高中数学高考2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理数试题精编版（原卷版）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2013福建，理1)已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.(2013福建，理2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“AB”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.(2013福建，理3)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()．A．B．C．D．4.(2013福建，理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()．A．588B．480C．450D．1205.(2013福建，理5)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()．A．14B．13C．12D．106.(2013福建，理6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()．A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和7.(2013福建，理7)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为()．A．B．C．5D．108.(2013福建，理8)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点9.(2013福建，理9)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()．A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm10.(2013福建，理10)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是()．A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013福建，理11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＞0”12.(2013福建，理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．13.(2013福建，理13)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝，AD＝3，则BD的长为________．14.(2013福建，理14)椭圆Γ：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C．若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．15.(2013福建，理15)当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.两边同时积分得：，从而得到如下等式：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(2013福建，理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17.(2013福建，理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(1)求函数f(x)的极值．18.(2013福建，理18)(本小题满分13分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连结OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．19.(2013福建，理19)(本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k(1)求证：CD⊥平面ADD1A1(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；(3)现将与四棱柱ABCD－A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k20.(2013福建，理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．21.(2013福建，理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知直线l：ax＋y＝1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.①求实数a，b的值；②若点P(x0，y0)在直线l上，且，求点P的坐标．(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρ＝a，且点A在直线l上．①求a的值及直线l的直角坐标方程；②圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲设不等式|x－2|＜a(a∈N*)的解集为A，且∈A，A．①求a的值；②求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．(1)选