高中数学高考65第十一章 概率 11 2 几何概型

§11.2几何概型第十一章

概率NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_____

(_____或_____)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为_________.2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式1.几何概型知识梳理ZHISHISHULI长度面积体积几何概型3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有________；(2)等可能性：每个结果的发生具有_________.4.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝

作为所求概率的近似值.无限多个等可能性1.古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(

)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.(

)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(

)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(

)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(

)×基础自测JICHUZICE123456×√√√√题组二教材改编1234562.[P136例1]在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为√解析坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，√1234563.[P140T1]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B).4.[P146B组T4]设不等式组

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是123456√解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，123456易知该阴影部分的面积为4－π.题组三易错自纠解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.12345631234566.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为___.解析设AC＝xcm(0<x<12)，则CB＝(12－x)cm，则矩形的面积S＝x(12－x)＝12x－x2(cm2).由12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0<x<4或8<x<12.在数轴上表示，如图所示.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一与长度、角度有关的几何概型例1

在等腰Rt△ABC中，直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M，求|AM|<|AC|的概率；师生共研解如图所示，在AB上取一点C′，使|AC′|＝|AC|，连接CC′.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.(2)在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率.解由于在∠ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布在∠ACB内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB，求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).思维升华跟踪训练1

某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

解析如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，√(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝

，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧

，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为___.解析因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域为∠CAB，题型二与面积有关的几何概型命题点1与面积有关的几何概型的计算多维探究例2

(1)(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是√解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，命题点2随机模拟例3

(1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为A.7.68 B.8.68C.16.32

D.17.32√而S矩形＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32.解析由随机模拟的思想方法，(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527

0293

7140

9857

0347

4373

8636

6947

1417

46980371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

7610

4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为____.0.4解析根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527

9857

8636

6947

4698

8045

95977424，共8个，求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.思维升华跟踪训练2

(1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为√解析由题意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，√即△ABC(包括边界)，其面积为4，且事件A＝“y0<2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3，题型三与体积有关的几何概型师生共研例4

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD的体积小于

的概率为___.解析过点M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥M—ABCD的体积都相等.求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.思维升华跟踪训练3

在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，√3课时作业PARTTHREE基础保分练12345678910111213141516√123456789101112131415162.在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为

，则实数m为A.0B.1C.2D.3√解析区间[－1,3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，123456789101112131415163.(2018·益阳市、湘潭市调考)若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于√解析设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM＋CN＝2，4.(2018·广东七校联考)在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为

，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是12345678910111213141516√解析设圆的半径为r，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离的

，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，6.(2018·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是

12345678910111213141516√解析向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，123456789101112131415167.(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为_____.解析由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，123456789101112131415168.在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是____.解析因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“区域”是长度.123456789101112131415169.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为____.1234567891011121314151610.在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程

＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是____.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分(不包括m＝n这条直线)的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，1234567891011121314151611.已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；解将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个.12345678910111213141516(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率.解若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}.满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}.画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.1234567891011121314151612345678910111213141516解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}.A为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部.技能提升练12345678910111213141516解析设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1，且0≤y≤1，如图所示，则总事件所占的面积为1.1234567891011121314151614.如图，在面积为S的矩形ABCD内任取一点P，则△PBC的面积小于

的概率为____.1234567891011121