高阶微分方程

第七节高阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程特点未知函数及其各阶导数都是一次幂本节只讨论二阶线性微分方程所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形一、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:证毕是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.问题:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.定义:是定义在区间I

上的

n个函数,使得则称这

n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I

上都线性相关;又如，若在某区间

I

上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间

I

上都线性无关.若存在不全为0

的常数两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论.是

n

阶齐次方程的n

个线性无关解,则方程的通解为二、线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:

将代入方程①左端,得②①是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,

方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n

阶线性非齐次方程.定理5.是对应齐次方程的n

个线性无关特解,给定n

阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解例1

已知求该微分方程的通解。是二阶非齐次线性微分方程的三个特解，例2.

已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.作业P3001(6)(8)(10);3;4(2),(5)

第八节二阶常系数齐次线性微分方程一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想有特解:

有两个不相等的实根特征根为两个线性无关的特解得齐次方程的通解为

有两个相等的实根特征根为一特解为得齐次方程的通解为

有一对共轭复根特征根为重新组合得齐次方程的通解为

由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.方法步骤:①写出特征方程②求出特征根③按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解

特征根

齐通解例1求通解解特征方程为特征根为齐通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例3解特征方程为解得故所求通解为例4:则通解为:则特解为:1.已知二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的一个特征根为，求此微分方程及方程的通解．

练习答案:2.求方程的通解.答案:通解为通解为通解为三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为推广到n阶常系数线性齐次方程:特征方程注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数.实重根复单根复重根实单根几种情况每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为例5.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例6.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解例7解特征方程为解得故所求通解为例8.解:

特征方程:特征根为则方程通解:练习解特征方程为特征根为故所求通解为四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程