证券投资分析与管理：第5讲 债券定价

债券定价学习目的掌握资金时间价值的内涵及计算掌握无风险资产定价方法掌握债券收益率的度量方法理解债券定价的基本原理，把握对债券的价格的度量本章内容概览一、资金的时间价值二、无风险资产估价三、债券收益率的度量四、债券定价原理五、度量债券价格的波动性一、资金的时间价值未来值现值普通年金的未来值普通年金的现值二、无风险资产的估价

无风险资产：货币证券以及由货币证券构成的资产组合。相对于股票等金融资产，债券的风险较小，特别是政府债券。由于政府的信用极高，发生违约的概率较小，所以政府债券也常被看做是无风险资产。这里主要介绍债券的估价。任何金融工具的价格等于其预期现金流量的现值。对金融工具的价格确实包括预期现金流量的估计值以及应计收益率的估计值。债券的估价模型假如利息每年支付，可以得到方程：其中

I：代表每年支付的利息=票面利率*票面值

M：代表票面值，或到期值，比较典型的是1000美元

r：代表投资者的需要回报率

n：代表到期的年数假如不支付利息，可以得到方程：这说明零息债券价格是票面面值的现值。注意：假设条件利息每六个月支付一次；下次收到发行人支付的利息正好是从即期起的6个月后；每期支付的利息是固定的。

期限为20年、利率为10%、票面值为1000元的债券，投资者要求的收益率为11%，这个债券的价格是多少？

15年期零息债券，票面价格为1000元，投资者要求的收益率是9.4%，该债券的价格是多少？债券估价需要知道三个基本元素:投资者收到的现金流量，它等于收到的每期利息加上到期时的票面价值；借款的到期日；投资者需要的回报率。每期利息可以是每年付一次或者半年付一次。债券的价值只不过是这些现金流的现值。债券估价票面利率、应计收益率和价格的关系票面利率<收益率市场价格<票面价格（折价债券）票面利率=收益率市场价格=票面价格票面利率>收益率市场价格>票面价格（溢价债券）利率确定时债券价格和期限的关系票面利率等于应计收益率时，随着债券越临近期满日，价格就越稳定。溢价或折价出售的债券，随着期满日的临近，价格会发生不同的变化。溢价发行的债券，价格随着期满时间的临近会下降；折价发行的债券，则价格会上升。但到了期满日两种债券的价格都会等于面值。给定其他因素不变，债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大。但是,当到期时间变化时，债券的边际价格变动率递减。下表显示了息票率（6%）与面值（100）相同，但期限不同的债券（随YTM变化）的内在价值变化。YTM%期限1年10年20年30年456781021161271351011081121151001001001009998938689808877如果债券的收益率在整个生命期内都不变，则折扣或溢价的大小将随到期日的临近而逐渐减小。如下图所示.面值溢价债券价格折价债券价格溢价折价到期日今天价格-收益曲线和期限。3种债券的息票率均为10%，但期限分别为30年，10年和3年，在YTM=10%时，3种债券的价格等于面值，因而3条曲线在此相切。但是，由于期限不同，3条曲线绕面值点旋转的量有所不同。其主要特征是随着期限的延长，曲线围绕面值点的旋转越来越陡，表明期限越长，价格对收益的敏感度越高。YTM30-Yrs10-Yrs3-YrsPrice010%-零息票债券价值随时间的变化债券价格变动的原因发行人的信用级别变化导致价格变动即使市场利率没有任何变化，随着期满日的临近，债券价格也会变化可比类债券收益率（即市场利率）变动导致债券价格变动三、债券收益率的度量（一）债券收益率的定义及计算1.年收益率与期间收益率（1）年收益率（annualizingyield）：持有债券一年的收益率，ry（2）期间收益率（currentyield）：某一时间段的收益率，1/m年（m=2,4,12：半年，季度，月度），rm2.票面收益率：印制在债券票面上的固定利率，即年利息收入与债券面额的比率。3.直接收益率（currentyield）：：指债券的年利息收入与买入债券的实际价格的比率。4.到期收益率（yieldtomaturity,YTM）指债券生成的现金流现值等于市场价格的折现率。试算法5.持有其收益率：债券持有期间的收益率，rH6.赎回收益率（yieldtocall）：指持有期至提前赎回为止的持有期收益收率rYTH。7.投资组合收益率（yieldforportfolio）指债券投资组合的内部收益率（internalrateofreturn），rYP假定该投资组合有k只债券考虑如下一个投资组合债券买价面值票面利率（%）期限（年）A98010005%5B96010004%4C95010002%28.三个重要利率及性质例：以274.78元出售的到期值为1000元，还有15年到期的零息债券的即期收益率是多少？4.4%×2=8.8%是该债券的即期收益率。假设附息债券的票面收益率为8.3%，期限为10年。这张附息债券可以拆分为21张零息债券，分别是：一张期限为半年期的零息债券，一张期限为一年期的零息债券，一张期限为一年半的零息债券，一张期限为二年的零息债券，

………….

一张期限为十年的零息债券

理论即期利率曲线的构建：理论即期利率的构建：

假设附息债券的票面收益率为8%期限(年)到期收益率即期利率差异0.50.080.08010.0830.08301.50.0890.08930.000320.0920.092470.000472.50.0940.094680.0006830.0970.097870.000873.50.10.101290.0012940.1040.105920.001924.50.1060.10850.002550.1080.110210.00221

续前表5.50.1090.111750.0027560.1120.115840.003846.50.1140.117440.0034470.1160.119910.003917.50.1180.124050.0060580.1190.122780.003788.50.120.125460.0054690.1220.131520.009529.50.1240.133770.00977100.1250.136230.01123即期利率的计算即期利率与YTM不同,它是根据息票债券用“捆箱子”的方法，将附息债券视作一系列零息债券的组合，然后按不同期限利率来加以计算所得到的。

以前表中所给息票债券为例，1.5年的即期利率计算如下：96.15=100*0.0425/(1+0.04)+100*0.0425/(1+0.0415)2+(100*0.0425+100)/(1+R3)3理论即期利率与YTM不同，它考虑了不同时期的现金流应当运用不同时期的利率予以贴现。但根据上表计算结果，可以看出它们的差异并不是很大。

3.远期利率（forwardrate）6个月期票据利率=0.08，s1=0.041年期票据利率=0.083，s2=0.0415则半年后的1期远期利率是多少？f乘以2将给出6个月远期利率的债券等价收益率。由于我们利用即期利率计算了远期利率，由此得出的远期利率也叫做隐含远期利率。一般隐含远期利率的公式：乘以2为隐含远期利率的债券等价收益率，其中sn为半年即期利率

按照纯预期理论的观点，远期利率是人们关于未来利率的无偏期望，代表了市场人士对市场的一致看法。根据该观点，人们无论以任何方式投资任何期限的债券所获取的收益都将是相同的。例如：甲要进行一笔三年期的投资，他可以直接购入一张三年期的国债；也可以购入一年期的国债，在今后两年到期日进行再投资；还可以购入一张十年期的国债，在持有三年后在市场上买出。不管那种方式，他所获取的收益都将相同。否则，市场中的套利行为也将使之趋于一致。因此，可以得出远期利率的公式：

(1+fn)n=(1+r1)(1+r2)‥(1+rn)

fn=[(1+r1)(1+r2)‥(1+rn)]1/n-1

该理论假设人们是风险中性的，且未考虑交易成本。假设一位打算投资5年的投资者正在考虑两种选择：

1.购买5年期（10个时期）的零息债券

2.购买3年期（6个时期）的零息债券，并在3年后其期满时购买2年期财政证券。3年期即期利率=0.09787，s6=0.0489355年期即期利率=0.11021,s10=0.055105则3年后的2年期远期利率为0.0644×2=0.1288四、债券定价原理B.G.Malkiel(1962)最早系统地归纳了债券定价五规则，后来，Homer和Liebowitz(1972)又补充了一条，形成了债券定价六定理。

定理一

债券价格与收益率之间呈反比关系。当收益率增加时，债券价格下降；反之，收益率下降时，债券价格上升。PriceYTM015%息票率10%息票率零息票定理二

当债券收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系。换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。也可以理解为：若两种债券具有相同的息票率、面值和收益率，则具有较短生命期内的债券的销售折扣或溢价也较小。定理三

随着债券到期日的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少，反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。如果一种债券的收益率在整个生命期中不变，则折扣或溢价减小的速度将随着到期日的临近而逐渐加快。定理四（债券凸性）债券收益率的下降会引起债券价格的上升，且上升的幅度要超过债券收益率以同样比率上升引起债券价格下降的幅度。因而，债券价格曲线是凸形的，所以称债券价格的这种特性为凸性。换言之，对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。曲线的曲度反映了随着收益率的不断上升，所引起的债券价格的下降程度逐渐减小。因此，价格曲线在较高收益率时变得比较平缓。定理五

对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度成反比关系。如果债券的息票率越高，则由其收益率变化引起的债券价格变化的百分比越小。但是，该规则不适用于一年期债券和永久性债券。定理六

债券价格对其收益率变动的敏感性与债券出售时的到期收益率呈反向变动关系。即债券出售时的到期收益率越低，债券价格对收益率的敏感性越大。债券定价定理的意义利率下降（上升）会导致债券价格上升（下降），债券的到期期限越长，票面利率越低，其价格波动性越大。如果希望预期利率变动对价格的影响达到最大，则债券购买者应购买利率低但到期时间长的债券。如果预期利率上升，则投资者倾向于高票面利率或到期期限短的债券。67五、度量债券价格的波动性市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（Interestrateimmunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。（一）债券久期（duration）

最早由麦考利(F.R.Macaulay)提出，因而也称麦考利久期。久期是债券分析中的核心概念，因为：-它有效地度量了债券的风险，在债券风险管理中起到了非常重要的作用。-它是资产免疫的一个重要概念，资产免疫就是指通过适当的方式，以避免利率波动对资产价值的影响。1.什么是久期?久期是把债券每次利息或本金的支付时间进行加权平均所得到的期限。因此，久期测度的是债券的实际持有期限。或者说，是债券支付的未来现金流（本息）的到期期限的加权平均值，也称为债券的平均期限，是一种债券的有效期限。零息票债券，由于期间没有支付息票利息，债券的实际持有期限就是债券的到期期限（Durationisequaltomaturityforzerocouponbonds）。附息债券，由于债券到期之前，每期都会支付息票利息，从而使债券的实际期限缩短。2.久期的计算零息债券的久期TimeyearsPaymentPVofCF(10%)WeightC1XC4110090.90.0909.0909210082.60.0826.165234100100110075.1068.30683.10.0751.0683.6830.22530.27323.4155久期计算:举例

5久期=4.1701久期(年)300零息票债券息票率15%的YTM=6%息票率3%的YTM=15%息票率15%的YTM=15%到期3020

久期的决定3.久期的特点保持息票利息支付和到期收益率不变，久期随着到期期限的增加而增加，但增加的速度递减，尤其是在期限长于15年时。期限在5年以内时久期增加迅速，期限在5年和10年之间，久期增加的速度就明显降低了。

附息债券的久期总是小于到期期限，零息票债券的久期与其到期期限相同。保持到期期限和到期收益率不变，息票利率和存续期呈反方向关系。保持利息支付和期限不变，到期收益率和久期成反向关系。4.久期在债券分析和投资管理中的作用（二）利用久期估计价格变动久期的真正价值在于它考虑了息票利率和到期期限两个变量，而这两个变量是投资者在预期利率变动时要着重考虑的重要因素。久期可以用来度量利率敞口。如前面案例，此债券的修正久期为到期收益率变动20个基点，即从10%变动至10.2%，则债券由原来价格为1000元，降为992.42元。80Macaulay久期定理

定理1：只有无息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。81定理2：附息债券的Macaulay久期小于它们的到期时间。82定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。定理4：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

83Macaulay久期定理定理5：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。Malkeil定理2定理6：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。Malkeil定理384久期：现金流现值翘翘板的支点时间现值久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！债券组合久期的可加性证明（三）凸性(Convexity)凸性是用来度量久期随到期收益率的变动而变动。例如，下图中的债券A为30年期、8％息票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。而根据估价模型可以计算出此时的价格为998.875元。

然而，债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差。上图表明了这一点。债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切，同时也与久期法则预期的价格变化百分比的直线相切于该点。这说明，对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。但随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确。从上图还可以看到，久期近似值总是在债券实际价格的下方。也就是说，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。债券A和债券B在初始处有相同的久期，但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相同。对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具有更大的凸度。为了调整因凸性现象而产生的对债券价格变化预期的误差，我们可以增加一个凸性项来表示基础的久期利率灵敏度公式。下式就是除久期外，将凸性因素考虑在内了。由上式可知，对于有一正的凸度的债券（不含期权的债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。凸性Ctd数学定义可以表示为：

凸性与价格-收益率函数的二阶导数相对应对于普通债券而言，凸性C的计算公式是：

t是现金流发生的时间，CFt为第t期的现金流，r是每期的到期收益率,n是距到期日的期数，P是债券的市场价格。对于零息债券，凸性的计算公式还可以进一步简化：上式计算出的都是以期数为单位的凸性，为了转化成以年为单位的凸性，还要把它除以每年付息次数的平方值。举例：一支利率为10％的零息票债券。假设利率由10％现在下降到9％，即100个基点。随着利率下降，债券价格由到期收益率10％时的386美元上升到了到期收益率为9％时的422美元，价格上升了9.33%。首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。这里的价格变化为9.09%，小于所导出的9.33%的变化幅度。这个未预料出的9.33%-9.09%=0.24%的变化就表现了凸性的影响。即：把凸性估计和利率变化结合起来，我们得到一个与凸性有关的债券价格变化估计量：将凸性调整与上面讨论过的公式中以久期为基础的估计联在一起，我们得到一个债券价格变化的总的估计：

例：面值为100元，票面利率为8%的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率为10%，计算它的麦考利久期和凸性。解：该债券的麦考利久期是5.4351个半年，也就是5.4351/2=2.7176年，计算过程如下：凸性的决定因素：票息和期限一个例子：假设一个债券的到期收益率为10％。下表给出了随着债券期限变化和息票变化对凸性的影响。凸性的决定因素：票息和期限

期限

票息（%）修正久期凸性

到期收益率