第十讲 域上多项式环

第十讲多项式环教师：李艳俊本讲内容一、环上多项式环二、域上多项式环三、域上多项式商环一．环上多项式环定义1：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个未定元，a0，a1，a2，…，anR，称形如f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的表达式为R上的x的一个多项式，其中，aixi称为多项式f(x)的i次项，ai称为i次项的系数。如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做degf(x)=n。如果在多项式f(x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x)。环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[x]。设R是有单位元1的交换环，多项式f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，g(x)=b0＋b1x＋b2x2＋…＋bmxm，其中m≥n，a0，a1，…，anR，b0，b1，…，bmR；规定多项式加法：f(x)＋g(x)=(a0＋b0)＋(a1＋b1)x＋…＋(an＋bn)xn＋bn＋1xn＋1＋…＋bmxm。规定多项式乘法：f(x)×g(x)=a0b0＋(a1b0＋a0b1)x＋(a2b0＋a1b1＋a0b2)x2＋…(akb0＋ak－1b1＋…＋a0bk)xk＋…＋anbmxm＋n

定理1：设R是有单位元1的交换环，则R[x]对多项式加法和乘法做成一个有单位元1的交换环。定义2：设R是有单位元1的交换环，环（R[x]，＋，·）称为环R上关于x的多项式环。（1）R的零元0就是R[x]的零元；定理2：设R是有单位元1的交换环，x为R上的一个未定元，（2）R[x]的单位就是R的单位；（3）若R是整环，则R[x]也是整环。例1：设f(x)=2x2＋x＋2，g(x)=x＋2Z3[x]，计算：f(x)＋g(x)，f(x)g(x)。多项式的根定义3：设R是有单位元1的交换环，f(x)R[x]，称元素rR是多项式f(x)的一个根，如果f(r)=0。例2：求模8剩余类环Z8={0，1，2，…，7}上2次多项式x2－1在Z8内的所有根。解：f(x)＋g(x)=2x2＋2x＋1，f(x)g(x)=2x3＋2x2＋x＋1。解：x2－1在Z8内的所有根为：1，3，5，7。定义4如果R上多项式f(x)在R内无解，则称多项式f(x)在R上不可约。二．域上的多项式环

设f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元x的多项式，其中系数ai取自某一个域F，则称f(x)是域F上的多项式。用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。定理3：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。

命题1：设F是一个域，对于任意

f(x)，g(x)F[x]，若g(x)≠0，则必定存在唯一的q(x)，r(x)F[x]，使得

f(x)=q(x)g(x)＋r(x)，其中或者r(x)=0，或者degr(x)＜degg(x)。

q(x)称为用g(x)去除f(x)所得的商，r(x)称为用g(x)去除f(x)所得的余式。例3：设f(x)=x3＋x2＋7，g(x)=2x2＋7，分别在Q[x]和Z11[x]中，求用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。uvq1001例4：在F2上f(x)=，g(x)=求u(x)和v(x)，使得(f(x)，g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)。练习：求u(x)。1三．域上的多项式商环

定理4：设F是一个域，则环F[x]的每个理想都是一个主理想。命题2：在域F上多项式环F[x]中，任意取定一个多项式f(x)=a0＋a1x＋…＋anxnF[x]，其中n=degf(x)＞0，I=（f(x)），则多项式商环F[x]/(f(x))={b0＋b1x＋…＋bn－1xn－1＋I|b0,b1,…,bn－1F}。在域F上多项式环F[x]中，任意取定f(x)F[x]，则I={g(x)f(x)|g(x)F[x]}是F[x]的理想。

例5：写出Z2[x]/（x2＋x＋1）的加法和乘法的运算表。＋P1＋Px＋P1＋x＋PPP1＋Px＋P1＋x＋P1＋P1＋PP1＋x＋Px＋Px＋Px＋P1＋x＋PP1＋P1＋x＋P1＋x＋Px＋P1＋PP解：令P=(x2＋x＋1)，Z2[x]/P={a0＋a1x＋P|a0，a1Z2}={P，1＋P，x＋P，1＋x＋P}；加法和乘法的运算如下表。·P1＋Px＋P1＋x＋PPPPPP1＋PP1＋Px＋P1＋x＋Px＋PPx＋P1＋x＋P1＋P1＋x＋PP1＋x＋P1＋Px＋P作业：1．在Z2[x]中，设f(x)=x7＋x5＋x4＋x3＋x＋1，g(x)=x3＋x＋1，计算：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)g(x)及用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。2．在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=2x2＋4x＋4的根。3．写出Z2[x]/（x2＋1）的加法和乘法的运算表。

例4：设Z[x]={a0＋a1x＋