考点05 诱导公式及恒等变换（解析版）

19/19考点05诱导公式及恒等变换三角函数的诱导公式1.公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限2.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限①“奇”与“偶”指的是k·eq\f(π,2)＋α中的整数k是奇数还是偶数．②“变”与“不变”是指函数名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变③“符号看象限”指的是在k·eq\f(π,2)＋α中，将α看成锐角时k·eq\f(π,2)＋α所在的象限．两角和与差的余弦、正弦、正切公式1.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ“同名相乘，符号反”2.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ“异名相乘，符号同”3.tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)“上同号，下1异号相乘”三．二倍角公式（1）sin2α＝2sinαcosα↔12sin2α＝sinα（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)考点一诱导公式之化简【例1】（1）（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）（）A． B． C． D．（2）（2021·重庆南开中学高三阶段练习）已知，则（）A． B．1 C． D．5【答案】（1）D（2）D【解析】（1）由三角函数的诱导公式，可得：.故选：D.（2）由题意，则．故选：D﹒【变式训练】1．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知角的终边经过，求=___________【答案】【解析】∵角的终边经过，且，所以，从而.故答案为：2．（2021·宁夏·吴忠中学高三阶段练习（文））若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，所以，∴，故选：B．3．（2021·河北·大名县第一中学高三阶段练习）已知，，则的值为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由及可知，所以.所以故选：A.4．（2021·江苏如皋·高三期中）已知角的终边与直线垂直，的值为___________.【答案】【解析】直线的斜率为，角的终边的斜率为2，∴，.故答案为：考点二两角和差与二倍角【例2】（2021·全国·）化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【解析】（1）.（2）由，∴.（3）.（4）.（5）.（6）.【变式训练】1．（2021·天津蓟州·高三期中）已知，则___________.【答案】【解析】.故答案为：.2．（2021·河南）计算：（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】依题意，故选：B3．（2021·云南）已知，则()A． B． C． D．3【答案】A【解析】∵，∴，，∴，故选：A．4.（2021·河南）化简函数=___________.【答案】【解析】，5．（2021·全国·）化简：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．考点三角的拼凑【例3-1】（2021·全国·高一课时练习）已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，.故选：B.【例3-2】（2021·湖南·沅江市第一中学高三阶段练习）若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，.故选：C.【例3-3】（2021·福建·福州三中模拟预测）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，则，故.故选：A【例3-4】（2021·全国·模拟预测）已知，为第二象限角，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为第二象限角，所以，又因为，所以，所以，所以，故选：A.【例3-5】（2021·吉林·高三阶段练习（文））若，均为锐角，，，则（）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】，均为锐角，，则，，故为钝角，..故选：B【变式训练】1．（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）已知，则__________．【答案】【解析】，故答案为：2．（2021·海南华侨中学高三阶段练习）设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为（）A．－ B． C．－ D．【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.3．（2021·福建·莆田第二十五中学高三期中）已知，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选：B考点四恒等变化【例4-1】（2021·湖南师大附中高三阶段练习）若，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵，∴故选：C.【例4-2】（2021·云南·昆明一中）___________.【答案】【解析】.故答案为：【变式训练】1．（2021·河南宋基信阳实验中学）__________.【答案】4【解析】.故答案为：4．2．（2021·云南·昆明一中））______．【答案】【解析】因为．故答案为：3．（2021·广东·高三阶段练习）已知，则____________．【答案】【解析】，设，则，，代入上式得，﹒故答案为：﹒4．（2021·全国·高二课时练习）求的值【答案】【解析】.1．（2021·广西玉林）若，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴.故选：C.2．（2021·云南师大附中）若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A.3．（2021·江苏南京·高三阶段练习）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，，故选：A.4．（2021·四川攀枝花）已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设，，.故选：B5．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：B.6．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（文））若，则（）A． B． C．4 D．【答案】D【解析】因为.所以，故选：D.7．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.8．（2021·四川·东辰国际学校三模（文））已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】故选：D.9．（2021·四川·射洪中学）已知角的终边经过点，则=___________.【答案】【解析】因角的终边经过点，则该点到原点的距离，于是得，所以.故答案为：10．（2021·上海长宁·一模）在直角坐标系中，角的始边为正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点，则____________【答案】【解析】.故答案为：11．（2021·黑龙江·哈尔滨三中）______.【答案】【解析】，利用两角和的正弦公式可得：，故答案为：.12．（2021·浙江·无高三阶段练习）已知角的终边在直线上，则___________；___________.【答案】【解析】由直线的斜率为，则，又.故答案为：.13．（2021·湖南·高三阶段练习）若锐角满足，则________，________.【答案】45【解析】因为，所以或4，又为锐角，所以，所以.故答案为：4，514．（2021·北京四中高三期中）已知为第三象限角，且，则__________；________.【答案】【解析】因为为第三象限角，且，所以，则；.故答案为：，15．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知，则__________.【答案】【解析】因为，所以，即，所以.故答案为：.16．（2021·山东菏泽·高三期中）已知角的终边经过点，则的值是___________.【答案】【解析】解：已知角的终边经过点，根据三角形的定义可知，根据三角函数定义：，所以，.故答案为：.17（2021·江苏镇江·高三期中）已知，则___________.【答案】0【解析】因为，故可得，则.故答案为：.18．（2021·河南）已知，，则___________.【答案】【解析】由已知可得，.故答案为：.19．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数的图象恒过点定点，若角终边经过点，则___________.【答案】【解析】因为函数的图象恒过定点，所以函数的图象恒过定点，.因为角终边经过点，由三角函数的定义可得：.所以.故答案为：.20．（2021·四川）已知，则________．【答案】【解析】因为，由诱导公式得：所以．，．故答案为：1．（2021·云南师大附中）已知，则（）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因为，故可得：.原式.故选：B.2．（2021·四川泸州）已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，则.故选：D.3．（2021·湖北·高三阶段练习）若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】将两边平方可得，则，.故选：A4．（2021·陕西金台·高三阶段练习（文））（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B.5．（2021·全国·高三阶段练习）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，所以故选：B6．（2021·全国·模拟预测）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，于是，又，所以，所以.故选：B7．（2021·山东）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则的值为（）A．或 B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，，故选：B8．（2021·四川遂宁）=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原式=.故选：D.9．（2021·辽宁·模拟预测）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】由正切函数的定义得．故选：A10．（2021·江苏盐城·高三期中）已知，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，，，，解得：，，，，，，.故选：B.11．（2021·河北保定·高三阶段练习）如图，某时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可知，则.故选：D12．（2021·宁夏·中卫一中）已知，为锐角，且，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】：依题意，为锐角，tan，，又，为锐角，得，，；，得：，因此，，故选：C.13．（2021·黑龙江·铁人中学高三阶段练习（文））若，则___________.【答案】【解析】.故答案为：.14．（2021·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））若，则_________．【答案】【解析】，令，则，即.故答案为：15．（2021·广东·高三