利用导数解决函数的零点问题（隐零点） 专项教案 高三数学二轮复习备考

12/12利用导数解决函数零点问题（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握确定零点所在区间★★☆☆☆☆确定不含参函数零点个数★★★☆☆☆含参函数零点个数讨论及求参★★★★☆☆复合函数零点问题★★★★☆☆隐零点问题★★★★★☆一、确定零点所在区间【知识点】=1\*GB3①函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.=2\*GB3②方程.函数.图象之间的关系方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点.=3\*GB3③函数零点存在的判定方法如果函数在区间上的图象是连不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.注意：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数在区间内有零点，则不一定成立.【例题讲解】★☆☆例题1．（1）函数的零点所在区间是A． B． C． D．（2）已知函数，，的零点依次为，，，则以下排列正确的是A． B． C． D．★☆☆练习1．函数的零点所在的大致区间为A． B． C． D．★★☆练习2．已知，如果方程，，的根分别为，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．★☆☆练习3．函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3知识点要点总结：确定函数零点所在区间的解题步骤：=1\*GB3①求给定区间端点对应的函数值；=2\*GB3②判断端点函数值的符号=3\*GB3③利用零点存在定理判断该区间是否存在零点二、确定不含参函数零点个数【例题讲解】★☆☆例题2．函数在定义域内零点的个数是A．0 B．1 C．2 D．3★☆☆练习1．函数在定义域内的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3★★☆练习2．函数在定义域内的零点的个数为A．0 B．1 C．2 D．3★★☆练习3．已知函数，则函数在其定义域内的零点个数是A．0 B．1 C．2 D．3★☆☆练习4．函数在定义域内零点的个数为A．0 B．1 C．2 D．3知识点要点总结：利用导数求不含参函数零点个数的解题步骤：=1\*GB3①求导，求得的单调区间=2\*GB3②对每个单调区间验证端点的函数值乘积是否为负=3\*GB3③统计零点个数。三、含参函数零点个数讨论及求参【例题讲解】★★☆例题3．已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.★★☆练习1．已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.★★☆练习2．若函数存在正的零点，则实数的取值范围A． B．， C． D．★★☆练习3．已知函数，，其中，且是函数的极值点．（Ⅰ）求实数的值，并确定实数的取值范围，使得函数有两个零点；（Ⅱ）是否存在这样的直线，同时满足：①是曲线在点，（2）处的切线；②与曲线相切于点，，，？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．知识点要点总结：讨论含参函数零点个数的解题步骤：=1\*GB3①参变分离，将原函数通过零点建立等式，将参数与自变量分开到等式的两边；=2\*GB3②构造新函数，并利用导数研究新函数的单调性画出新函数的图像；=3\*GB3③对参数进行分类讨论，确定零点个数。四、复合函数零点问题【例题讲解】★★☆例题4．已知函数，关于方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．★★☆练习1．函数，若关于的方程有五个不同的零点，则的取值范围（）A． B． C． D．★★☆练习2．已知函数，（其中为自然对数的底数），若函数有个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．★★☆练习3．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A． B．或C．或 D．或★★☆练习4．已知函数，关于x的方程有个不同的实数解，，，则的值为（）A． B． C． D．★★☆练习5．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A． B． C． D．知识点要点总结：解决函数零点与方程根的问题，常用到换元法，数形结合，函数思想首先利用换元法求解出外函数的零点②利用外函数的零点求解内函数的零点五、隐零点问题【知识点】已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则①有关系式成立，该关系式给出了,的关系，②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.【例题讲解】★★☆例题5．已知.若恒成立，求整数的最大值．★★★练习1．已知函数．（1）求证：函数有唯一零点；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．★★★练习3．（1）求函数的零点个数；（2）证明：当，函数g有最小值．设的最小值为，求函数的值域．知识点要点总结：1.对于隐函数问题首先要通过导数求解出零点所在的位置，满足的方程2.对于含参数的零点问题注意要用设而不求的方法进行整体代换，进而消除参数，简化函数3.对于复杂函数要注意应用题目中前一问的结论【课后练习】【巩固练习】★☆☆1．方程的不同实根个数为（）A． B． C． D．★☆☆2．已知，则方程的实根个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个或个或个★☆☆3．若函数存在正的零点，则实数的取值范围（）A． B． C． D．★★☆4．已知函数（其中为常数）有极大值．（1）求的值；（2）若曲线过原点的切线与函数的图象有两个交点，试求的取值范围．★★☆5．已知，关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围为（）A．B． C D．★★★6．己知函数.若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围是(）A．−∞,2∪2,+∞B．1−1e★★★7．函数，（其中）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当，时，恒成立，求正整数的最大值．★★★8．函数的图象在处的切线方程为：．（1）求和的值；（2）若满足：当时，，求实数的取值范围．【拔高练习】★☆☆1．已知函数，则方程的实根共有个．★★☆2．已知函数，当时，关于x的方程的实数解的个数为（）A． B． C． D．★★☆3．已知函数在处取得极值．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围．★★☆4．已知函数．判断函数在区间上零点的个数，并给予证明．★★★5．已知函数，若关于的方