数f(x)的驻点。

定理3、3设函数f(x)在点x0的邻域内连续并且可导f’(x0)可以不存在，则1.如果在点x0的左邻域内，f’(x)>0;在点x0的右邻域内，f’(x)<0;那么x0是f(x)的极大值点，且f(x0)是f(x)的极大值；2.如果在点x0的左邻域内，f’(x)<0;在点x0的右邻域内，f’(x)>0;那么x0是f(x)的极小值点，且f(x0)是f(x)的极小值；3.如果在点x0的邻域内，f’(x)不变号，那么x0不是f(x)的极值点。

由定理3.2和定理3.3得出求函数极值点及极值的步骤如下：1.确定函数f(x)的定义域，并求其导数f’(x);2.解方程f’(x)=0,求出f(x)在其定义域的所有驻点；3.找出f(x)连续但导数不存在的所有点；4.讨论f’(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化的情况，确定函数的极值点；5.求出极值点所对应的函数值（极大值或极小值）例1.求函数

的极值。解（1）函数f(x)的定义域为（-∞，-∞）,且(2)令f’(x)=0,得驻点(3)该函数没有导数不存在的点。(4)驻点将定义域分成三个子区间（-∞，0），（0，1），（1，+∞），表3—1给出f’(x)在子区间上符号变化情况和函数极值情况。由表3-1可知，x=0是函数f(x)的极大值点，f(x)的极大值是f(0)=2x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)+0-0-2极大极小3.2.2最大值、最小值及其求法

连续函数的最大值、最小值只可能在以下点处取得；1.驻点；2.导数不存在的点；3.区间端点.所以：只要求出以上点处的函数值，函数值中最大值就是函数的最大值，函数值中最小值就是函数的最小值.3.3导数在经济分析中的应用3.3.1需求价格弹性

定义3.2设某种商品的市场需求量为q，价格为p，需求函数q=q(p)可导，则称

为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性。

当Ep=-1(即|Ep|=1)时，称为单位弹性，当Ep<-1(即|Ep|>1)时，称为富有弹性，当-1<Ep<0(即|Ep|<1)时，称为缺乏弹性。例2：设某商品的需求函数为q(p)=,(0<p<8)1.求需求弹性；2.讨论当价格为多少时，弹性分别为缺乏弹性、单位弹性、富有弹性？解（1）∵q’(p)=-4p,根据公式，得

（2）令Ep=-1，解得p=5，即当价格p=5时，|Ep|=1是单位弹性；令|Ep|<1,解得0<p<5，即当价格p满足0<p<5时，|Ep|<1是缺乏弹性；

令|Ep|>1,解得5<p<8，即当价格p满足5<p<8时，|Ep|>1是富有弹性。

3.3.2边际与边际分析1.边际成本若成本函数C=C(q)，则边际成本为2.边际收入若收入函数R=R(q)，则边际收入为3.边际利润所以，边际利润L’(q)等于边际收入R’(q)减去边际成本C’(q)。

例6：某煤炭公司每天生产煤q吨的总成本函数为C(q)=2000+450q+如果每吨煤的销售价为490元，求：1.边际成本函数C’(q)；2.利润函数L（q）及边际利润函数L’(q)；3.边际利润为0时的产量。

解（1）∵C(q)=2000+450q+∴C’(q)=450+0.04q2.∵总收入函数R(q)=pq=490q∴利润函数为L(q)=490q–(2000+450q+)=40q-–2000边际利润函数为L’(q)=40–0.04q3.当边际利润为0时，即

L’(q)=40–0.04q=0

由此可得q=1000(吨)。3.3.3经济分析中和最大值与最小值问题例7：设某企业每季度生产某种产品q个单位时，总成本函数为C(q)=

其中，a>0,b＞0,c>0。求：1.使平均成本最小的产量；2.最小平均成本及相应的边际成本。

解（1）∵平均成本为

令

即2ap–b=0，得驻点

当q<

时，<0；当q>

时，>0

可知，q=

是平均成本函数的极小值点，因为它是唯一极值点，所以也是最小值点。即每季度产量为