高三数学专题复习 导数的应用 人教

函数的应用（1）曲线的切线.1.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:.例1:如图,已知曲线,求:

(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.

yx-2-112-2-11234OP（1）点处的切线的斜率等于4.

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0..练习1：P3433，9P3451，2

.函数的应用（2）函数的单调性.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内

>0,那么函数y=f(x)为在这个区间内的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)为在这个区间内的减函数.1用导数求函数的单调性的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数..2，利用导数讨论函数单调的步骤:(2):求导数(3)解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.（1）先求函数的定义域.故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或时,f(x)是增函数.令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当时,f(x)是减函数..解:函数的定义域是(-1,+∞),f(x)=x/2-ln(1+x)+1由即得x<-1或x>1.注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);由解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.练习2:确定下面函数的单调区间:.练习2P3454，5P3473，4，7.函数的应用（3）函数的极值.1，函数的极值的定义:一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小..(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).oaX1X2X3X4baxy.一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值..总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:(1).求导数(2).求方程的根.(3)检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值..例3:求y=x3/3-4x+4的极值.解:令,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,,y的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y

↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3..练习3，P3481，2，P3502，4.导数的应用（4）函数的最值.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值..例4:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-1,0,1.当x变化时,的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4..练习:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.练习4P3501，6，7，8，

.四、小结1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.2