课件3.第2讲数学基础

机器人学的数学MathematicBackgroundfor位置和姿态的表坐标变齐次坐标变物体的变换及逆变通用旋转变Robotics数学位置和姿态的表AP[ p Robotics数学位置和姿态的表r1 r1 r13A 2r31

2 23r32 r33 AR ART A 0

00R(x,)00

R(y,) R(z,)

c

Robotics数学位置和姿态的表AxBx cosBy sin A Bx sinBy cos A Bz pAxp

cos

0BxyAyyp pyp

pAz p

1Bz p

pRobotics数学位置和姿态的表BAB

BAB

BAB

Robotics数学位置和姿态的表 BpB0 BpB0Robotics数学坐标变平移坐标变换坐标系{AB}具有相同的方位,但APBPAPBRobotics数学坐标变旋转变BAPARBB BRAR1 Robotics数学坐标变复合变APARBPAP Robotics数学坐标变例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B}BAR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0B0.866 0.5 0 B B ARR(z,300)0.5 0.866 0;AB B

ApARBp

7.5626

Robotics数学齐次坐标变齐次变AP A A

BP

B0

AP

Ay

By

A A APATB

AT

B0

Robotics数学齐次坐标变{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距

ab b Trans(a,b,c) c 1 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的

33

Robotics数学齐次坐标变 0

c

R(y,)

0 s

c

0

0s

s00cs

00

s0

1000 000

0Robotics数学齐次坐标变

例2-4U=7i+3j+2k,绕

0 0 7

R(z,90)

0 2 1

4 63 4 1

Trans(4,3,7) 010010100701020011

7 11 R(y,90)

1Robotics数学齐次坐标变Rot(y,90)Rot(z,90)Trans(4,3,Robotics数学1.物置描述Robotics数学物体的变换及逆变 置描TTrans(4,0,0)Rot(y,90)Rot(z,90) 0 0 01 01 4 11 1

0 0 0

14664664411 41 1Robotics数学物体的变换及逆变{B}相对于{A}:AB{C}相对于{B}:BC则{C}相对于{A}:AT

ATB Ap B B B0 C0 ARB

C

B0 Robotics数学物体的变换及逆变齐次坐标的逆变{B}相对于{A}:AB{A}相对于{B}:BAB直接求AT-BB B

A

ARTAp BT

A A

B(A

BpA0Robotics数学物体的变换及逆变

nx ox ax pxnT

o a ypnzp00

oz

pz11 nx ny nz pno poT1 ax ay az pa0 0 p n o a

Robotics数学2.4体的变换3.变换方程初BTBTSTG Robotics数学2.5用旋转变SCf,OT时的旋转矩阵.Rot(SCf,OT Robotics数学通用旋转变SS

TT{SS目前上式在{T}无法直接求。采取如下步骤：为：CTTT{p}

R(z,)CT

T{p 将{C}中坐标变换回{TTTRzCT

T{p Robotics数学通用旋转变TTR(z,)CTTT{p}Rot(f,)

T{p Rot(f,)TTR(z,CTTTR(z,)T

T

01

1 ax f

ay f

az fRobotics数学通用旋转变根据坐标轴的正交性,ano axnyozaynzoxaznxoy

oynzfxoznxfoxnyfza2a2a2a vers(1cos

1000 1000 Robotics数学通用旋转变

nx

(f2f2f2)vers3c12c2

1

oyaxRobotics数学通用旋转变ozay2fxsaxnz2fysnyox2fz(oa)2(oa)2(an)2 ozyxzyx20180o

fx(ozay)/2s

noa

f (ax(o(oa)2(an)2(nozyxzyx

)/2s

f (ny

)/2sRobotics数学2.5用旋转变f

fxfy

fz

30.0

1 1Robotics数学2.5用旋转变fxfxvers fyfxvers ffversf ffvers ffversf Rot(f,)

fyfzvers fzfzvers

1 1A qx

fxfxvers

fyfxversfz

fzfxversfysqxBqffversf

ffvers

ffversfsq y

y

fyfzvers

fzfzverscRobotics数学2.5用旋转变q=[1,2,3]T的轴f

以fxfy fzqx qy qzRot(k,30o)

1.13 0.040 0Robotics数学使用与矩阵 语言简洁紧凑,使用方便灵活,库含数极其丰具有非常多的矩阵函数,矩阵计算异常方具有多种功能的工具FORTRANC.图形功能强大,数据可视化好原程序和库函数代码公本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的Robotics数学使用与矩阵”,元素分隔用”,”或zeros(m,n):零矩ones(m,n):全部元素都为1的矩eye(m,n):单位Robotics数学使用与矩阵转乘除法与线性方程逆幂和指Robotics数学使用与矩阵 1

00Rot(x,45o)

0 010 21

2 0002 2Rot(y,45o)

2 0 0 2 02 2 1

R(x,45o)R(y,45o)R(z,60o1 3

0

R(z,60o)R(y,45o)R(x,45oRot(z,600)

01 0 00

011 习题

Robotics数学{B}{A}BZBXBBPAP.

习题:2.3

Robotics数学{B}{A}BZBXABPAP. s c习题:2.3

Robotics数学{B}{A}BZBXABPAP.Rot(x,)Rot(z, 0 0

c

sss cRobotics数学习题:2.9将图(a)变换到Robotics数学习题:2.9 0 0Rot(x,90) 1 1 0 0 Rot(z,90o) 1 1Robotics数学习题:2.9 10Trans1(0,10,0) 1 1 0 9Trans2(0,9,0) 01 1Robotics数学习题:2.9 0 0 Rot(x,90o) 01 01 0 0 Rot(z,90o) 01 01Robotics数学习题:2.9 0 Trans1(0,10,0) 001 01 0 0 Trans2(2,0,0) 01 01Robotics数学习题:2.9Trans(0,10,0)Trans(0,10,0)Rot(z,90o)Rot(x,90o 0 0

1 1

1

1 1 Robotics数学习题:2.9Trans(2,0,0)Rot(z,90o)Rot(x,90o 1 0 0 1 1 1 9 9

21 21 1

9

1

0 00 1 0 1 Robotics数学习题:2.9 0 0 Rot(x,90o) 01 01Robotics数学习题:2.9 0 0 Rot(z,90o) 01 01Robotics数学习题:2.9002002100019001Trans(2,0,9)00Trans(2,0,9)Rot(z,900)Rot(x,900 0 0 01 01Robotics数学习题:2.9fx fy fzB11 A1B10Rot(f,)

0

C10 1A1 0 00 0B9 199 1

C1

00

91 09001Rot(f,900)1000

91 1Robotics数学习题:2.9fx fy fzc A2B2s B2Rot(f,) C 2 1A2 0

00 9 9

099 2

C2

1090