2011届高考数学总复习直通车课件-导数及其应用

第一节导数的概念及运算基础梳理1.函数f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记Δx=x1-x0,Δy=f(x0+Δx)-f(x0),则当Δx≠0时,商叫做函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]的平均变化率.第一页，编辑于星期一：八点四十五分。（2）几何意义函数f(x)在处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的切线的斜率，相应的，切线方程为

2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0).

第二页，编辑于星期一：八点四十五分。4.基本初等函数的导数公式3.函数f(x)的导函数f(x)在开区间(a，b)可导,对(a，b)内每个值x,都对应一个确定的导数在区间(a，b)内构成一个新的函数,称为函数y=f(x)的导函数,记为或y′(或).第三页，编辑于星期一：八点四十五分。原函数导函数f(x)=cf′(x)=0f(x)=f′(x)=f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=(a>0)f′(x)=f(x)=f′(x)=f(x)=(a>0,且a≠1)f′(x)=f(x)=lnxf′(x)=第四页，编辑于星期一：八点四十五分。5.导数运算法则（1）［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x);（2）［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);（3）6.复合函数的导数复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.第五页，编辑于星期一：八点四十五分。典例分析题型一求函数的平均变化率【例1】求函数在到之间的平均变化率.分析紧扣定义进行计算.解第六页，编辑于星期一：八点四十五分。学后反思求函数f(x)平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量；(2)计算平均变化率.解这类题目仅仅是简单的套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.举一反三1.求在到之间的平均变化率.第七页，编辑于星期一：八点四十五分。解析：分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.题型二利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.

解第八页，编辑于星期一：八点四十五分。学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.解析举一反三2.求函数的导数.第九页，编辑于星期一：八点四十五分。题型三导数的物理意义及物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-.（1）求质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1的瞬时速度.分析第（1）问可利用公式；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.学后反思本例引导学生理解瞬时速度是物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度当Δt趋近于0时的极限，即s对t的导数.导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数；速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义.利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题.解（1）质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度为(2)质点在t时刻的瞬时速度v=s′(t)=-6t,当t=1时，v=-6.第十页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三3.以初速度作竖直上抛运动的物体，在t秒时的高度为,求物体在时刻时的瞬时速度.解析：∵∴物体在时刻的瞬时速度为第十一页，编辑于星期一：八点四十五分。题型四导数的几何意义及几何上的应用【例4】(12分)已知曲线.（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.分析(1)在点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f′(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.解（1）∵,……………………..2′∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4,…….3′∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0………………4′(2)设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y′|x=x0=……………6′第十二页，编辑于星期一：八点四十五分。∴切线方程为,即,…………………......8′∵点P（2，4）在切线上，∴,……………...9′即,∴即∴,解得或,…............10′∴所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.…………12′学后反思（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异：在过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；而在点P处的切线，必以点P为切点.第十三页，编辑于星期一：八点四十五分。(2)准确理解曲线的切线的概念，还要注意以下两个方面：①直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征.直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，如抛物线的对称轴与其仅有一个公共点，但对称轴不是抛物线的切线;反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点，如曲线y=sinx与其切线y=1有无数个公共点.②曲线未必在其切线的“同侧”，如直线y=0虽然“穿过”曲线,但它依然是曲线在点（0，0）处的切线.举一反三4.已知曲线C:y=-3+2x,直线l:y=kx，且直线l与曲线C相切于点(,)(≠0),求直线l的方程及切点的坐标.第十四页，编辑于星期一：八点四十五分。解析：y′=3-6x+2,直线y=kx过原点(0,0)及(,),∴解得.∴切点为（,）.把切点坐标代入y=kx得∴切线方程为y=x,即x+4y=0.题型五复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.第十五页，编辑于星期一：八点四十五分。分析先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导，也可直接用复合函数求导法则运算.解（1）方法一：设，，则方法二：第十六页，编辑于星期一：八点四十五分。（2）学后反思求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导.其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）,即：先分解（复合关系）,再求导（导数相乘）.第十七页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三5.求下列函数的导数.解析：（2）第十八页，编辑于星期一：八点四十五分。易错警示【例】求曲线S:在点A(0,16)处的切线方程.错解分析将点A代入曲线S易知点A不在曲线S上,故由导数的几何意义可知,f′(0)不是曲线在过A的切线的斜率.错解由于f′(x)=，故f′(0)=3,即曲线在A点处切线斜率为3,从而切线方程为3x-y+16=0.正解设过点A的切线与曲线S切于点M（).f′(x)=,由导数的几何意义可知切线的斜率为.①又由两点连线的斜率公式知.②联立①、②得,则，故切线方程为9x+y-16=0.第十九页，编辑于星期一：八点四十五分。考点演练10.点P是曲线y=-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是.解析:作直线y=x-2的平行线使其与曲线y=-lnx相切，则切点到直线y=x-2的距离最小.由y′=2x-=1,得x=1，或x=(舍去).∴切点为（1，1）,它到直线x-y-2=0的距离为d=答案:第二十页，编辑于星期一：八点四十五分。11.求下列函数的导数.(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);解析第二十一页，编辑于星期一：八点四十五分。第二十二页，编辑于星期一：八点四十五分。12.设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)=+ax与g(x)=b+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.将a=代入上式得b=t.因此c=ab=.综上所述，a=,b=t,c=.解析：∵函数f(x)的图象过点P(t,0)，∴f(t)=0，即+at=0,又t≠0，故a=.同理，由g(t)=0得c=-b,即c=ab.又f(x)、g(x)在点P(t,0)处有相同的切线，∴f′(t)=g′(t),而f′(x)=3+a,g′(x)=2bx,∴3+a=2bt,第二十三页，编辑于星期一：八点四十五分。第二节导数的应用（Ⅰ）基础梳理1.函数的单调性在某个区间(a,b)内，若f′(x)＞0,那么函数y=f(x)在这个区间内；若f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在这个区间内.2.函数的极值（1）如果在附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)＜0,且f()=0,那么f()是极大值；（2）如果在附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)＞0,且f()=0,那么f(）是极小值.单调递增单调递减第二十四页，编辑于星期一：八点四十五分。典例分析题型一利用导数求函数的单调区间分析通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.【例1】已知f(x)=-ax-1,求f(x)的单调增区间.解∵f(x)=-ax-1,∴f′(x)=-a.令f′(x)≥0,得≥a.当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a＞0时，f(x)的单调增区间为［lna,+∞).第二十五页，编辑于星期一：八点四十五分。学后反思求函数的单调区间，就是解f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.对可导函数，求单调区间的步骤如下：（1）求f(x)的定义域；（2）求出f′(x)；（3）令f′(x)=0，求出全部驻点［补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数f′()=0，则称点为函数f(x)的驻点］；（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f′(x)的符号，因而可确定f(x)的单调区间.举一反三1.求函数f(x)=sinx-x,x∈(0,π)的单调区间.第二十六页，编辑于星期一：八点四十五分。解析解析：∵f(x)=sinx-x,∴f′(x)=cosx-.当f′(x)>0,即cosx->0时，解得0<x<,∴f(x)的单调递增区间为（0,）;当f′(x)<0,即cosx-<0时，解得<x<π,∴f(x)的单调递减区间为（,π.）第二十七页，编辑于星期一：八点四十五分。题型二已知函数的单调性求参数范围【例2】已知函数f(x)=-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.分析函数的增区间是f′(x)≥0恒成立的区间，函数的减区间是f′(x)≤0恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）.第二十八页，编辑于星期一：八点四十五分。解(1)由已知f′(x)=3-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴f′(x)=3-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立，即a≤3在x∈R上恒成立.∵3≥0,∴只需a≤0.又a=0时，f′(x)=3≥0,f(x)=-1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)=3-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3在x∈(-1,1)上恒成立.∵-1＜x＜1,∴3＜3,∴只需a≥3.当a≥3时，f′(x)=3-a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0,即f(x)在（-1,1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.第二十九页，编辑于星期一：八点四十五分。学后反思利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0［或f′(x)<0］仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］，x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0.因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）来求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围.第三十页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三2.（2010·西安模拟）若函数f(x)=x+asinx在R上递增，则实数a的取值范围是()A.［-2,2］B.［-1,1］C.D.以上都不对答案:B解析:∵f′(x)=1+acosx，∴要使函数f(x)=x+asinx在R上递增，则1+acosx≥0对任意实数x都成立.即当cosx>0时，a≥，而≤-1,∴a≥-1；同理当cosx<0时，a≤1.综上可知,-1≤a≤1.第三十一页，编辑于星期一：八点四十五分。题型三利用导数求函数的极值分析按照求极值的基本方法，首先从方程f′(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.【例3】求函数f(x)=-2的极值.解易知f(x)的定义域为R.令f′(x)=0,解得x=1或x=-1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况为：第三十二页，编辑于星期一：八点四十五分。x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘极小值-3↗极大值-1↘∴当x=-1时，f(x)有极小值-3;当x=1时，f(x)有极大值-1.学后反思求函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′(x);（3）求方程f′(x)=0的全部实根；（4）检查方程f′(x)=0的根左右两侧f′(x)的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.为判断方程f′(x)=0的根左右两侧f′(x)的符号，可用列表的方法：用方程f′(x)=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.第三十三页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三3.已知函数f(x)=-p-qx的图象与x轴切于(1,0)点，求f(x)的极值.解析：∵f(x)过（1，0）点，∴f(1)=1-p-q=0.∵f′(x)=3-2px-q,且f(x)与x轴相切于点(1,0)，∴f′(1)=3-2p-q=0.解方程组得∴f′(x)=3-4x+1=(x-1)(3x-1)，第三十四页，编辑于星期一：八点四十五分。题型四已知函数的极值求参数的值分析本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法.首先借助极值点求出函数的解析式，再利用导数求出函数的极值.【例4】(12分)已知函数f(x)=a+b-3x在x=±1处取得极值，试讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值.解f′(x)=3a+2bx-3,………………..2′依题意得f′(1)=f′(-1)=0,…..4′所以f(x)=-3x,f′(x)=3-3=3(x+1)(x-1).令f′(x)=0,得x=-1或x=1………………….6′第三十五页，编辑于星期一：八点四十五分。若x∈(-∞,-1］∪[1,+∞),则f′(x)≥0，故f(x)在(-∞,-1］和[1,+∞)上是增函数…8′若x∈[-1,1],则f′(x)≤0,故f(x)在[-1,1]上是减函数…………….10′所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值……………….12′学后反思注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用.举一反三4.函数f（x)=a+3-x+1在x∈R时是减函数，求实数a的取值范围.解析：f′(x)=3a+6x-1.因为f(x)在x∈R时是减函数，所以f′(x)≤0在x∈R上恒成立且使f′(x)=0的点只有有限个,即有解得a≤-3,即a的取值范围是(-∞,-3］.第三十六页，编辑于星期一：八点四十五分。易错警示【例】函数f(x)=在x=1处有极值10,求a、b的值.错解f′(x)=,由题意知f′(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且+a+b+1=10,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.错解分析错误的主要原因是把f()为极值的必要条件当作了充要条件.正解f()为极值的充要条件是f′()=0且f′(x)在附近两侧的符号相反.所以后面应该加上：当a=4,b=-11时，f′(x)=3+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1附近两侧的符号相反，∴a=4,b=-11满足题意;当a=-3,b=3时，f′(x)=3(x-1)2在x=1附近两侧的符号相同，∴a=-3，b=3应舍去.综上所述，a=4,b=-11.第三十七页，编辑于星期一：八点四十五分。考点演练10.（2010·广东六校联考）设函数y=-(ax)-a在x=1处取得极大值，则a=

.解析:令ax=t，则y=-t-a,y′=3-2t-1.令y′=0，得t=1或t=,即ax=1或ax=.由已知，函数y=f(x)在x=1处取得极大值,∴a×1=1或a×1=,∴a=1或a=.经验证，仅当a=时，y=f(x)在x=1处取极大值.答案:第三十八页，编辑于星期一：八点四十五分。11.已知函数f(x)=.若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.解析：f′(x)=3-2ax-3.∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)在[1,+∞）上恒有f′(x)≥0，即3-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立，则必有令g(x)=,又∵g(x)在[1,+∞)上为增函数，∴当x=1时，g(x)取最小值0,∴≤0,即a≤0.第三十九页，编辑于星期一：八点四十五分。12.(2009·天津)已知函数f(x)=(+ax-2+3a)(x∈R),其中a∈R.(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.以下分两种情况讨论.①若a>,则-2a<a-2,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表：极小值极大值f(x)+0-0+f′(x)(a-2,+∞)a-2(-2a,a-2)-2a(-∞,-2a)x解析：(1)当a=0时，f(x)=，f′(x)=(+2x)，则f′(1)=3e.所以曲线y=f(x)在点（1,f(1))处的切线的斜率为3e.(2)f′(x)=［+(a+2)x-2+4a］.令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a≠知，-2a≠a-2.第四十页，编辑于星期一：八点四十五分。所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=;函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=.②若a<，则-2a>a-2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a-2)A-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数，在(a-2,-2a)内是减函数.函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=;函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=.第四十一页，编辑于星期一：八点四十五分。第三节导数的应用(Ⅱ)基础梳理1.一般地，求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下：（1）；（2）2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用.求函数y=f(x)在（a,b）内的极值将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f（a）、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.第四十二页，编辑于星期一：八点四十五分。典例分析题型一求函数的最值分析通过求导，令f′(x)=0,找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，来找到最值.【例1】已知函数f(x)=,求函数在[-1,1]上的最值.解∵f(x)=,∴f′(x)=令f′(x)=0,得,∴x=0，或x=-2(舍去).∵f(0)=0,f(-1)=,f(1)=e,∴=f(1)=e,=f(0)=0.第四十三页，编辑于星期一：八点四十五分。学后反思求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到,其中最大者为最大值，最小者为最小值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.举一反三1.求函数的最值.解析：函数在上可导，且f′(x)=

令f′(x)=0，得x=-1或x=1（舍去）.∵f(-e)=-4,,f(-1)=1,且,∴函数的最大值为-4，最小值为1.第四十四页，编辑于星期一：八点四十五分。题型二导数在实际问题中的应用【例2】(2009·福州模拟)甲、乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元）关于速度v(km/h）的函数关系是（1）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.分析根据题目所给条件建立目标函数，利用导数求解.解（1）(0<v≤100).第四十五页，编辑于星期一：八点四十五分。(2)Q′=-5v.令Q′=0，则v=0（舍去）或v=80,当0<v<80时，Q′<0;当80<v≤100时，Q′>0.∴当v=80时，全程运输成本取得极小值，即为最小值.从而Qmin=Q(80)=(元).学后反思在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先根据题意建立函数关系式，并确定其定义域，再利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.第四十六页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三2.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费.预计当每年产品的售价为x(9≤x≤11)元时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q（a）.解析：(1)分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L=(x-3-a),x∈[9,11].(2)L′(x)=-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′(x)=0,得x=6+或x=12(不合题意，舍去).∵3≤a≤5,∴8≤6+≤.易知在x=6+的两侧L′的值由正值变负值.第四十七页，编辑于星期一：八点四十五分。①当8≤6+≤9，即3≤a≤时，Lmax=L(9)=(9-3-a)=9(6-a);②当9＜6+≤,即＜a≤5时，Lmax=

∴∴当3≤a≤，即当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；当＜a≤5，即当每件售价为（6+）元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=(万元).第四十八页，编辑于星期一：八点四十五分。题型三求单调区间与解含参不等式【例3】（2008·全国）已知函数(a∈R),试讨论f(x)的单调区间.分析求导后含有参数a,可解含参不等式.通过讨论求f(x)的单调区间.学后反思分类讨论是数学中的一个重要思想.对含参数的函数求单调区间时，求导后仍含有参数，可转化为解含参数的不等式问题.解含参数的不等式常通过讨论来完成，注意在讨论时各种情况要考虑全面，如本题易遗漏Δ=0即的情况.解f′(x)=3+2ax+1,其判别式Δ=4-12.(1)当Δ＞0,即a＞或a＜时，则在内f′(x)＜0,f(x)是减函数;在和内f′(x)＞0,f(x)是增函数.

（2）当Δ＜0,即时，则对所有x∈R都有f′(x)＞0，此时f(x)在R上是增函数.（3）当Δ=0,即时，则f′()=0,且对所有的x≠都有f′(x)＞0.故当时，f(x)在R上是增函数.第四十九页，编辑于星期一：八点四十五分。

【例4】已知函数,若在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围.分析

由在R上是增函数知在R上恒成立，进而转化为最值问题.解

由题意知∵在（-∞，+∞）上是单调增函数，∴在（-∞，+∞）上恒成立，即对x∈R恒成立.∵,∴只需a≤0,又a=0时，在R上是增函数，∴a≤0，即a∈（-∞，0］.学后反思

在已知函数是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令≥0（或≤0）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使恒等于0,若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若不恒为0，则由≥0（或≤0）恒成立解出的参数的取值范围确定.第五十页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三3.(改编题)已知函数(a≠0)，求函数f(x)的单调区间.(2)当a<0时，由f′(x)>0知3a<x<a,由f′(x)<0知x<3a或x>a.所以f(x)的增区间为(3a,a)，减区间为(-∞,3a),(a,+∞).综上，当a>0时,f(x)的增区间为(a,3a),减区间为(-∞,a),(3a,+∞);当a<0时，f(x)的增区间为（3a,a)，减区间为(-∞,3a),(a,+∞).解析：f′(x)=-+4ax-3=-(x-3a)(x-a).(1)当a>0时，由f′(x)>0知a<x<3a,由f′(x)<0知x<a或x>3a.所以f(x)的增区间为(a,3a),减区间为(-∞,a),(3a,+∞).第五十一页，编辑于星期一：八点四十五分。题型四导数与不等式的证明【例5】（12分）(2008·山东)设函数,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点.(1)求a和b的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)设，试证:f(x)≥g(x).分析(1)利用好两个函数满足的两个条件，列出关于a,b的方程组，然后解之.（2）作差：f(x)-g(x)，然后研究整体f(x)-g(x)的单调性，进一步证明结论成立即可.第五十二页，编辑于星期一：八点四十五分。解(1)∵f′(x)….1′又x=-2和x=1为f(x)的极值点,∴f′(-2)=f′(1)=0,即,解得………….3′(2)∵a=,b=-1,∴f′(x)=x(x+2)(-1).令f′(x)=0，解得……...5′∵当x∈(-∞,-2)∪(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(-2,0)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(-2,0)和(1,+∞)上是单调递增的,在(-∞,-2)和(0,1)上是单调递减的……………….7′第五十三页，编辑于星期一：八点四十五分。(3)由(1)可知,故f(x)-g(x)=……...8′令h(x)=-x,则h′(x)=-1.令h′(x)=0,得x=1.∵x∈(-∞,1］时，h′(x)≤0,∴h(x)在(-∞,1］上是单调递减的,故当x∈(-∞,1］时，h(x)≥h(1)=0……………..10′∵x∈［1,+∞)时，h′(x)≥0,∴h(x)在x∈［1,+∞)上是单调递增的,故当x∈［1,+∞)时，h(x)≥h(1)=0.…………….11′∴对任意x∈(-∞,+∞)，恒有h(x)≥0,又≥0,因此f(x)-g(x)≥0,故对任意x∈(-∞,+∞)恒有f(x)≥g(x)……………12′学后反思采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，是证明不等式的常用技巧.若证明f(x)＞g(x),x∈(a,b)，可以等价转化为证明f(x)-g(x)＞0.如果[f(x)-g(x)]′＞0，说明函数f(x)-g(x)在区间(a,b)上是增函数;如果f(a)-g(a)≥0,由增函数的定义可知，当x∈(a,b)时，f(x)-g(x)＞0，即f(x)＞g(x).利用导数知识解决不等式问题是近年来高考的一个热点，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性求解不等式或证明不等式.这类试题在考查综合能力的同时充分体现了导数的工具性和导数应用的灵活性.第五十四页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三4.已知函数f(x)=+lnx,求证:x≥1时，对任意的正整数n,总有f(x)≤x.证明:∵x≥1,∴对任意正整数n，恒有≤1,故只需证明1+lnx≤x.令h(x)=1+lnx-x,x∈[1,+∞),则h′(x)=-1.当x≥1时，h′(x)≤0,故h(x)在[1,+∞)上递减，即h（x）≤h(1)=1+ln1-1=0,∴1+lnx-x≤0,即1+lnx≤x，∴f(x)≤1+lnx≤x.当x≥1时，对任意的正整数n，总有f(x)≤x.第五十五页，编辑于星期一：八点四十五分。易错警示【例】从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一小块边长为x的正方形，如右图所示.再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t.问:x取何值时，容积V有最大值?错解V=.V′==4(3x-a)(x-a).因为，所以函数的定义域为这里，V在定义域内有唯一的极值点x=a3，由问题的实际意义可知，当时，Vmax=.第五十六页，编辑于星期一：八点四十五分。错解分析上述解法忽略了定义域的限制.正解（1）当,即时，由V′=0得，这时V在定义域内有唯一极值点.由问题的实际意义可知，当时，Vmax=.(2)当,即时，x<，这时有V′≥0，所以V在定义域内

为增函数，故当时，Vmax=.第五十七页，编辑于星期一：八点四十五分。考点演练10.（2010·山东济南模拟）将长为52cm的铁丝剪成两段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为

.答案:78解析:设剪成的两段中其中一段为x，另一段为52-x.由题意知，面积之和为S=S′=令S′=0,则x=27,另一段为52-27=25.此时Smin=78().第五十八页，编辑于星期一：八点四十五分。11.请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示）.试问:当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解析：设xm，则1<x<4.由题设可得正六棱锥底面边长(单位:m)为

于是底面正六边形的面积（单位:）为S(x)

第五十九页，编辑于星期一：八点四十五分。12.(2008·天津)已知f(x)=x++b（x≠0）,其中a,b∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P（2，f(2)）处的切线方程为y=3x+1,求f(x)的解析式;（2）讨论f(x)的单调性；（3）若对任意的a∈[,2],不等式f(x)≤10在[,1]上恒成立，求b的取值范围.帐篷的体积(单位:)为V(x)=V′(x)=令V′(x)=0，解得x=-2（舍去)或x=2.当1<x<2时,V′(x)>0,V(x)为增函数;当2<x<4时，V′(x)<0，V(x)为减函数.所以当x=2时，V(x)最大.即当为2m时，帐篷的体积最大.第六十页，编辑于星期一：八点四十五分。x(-∞,-)(,0)(0,)(,+∞)f′(x)+0--0+解析：(1)f′(x)=1-,∵f′(2)=3,∴a=-8.由切点P(2,f(2))在y=3x+1上,可得b=9.∴f(x)的解析式为f(x)=x-8x+9.(2)f′(x)=1-,当a≤0时，显然f′(x)＞0(x≠0)，这时f(x)在（-∞,0)和(0,+∞)上是增函数；当a＞0时，由f′(x)=0,得x=±.当x变化时，f′(x)变化情况是：∴f(x)在(-∞,)和（,+∞）上是增函数，在(,0)和(0,)上是减函数.第六十一页，编辑于星期一：八点四十五分。（3）由(2)知,f(x)在[,1]上的最大值为f()与f(1)中的较大者.对任意的a∈[,2]，不等式f(x)≤10在[,1]上恒成立，当且仅当对任意的a∈[,2]成立，从而得b≤.所以满足条件的b的取值范围是(-∞,].第六十二页，编辑于星期一：八点四十五分。第四节定积分与微积分基本定理基础梳理1.定积分（1）定积分的定义和相关概念①如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间［］上任取一点(i=1,2,…,n),作和式当n→∞时，上述和式无限接近，这个做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作即②在中，分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.某个常数常数第六十三页，编辑于星期一：八点四十五分。（2）定积分的几何意义若函数f(x)在区间［a，b］上连续且恒有f(x)≥0,那么定积分(3)定积分的基本性质①(k为常数);②;③(其中a＜c＜b).第六十四页，编辑于星期一：八点四十五分。2.微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F′(x)=f(x),那么这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便，常把记成即第六十五页，编辑于星期一：八点四十五分。典例分析题型一求定积分解（1）

(2)【例1】求下列定积分.(1);(2);(3).

分析根据求原函数与求导函数互为逆运算，找到被积函数的原函数，利用微积分基本公式求值.第六十六页，编辑于星期一：八点四十五分。(3)学后反思(1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，有些可利用定积分的几何意义来表示.（2）求复杂函数的定积分要依据定积分的性质.第六十七页，编辑于星期一：八点四十五分。①有限个函数代数和的定积分，等于各个函数定积分的代数和，即②常数因子提到积分符号外边，即.③当积分上限、下限交换时，积分值一定要反号，即.④积分的可加性，若c∈[a,b]，则有.第六十八页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三1.计算下列定积分.(1);(2).解析：（1）(2)

第六十九页，编辑于星期一：八点四十五分。题型二求分段函数的定积分

解【例2】求定积分.学后反思如果被积函数是绝对值函数，可以利用定积分性质，根据函数的定义域将积分区间分成若干部分，代入相应解析式，分别求出积分值，相加即可.分析利用定积分的可加性，通过讨论x的取值范围去掉绝对值符号，再求函数的定积分.第七十页，编辑于星期一：八点四十五分。举一反三2.求下列定积分.(1)(2).解析：(1)（2）第七十一页，编辑于星期一：八点四十五分。题型三定积分的几何意义

【例3】利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面