2018-2019学年同步指导人教B版数学选修4-5导学案：1.2　基本不等式（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2基本不等式（二)1.理解定理3、定理4,会用两个定理解决函数的最值或值域问题。2。能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当a、b、c∈R＋时,eq\f（a＋b＋c，3）≥eq\r(3，abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，称eq\f(a＋b＋c，3)为正数a，b，c的算术平均值，eq\r（3,abc)为正数a、b、c的几何平均值.2。如果a1,a2，…,an为n个正数,则eq\f（a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r（n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时,等号成立.基础自测1.设a、b、c∈R，下列各不等式中成立的是()A.a2＋b2≥2｜ab| B.a＋b≥2eq\r（ab)C。a3＋b3＋c3≥3abc D.eq\f（a＋b＋c，3）≥eq\r（3,abc)解析由a2＋b2－2｜ab｜＝｜a|2－2｜ab|＋|b|2＝（｜a|－｜b｜）2≥0，故选A.答案A2。函数y＝x2·（1－5x)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0≤x≤\f(1，5））)的最大值为（）A。eq\f(4，675） B。eq\f（2，657）C。eq\f(4,645） D.eq\f(2，675）解析由y＝x2·（1－5x)＝eq\f(4,25）·eq\f(5，2）x·eq\f（5，2)x(1－5x)≤eq\f(4，25）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\f（5，2）x＋\f（5,2）x＋1－5x，3））)eq\s\up12(3）＝eq\f(4,675)。答案A3.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1,则a的最大值是________。解析利用不等式求解。因为a＋b＋c＝0,所以b＋c＝－a.因为a2＋b2＋c2＝1,所以－a2＋1＝b2＋c2＝（b＋c）2－2bc＝a2－2bc,所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，所以3a2≤2，所以a2≤eq\f(2，3)，所以－eq\f（\r(6）,3)≤a≤eq\f（\r（6）,3)，所以amax＝eq\f(\r(6），3)。答案eq\f（\r(6)，3）知识点1利用平均值不等式证明不等式【例1】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证:eq\f（1，a＋b)＋eq\f(1,b＋c）＋eq\f(1，c＋a）≥eq\f（9,2）.证明a＋b＋c＝1⇒(a＋b)＋（b＋c）＋（c＋a)＝2，［(a＋b）＋（b＋c)＋（c＋a)]eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋b)＋\f(1,b＋c)＋\f(1，c＋a)）)≥3eq\r（3,（a＋b）（b＋c）（c＋a））·3eq\f(1,\r（3,(a＋b）(b＋c）（c＋a）))＝9⇒eq\f（1,a＋b）＋eq\f（1,b＋c）＋eq\f（1，c＋a）≥eq\f(9,2）.●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明(a＋b＋c）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，a＋b)＋\f(1,b＋c）＋\f（1，a＋c)))≥eq\f(9,2)（a，b,c∈R＋）.证明∵(a＋b）＋(b＋c）＋（c＋a）≥3eq\r（3，（a＋b)（b＋c)(c＋a）)，eq\f(1,a＋b）＋eq\f(1，b＋c)＋eq\f（1，a＋c）≥3eq\r(3,\f（1,a＋b)·\f(1,b＋c）·\f（1，a＋c）)，∴(a＋b＋c）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，a＋b)＋\f（1，b＋c)＋\f(1,a＋c)））≥eq\f（9,2)。当且仅当a＝b＝c时,等号成立。知识点2利用平均值不等式求最值【例2】若正数a,b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.解方法一:∵a、b∈R＋，且ab＝a＋b＋3≥3eq\r（3，3ab），∴a3b3≥81ab。又ab〉0，∴a2b2≥81。∴ab≥9（当且仅当a＝b时，取等号)。∴ab的取值范围是［9，＋∞)。方法二:∵ab－3＝a＋b≥2eq\r(ab),∴ab－2eq\r(ab)－3≥0且ab>0，∴eq\r(ab）≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b时取等号)∴ab的取值范围是[9，＋∞）.●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求y＝sinxcos2x，x∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2）)）的最大值.解∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2））),∴sinx〉0,y〉0。y2＝sin2xcos4x＝eq\f(2sin2xcos2xcos2x,2)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2sin2x＋cos2x＋cos2x，3）)）eq\s\up12(3）＝eq\f（1,2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，3））)eq\s\up12(3）＝eq\f（8,54）＝eq\f（4，27）.故y≤eq\r(\f（4,27)）＝eq\f(2\r（3），9），此时，2sin2x＝cos2x,tan2x＝eq\f(1,2），y有最大值eq\f(2\r（3),9）.知识点3平均值不等式的实际应用【例3】某产品今后四年的市场需求量依次构成数列｛an｝，n＝1，2，3，4,并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P1,第三年比第二年增长的百分率为P2,第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1.给出如下数据:①eq\f（2,7),②eq\f（2，5），③eq\f（1,3），④eq\f（1,2)，⑤eq\f（2，3)，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是()A.①② B。①③C.②③④ D。②⑤解析设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x（x>0），则a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)（1＋P3），∴（1＋x)3＝(1＋P1）(1＋P2）(1＋P3),∴(1＋x）3＝(1＋P1)（1＋P2)(1＋P3)≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1＋P1＋1＋P2＋1＋P3,3）））eq\s\up12（3)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(4,3))）eq\s\up12(3）。∴1＋x≤eq\f(4，3），即x≤eq\f(1,3)，对比所给数据，只有①③满足条件，故选B.答案B3。设长方体的体积为1000cm3，则它的表面积的最小值为__________cm2.解析设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则abc＝1000，且a〉0，b〉0,c〉0。∴它的表面积S＝2(ab＋bc＋ca)≥2×3eq\r（3，(abc）2）＝600.当且仅当a＝b＝c＝10（cm）时取“＝”号.所以它的表面积S的最小值为600cm2.答案600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）回答实际问题.随堂演练1。设f（x）＝lnx，0＜a＜b，若p＝f（eq\r（ab)),q＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2）)），r＝eq\f（1,2)(f（a)＋f（b)），则下列关系式中正确的是（）A.q＝r＜p B.p＝r＜qC。q＝r＞p D.p＝r＞q解析利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p，q,r之间的相等与不等关系。因为b>a〉0，故eq\f（a＋b,2)<eq\r(ab）.又f（x）＝lnx(x〉0）为增函数，所以feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a＋b，2）)）>f（eq\r(ab）)，即q>p.又r＝eq\f(1,2)(f（a)＋f(b）)＝eq\f(1，2）(lna＋lnb)＝lneq\r(ab）＝p.答案B2.已知x≥eq\f(5,2),则f(x)＝eq\f（x2－4x＋5，2x－4)有()A.最大值eq\f（5，4) B。最小值eq\f(5,4)C.最大值1 D。最小值1解析f(x)＝eq\f((x－2)2＋1，2（x－2））＝eq\f（1,2）eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（(x－2）＋\f（1，（x－2））））,又∵x≥eq\f（5,2），x－2≥eq\f(1，2），则f(x)≥eq\f(1,2）·2eq\r（（x－2）\f(1,（x－2））)＝1.答案D3。函数y＝x2·(1－3x）在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3)）)上的最大值是________.解析由y＝x2·(1－3x)＝eq\f（4，9)·eq\f（3，2)x·eq\f（3,2)x(1－3x）≤eq\f（4,9)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\f（3，2）x＋\f(3,2）x＋1－3x,3)))eq\s\up12(3）＝eq\f（3，243）。答案eq\f(3，243)4.用长为16cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________cm2。解析设矩形长为xcm(0〈x〈8），则宽为(8－x)cm，面积S＝x（8－x).由于x〉0，8－x〉0，可得S≤eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x＋8－x,2)）)eq\s\up12（2)＝16，当且仅当x＝8－x即x＝4时，Smax＝16.所以矩形的最大面积是16cm2。答案16基础达标1。若x〉0,则4x＋eq\f(9,x2)的最小值是()A.9 B。3eq\r(3,36）C.13 D.不存在解析∵x>0，∴4x＋eq\f(9,x2）＝2x·2x·eq\f（9,x2）≥3eq\r（3,2x·2x·\f(9，x2)）＝3eq\r(3，36).答案B2。设a，b，c∈（0，＋∞)且a＋b＋c＝1,令x＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)）·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,b）－1))eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,c)－1)）,则x的取值范围为（）A.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(1,8))） B.eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1)）C.［1,8) D。［8，＋∞)解析∵x＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,a)－1）)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,b）－1））eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,c)－1）)＝eq\f(1－a，a)·eq\f(1－b,b)·eq\f(1－c,c)＝eq\f((b＋c)(c＋a）（a＋b），abc)≥eq\f（2\r(bc)·2\r(ca）·2\r（ab），abc)＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号,∴x≥8。答案D3。已知x，y都为正数，且eq\f（1,x)＋eq\f（4,y）＝1，则xy有(）A.最小值16 B。最大值16C。最小值eq\f(1,16) D.最大值eq\f（1,16)解析∵x，y∈(0，＋∞）且eq\f(1，x）＋eq\f（4，y）＝1，∴1＝eq\f（1,x）＋eq\f（4，y）≥2eq\r（\f(4,xy））＝eq\f(4，\r（xy)）,∴eq\r(xy）≥4，∴xy≥16,当且仅当eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f（1,x）＝\f(4,y)，,\f（1，x）＋\f(4,y）＝1，，x,y∈(0，＋∞），）)即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝2,,y＝8，））时取等号，此时（xy）min＝16.答案A4.已知a，b，∈R＊，则eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a,b）＋\f(b,c)＋\f(c，a））)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（b,a)＋\f(c，b)＋\f(a，c）))≥________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a，b)＋\f(b，c)＋\f（c,a))）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（b，a）＋\f（c，b)＋\f(a,c)））＝1＋1＋1＋eq\f(ac,b2)＋eq\f(a2,bc）＋eq\f(b2,ac）＋eq\f(ab,c2)＋eq\f（bc，a2）＋eq\f（c2，ab)≥3＋2eq\r（\f(ac，b2）·\f（b2，ac)）＋2eq\r(\f(a2,bc)·\f(bc,a2)）＋2eq\r(\f（ab，c2)＋\f(c2，ab)）＝9。答案95。要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位:元).解析利用均值(基本)不等式解决问题.设该长方体容器的长为xm，则宽为eq\f(4，x)m。又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×10,即y＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x）)）(x〉0）.因为x＋eq\f（4,x）≥2eq\r(x·\f(4,x））＝4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（当且仅当x＝\f（4,x)，即x＝2时取“＝”）)，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)。答案1606.已知关于x的不等式|x＋a｜＜b的解集为{x｜2＜x＜4｝.（1）求实数a，b的值；(2)求eq\r（at＋12）＋eq\r（bt)的最大值.解（1）由|x＋a｜＜b，得－b－a＜x＜b－a，则eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(－b－a＝2，,b－a＝4，）)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，，b＝1.））(2）eq\r（－3t＋12)＋eq\r(t)＝eq\r（3）eq\r(4－t)＋eq\r(t）≤eq\r([(\r(3)）2＋12][（\r(4－t））2＋(\r（t)）2］)＝2eq\r（4－t＋t）＝4，当且仅当eq\f（\r(4－t)，\r(3))＝eq\f（\r（t)，1),即t＝1时等号成立，故（eq\r（－3t＋12）＋eq\r(t)）max＝4.综合提高7.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是（)A。V≥π B。V≤πC.V≥eq\f（1,8）π D。V≤eq\f（1，8)π解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3,于是有V＝πr2h≤π·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（r＋r＋h,3)）)eq\s\up12(3）＝πeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，3)))eq\s\up12（3）＝π，当且仅当r＝h时取等号。答案B8。如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是（)A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（l，6)))eq\s\up12（3）π B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(l，3))）eq\s\up12(3)πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(l,4））)eq\s\up12（3)π D.eq\f（1，4)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（l，4））)eq\s\up12(3)π解析l＝4r＋2h,即2r＋h＝eq\f(l,2），V＝πr2h≤eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（r＋r＋h,3）))eq\s\up12(3）π＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l，6））)eq\s\up12(3）π.答案A9.定义运算“⊗":x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)（x，y∈R，xy≠0)，当x＞0,y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.解析先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.因为x⊗y＝eq\f（x2－y2，xy),所以(2y)⊗x＝eq\f(4y2－x2,2xy）。又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝eq\f（x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2，2xy)＝eq\f（x2＋2y2，2xy)≥eq\f（2\r（2）xy,2xy）＝eq\r(2），当且仅当x＝eq\r（2)y时，等号成立.答案eq\r(2）10.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位：米/秒)、平均车长l（单位：米)的值有关，其公式为F＝eq\f(76000v，v2＋18v＋20l).(1)如果不限定车型，l＝6。05,则最大车流量为______辆/时;（2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比（1)中的最大车流量增加________辆/时.解析把所给l值代入，分子分母同除以v,构造基本不等式的形式求最值。(1)当l＝6。05时,F＝eq\f（76000v，v2＋18v＋121)＝eq\f（76000,v＋\f(121，v)＋18)≤eq\f（76000,2\r（v·\f（121，v））)＋18＝eq\f（76000,22＋18)＝1900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立,此时车流量最大为1900辆/时.（2）当l＝5时，F＝eq\f(76000v，v2＋18v＋100）＝eq\f(76000，v＋\f（100，v）＋18）≤eq\f(76000，2\r（v·\f(100，v）)＋18）＝eq\f（76000,20＋18）＝2000。当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2000辆/时，比（1)中的最大车流量增加100辆/时.答案(1）1900(2)10011.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上且对角线MN过C点，已知｜AB|＝3米，|AD|＝2米.（1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；（3）若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.解设AN的长为x米（x>2)，矩形AMPN的面积为y.∵eq\f(|DN|，|AN|）＝eq\f（|DC|，｜AM｜),∴|AM｜＝eq\f(3x，x－2），∴S矩形AMPN＝|AN｜·|AM|＝eq\f（3x2,x－2）(x>2)(1)由S矩形AMPN〉32得eq\f（3x2，x－2)>32，∵x>2，∴3x2－32x＋64〉0，即（3x－8）（x－8)>0，∴2〈x<eq\f（8，3）或x〉8，即AN的长的取值范围是eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f（8，3))）∪(8，＋∞)。（2)令y＝eq\f(3x2，x－2）＝eq\f(3(x－2）2＋12(x－2）＋12，x－2）＝3（x－2）＋eq\f（12,x－2)＋12≥2eq\r（3(x－2）·\f（12,x－2)）＋12＝24，当且仅当3（x－2）＝eq\f（12，x－2），即x＝4时，y＝eq\f(3x2,x－2）取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值24平方米。(3）令g(x）＝3x＋eq\f（12,x）（x≥4），设x1〉x2≥4，则g(x1)－g(x2）＝3（x1－x2）＋eq\f(12(x2－x1）,x1x2)＝eq\f(3（x1－x2）(x1x2－4),x1x2）,∵x1〉x2≥4，∴x1－x2>0，x1x2>16，∴g(x1）－g（x2)〉0，∴g（x)在［4，＋∞)上递增.∴y＝3（x－2）＋eq\f（12,x－2)＋12在[6,＋∞）上递增。∴当x＝6时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.12。甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位）由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(km/h）的平方成正比,比例常数为b，固定部分为a元。(1）把全程运输成本y元表示为速度v（km/h)的函数,并指出函数的定义域