激光工作物质及基本原理

关于激光工作物质及基本原理第一页，共七十九页，2022年，8月28日2§2.1黑体辐射与普朗克公式普朗克能量子假说黑体辐射第二页，共七十九页，2022年，8月28日3热辐射现象热辐射现象是是物体由于自身温度高于环境温度（分子、原子受到热激发）而产生的向外辐射电磁波的现象。物体在任何温度下都会辐射能量。并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。物体既会辐射能量，也会吸收能量。物体在某个频率范围内发射电磁波能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波能力也越大。辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。第三页，共七十九页，2022年，8月28日4黑体与黑体辐射绝对黑体是指在任何温度下，全部吸收任何波长的辐射的物体。绝对黑体是一种理想的模型，开有小孔的不透光空腔可视成黑体。绝对黑体既是完全的吸收体，也是理想的发射体。小孔的不透光空腔第四页，共七十九页，2022年，8月28日5黑体热辐射能谱实验曲线

每一条曲线都有一个极大值。

随着温度的升高，黑体的单色辐出度迅速增大，并且曲线的极大值逐渐向短波方向移动。第五页，共七十九页，2022年，8月28日6维恩（Wien）位移定律在短波部分与实验结果吻合与实验结果吻合得很好，但长波却不行。瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans）定律在长波部分与实验结果比较吻合。但在紫外区竟算得单色辐出度为无穷大—所谓的“紫外灾难”。利用经典理论无法解释黑体辐射现象。正如1900年开耳文指出的晴朗的物理学理论大厦上空，飞来“两朵乌云”之一，它动摇了经典物理的基础。T=1646K实验曲线Wien理论Rayleigh-Jeans第六页，共七十九页，2022年，8月28日71900年，德国物理学家普朗克（Plank）提出量子假说1918年获Nobel奖）：式中：k为玻尔兹曼常数，h称为普朗克常数。普朗克能量子假说T=1646K普朗克理论值实验曲线空腔辐射体的单色辐出度与波长的能谱曲线第七页，共七十九页，2022年，8月28日8Plank量子假说对黑体辐射的解释绝对黑体空腔内的光以驻波的形式存在，并且空腔中的驻波是一系列的谐振子，只能取一些分立的能量，即，Plank常数h＝6.626×10-34J·S其中，单位体积内频率在υ到υ+dυ之间的驻波数为空腔内每一个驻波，即每一个谐振子的平均能量为因此黑体辐射的单色辐照度即单位体积单位频段内辐射的能量为：第八页，共七十九页，2022年，8月28日9§2.2光和物质的三种相互作用及爱因斯坦关系式受激辐射受激吸收自发辐射第九页，共七十九页，2022年，8月28日10一.自发辐射处于高能级的激发态原子激发态原子自发的从高能级跃迁到低能级释放光子自发辐射具有偶然性，是一种只与原子本身特性有关的随机过程。第十页，共七十九页，2022年，8月28日11自发辐射跃迁几率A21

定义：单位时间内高能态上的原子（设为n2个）中发生自发辐射的原子数(dn21/dt)sp与n2的比值，也称为自发辐射爱因斯坦系数。可以证明，A21为原子在E2能级上平均寿命（自发辐射寿命）τs的倒数，即第十一页，共七十九页，2022年，8月28日12二.受激吸收外来光子通过处于低能级的原子系统原子吸收光子hυ从低能级跃迁到高能级受激吸收不仅与原子本身特性有关，同时还受来自辐射光场的影响。第十二页，共七十九页，2022年，8月28日13

受激吸收跃迁几率W12

定义：单位时间从低能级向高能级跃迁的原子数与低能级原子数n1的比值，即W12另一表示公式：B12为受激吸收爱因斯坦系数，为辐射光场的能量密度第十三页，共七十九页，2022年，8月28日14三.受激辐射外来光子经过处于高能级的激发态原子系统高能级原子受激发跃迁到低能级辐射出光子hυ，产生光放大第十四页，共七十九页，2022年，8月28日15

受激辐射跃迁几率W12

定义：单位时间从高能级向低能级发生受激辐射跃迁的原子数与高能级原子数的比值，即W21另一表示公式：B21为受激辐射爱因斯坦系数，为辐射光场的能量密度第十五页，共七十九页，2022年，8月28日16四.爱因斯坦关系式根据粒子数守恒与plank黑体辐射能量密度公式导出爱因斯坦关系式g1和g2为原子处于能级E1和E2的几率第十六页，共七十九页，2022年，8月28日17§2.3谱线加宽及谱线宽度综合加宽均匀加宽线型函数非均匀加宽第十七页，共七十九页，2022年，8月28日18自发辐射功率是频率的函数自发辐射的中心频率为υ0，在υ~υ+dυ范围内的自发辐射功率为P(υ)dυ

，于是自发辐射总功率P为线型函数图2.3自发辐射的频率分布线型函数的定义：第十八页，共七十九页，2022年，8月28日19谱线半宽Δυ即谱线加宽的线宽为：半极大值对应的频率差值（参见右图）线宽第十九页，共七十九页，2022年，8月28日20一.均匀加宽1.自然加宽根据经典电子理论，原子可以视为电偶级子当正负电子中心做频率为0的相对谐振运动时候，电偶级子就会发射频率为0的电子波，由于电偶级子发射电磁波的同时，本身的能量随时间t指数衰减，因此电磁波在空间的电矢量为：做傅立叶变换，得到频域内的振幅第二十页，共七十九页，2022年，8月28日21电偶级子发出的光强与其振幅平方成正比。因此频率在～+d之间自发辐射功率为根据式（2.23）及线宽的定义，可得自然加宽的线宽根据线型函数的定义，可得自然加宽的线型函数第二十一页，共七十九页，2022年，8月28日由归一化条件可得积分A=γ-1

第二十二页，共七十九页，2022年，8月28日23从量子理论出发，推导阻尼系数与自发辐射寿命s之间的关系，并得到线宽设t=0为初始时刻，E2能级上的原子数密度n2=n20，t＞0时，n2将减少，假设n2的减少仅仅由自发辐射引起，则对比(2.24)和(2.25)，得因此自然加宽线宽又可写为积分得到，每跃迁一个原子即可发射一个光子，因此自发辐射功率为根据经典谐振子模型，多个谐振子辐射功率功率随时间变化为第二十三页，共七十九页，2022年，8月28日24自然加宽线型函数为洛仑兹线型：图2.4自然加宽洛仑兹线型函数当＝0时，线型函数值为：第二十四页，共七十九页，2022年，8月28日252.碰撞加宽大量原子或分子的无规则碰撞使粒子振荡偏离了谐振子振荡，进而导致粒子发射的电磁波中断产生不完全波列，引起光谱线的进一步加宽，这种加宽即为碰撞加宽。碰撞加宽的线型函数与线宽在气压不太高时，碰撞加宽线宽与气压成正比第二十五页，共七十九页，2022年，8月28日263.均匀加宽线型函数与线宽气体介质中均匀加宽包括自然加宽和碰撞加宽，其线型函数为洛仑兹线型。晶体介质中均匀加宽除了自然加宽外，还存在晶格热振动加宽。（2.32）第二十六页，共七十九页，2022年，8月28日27二.非均匀加宽非均匀加宽机制指的是介质中每个发光的原子只是对光谱线内的某一特定的频率有贡献，即非均匀加宽谱线上某一频率范围的光只与某些特定的原子有关。气体介质中非均匀加宽主要是多普勒加宽。固体介质中的非均匀加宽主要是晶格缺陷加宽。第二十七页，共七十九页，2022年，8月28日28式中规定：当原子朝着接收器运动（或沿光传播方向运动）时，

z＞0；反之，当原子离开接收器运动（或沿光传播方向运动）时，z＜01.多普勒(Doppler)加宽假定接收器固定在实验室坐标系中，设一发光原子（光源）静止时的中心频率为0，当发光原子相对于接收器以z速冻运动时，由于多普勒效应，接收器接收到的光波的频率为图2.6光学多普勒效应第二十八页，共七十九页，2022年，8月28日29多普勒线型函数的导出根据分子运动论，气体原子或分子作无规则热运动，在热平衡条件下，原子数按照速率分布遵从麦克斯韦分布规律，假设只考虑沿z方向的速度分量，则单位体积内速度分量在vz~(vz+dvz)之间的原子数为式中，n为单位体积工作物质内的总原子数，k为波尔兹曼常数，T为热平衡时的绝对温度，m为原子或者分子的质量第二十九页，共七十九页，2022年，8月28日30对（2.35）式作变量代换，得根据多普勒效应将频率公式取微分，得,令若E1和E2能级上的原子数分别为n1和n2，则它们在分量在vz~(vz+dvz)之间的原子数为区间内的原子数分别为（2.35）(2.36)第三十页，共七十九页，2022年，8月28日31多普勒线型函数为的半宽表示由于~(+d)间的自发辐射功率正比于n2()d，根据线型函数的定义，得自发辐射的线型函数为（2.37）多普勒线型函数为高斯函数，当=0时，其半宽为其中，M为相对原子或者分子量，m(kg)=1.66×10-27M（2.39）（2.40）第三十一页，共七十九页，2022年，8月28日32多普勒效应对受激辐射的影响假设有一频率为的单色光沿z方向入射到气体介质中，与中心频率为0的运动原子相互作用。此时，单色光可视为某一假想光源发出，原子可视为运动的光波接收器，由于多普勒效应，原子感受到的光波频率为第三十二页，共七十九页，2022年，8月28日33如果谱线加宽只是由于多普勒效应引起，则只有满足=0条件时才有最强的共振相互作用，此时受激辐射跃迁几率最大。因此，可以得到入射光频率与原子中心频率0满足：（2.41）上式表明当运动原子与光波相互作用时，原子表现出来的中心频率变为其中0又称为表观中心频率，vz为运动原子的速度，当原子运动方向与光波传播方向相同时vz>0，反向时vz>0（2.42）第三十三页，共七十九页，2022年，8月28日34受激辐射多普勒加宽的线型函数也为高斯型，用替代公式（2.40）中即可得到其线型函数：不同速率的原子表观中心频率不同。原子体系中每个原子只对多普勒加宽谱线内与原子表观中心频率相同的部分有贡献。即多普勒加宽中不同谱线对于不同表观中心频率的原子。气体工作物质中的多普勒加宽属于非均匀加宽。2.晶格缺陷加宽：线型函数一般由实验测出第三十四页，共七十九页，2022年，8月28日35三.综合加宽实际谱线的加宽是均匀加宽和非均匀加宽的综合结果。当两者作用可以比拟的时候，就必须同时考虑两中加宽因素来确定综合加宽线型函数。②当D<<H时，综合加宽表现均匀加宽极限情况下，①当H<<D时，综合加宽表现非均匀加宽(2.43)第三十五页，共七十九页，2022年，8月28日在求频率处于υ~υ+dυ范围内的自发辐射光功率P(υ)dυ时，要同时考虑原子按表观中心频率的分布和每个原子发光的均匀展宽。表观中心频率处在υ0’~υ0’+dυ

0’范围内的高能级原子数为:由于均匀加宽这部分原子将发出频率为υ的自发辐射，它们对P(υ)dυ的贡献为由于具有不同表观频率υ0’的n2个原子对P(υ)dυ都有贡献，因此n2个原子的总贡献应该是上式对的υ0’积分在整个谱线范围内都有υ=υ0所以可用hυ0代替hυ，于是根据线型函数定义，可以求出综合加宽线型函数为：第三十六页，共七十九页，2022年，8月28日37因此，在辐射场的作用下，总受激辐射几率W21中，分配在频率处单位频带内的受激跃迁几率为四.爱因斯坦系数的修正线型函数为跃迁几率按频率分布的函数。考虑了谱线加宽后，单一频率的自发辐射光功率可以写为其中，根据爱因斯坦关系，有该式表示总自发跃迁几率A21中，分配在频率处的自发跃迁几率。可以证明由于谱线加宽，单位时间内自发辐射跃迁的原子数表达式不变（2.44）（2.45）（2.46）第三十七页，共七十九页，2022年，8月28日38讨论：1）原子与连续谱辐射场的相互作用同理可得，原子在连续辐射场作用下，单位时间内发生受激吸收的原子数为辐射场分布在很宽的频带内，其宽度远远大于原子辐射谱线宽度，原子发光的中心频率为0，在辐射场的作用下，单位时间内发生受激辐射的原子数为（2.48）图2.11原子与连续谱辐射场的相互作用（2.47）（2.50）（2.49）或者，结论：原子与连续谱辐射场的相互作用，只有接近中心频率的辐射光才对原子跃迁起作用。第三十八页，共七十九页，2022年，8月28日39如图2.12，假设准单色场的能量密度为中心频率为，其谱线宽度远远小于原子谱线宽度。由图可见，原子谱线的线型函数在附近极窄的范围内可视为常数在激光振荡过程中，光波场与工作物质内粒子的相互作用，就可理解为粒子与准单色辐射场的相互作用。图2.12原子和准单色辐射场的相互作用讨论：2）原子与和准单色辐射场的相互作用准单色能量密度为函数形式：根据函数的性质，得原子在准单色辐射场作用下，单位时间内发生受激辐射的原子数为（2.52）（2.51）第三十九页，共七十九页，2022年，8月28日40同理可得，原子在准单色辐射场作用下，单位时间内发生受激吸收的原子数为即结论：由于谱线加宽和原子相互作用的单色光频率并不一定等于原子发光的中心频率0才能发生受激跃迁，而是在=0附近的一个频带内都能发生受激跃迁，受激跃迁几率按照线型函数分布。=0时，跃迁几率最大（2.53）（2.54）第四十页，共七十九页，2022年，8月28日41五.受激辐射截面和吸收截面若激光器内第l模的光子数密度为Nl，则单色光能量密度与Nl的关系为利用爱因斯坦关系，受激吸收和受激辐射与Nl的关系为：其中，v为工作物质中的光速，21(,0)和12(,0)分别为受激辐射截面积和受激吸收截面积，具有面积的量纲，其表示式为：（2.55）（2.56）（2.57）第四十一页，共七十九页，2022年，8月28日42§2.4激光器速率方程多模速率方程四能级系统单模速率方程三能级系统单模速率方程第四十二页，共七十九页，2022年，8月28日43一、三能级系统单模速率方程图2.13三能级系统工作物质E1为基态能级E3为抽运能级E2为亚稳态能级W13为抽运几率，A31和A21均为自发辐射几率，S32、S31和S21均为无辐射跃迁几率，W12受激吸收几率，W21受激辐射几率。

第四十三页，共七十九页，2022年，8月28日44对E3能级，单位时间粒子数密度变化为：对E2能级，单位时间粒子数密度变化为：将代入上式，得（2.60）（2.61）第四十四页，共七十九页，2022年，8月28日45由总粒子数守恒设工作物质长度等于腔长L，第ι个模式的光子数密度为Nι，则（2.62）（2.63）第四十五页，共七十九页，2022年，8月28日46（2.64）速率方程第四十六页，共七十九页，2022年，8月28日47二、四能级系统单模速率方程图2.14四能级系统工作物质E0为基态能级E3为抽运能级E2为亚稳态能级E1为空能级（激光产生下能级）W03为抽运几率，A30和A21均为自发辐射几率，S30

S32、S21和S10均为无辐射跃迁几率，W12受激吸收几率，W21受激辐射几率。

第四十七页，共七十九页，2022年，8月28日48速率方程（2.65）第四十八页，共七十九页，2022年，8月28日49§2.5增益系数与增益饱和非均匀加宽增益机制均匀加宽增益机制增益系数第四十九页，共七十九页，2022年，8月28日50一.增益系数定义图2.16光在增益介质中的放大如图，有一增益介质，光强为I0的准单色光自端面z=0处入射，由于受激辐射，在传播过程中光强将不断增大。通常用增益系数来描述光通过单位长度增益介质后光强增长的百分数。根据定义，设在z处的光强为I(z)，在z+dz处的光强为I(z)+dI(z)，则介质对光的增益系数为：第五十页，共七十九页，2022年，8月28日51增益系数表达式单模激光器的光子数密度速率方程为（2.67）（2.68）（2.69）其中，只考虑增益而忽略损耗（2.67）简化为将I=Nhv,dz=vdt代入上式，得因此，增益系数的表示式为第五十一页，共七十九页，2022年，8月28日52二.均匀加宽工作物质的增益机制在连续激光器或长脉冲激光器中，认为各能级上的粒子数达到稳定工作状态，因此上节得出的四能级系统速率方程组（2.65）应有由于S32>>A30,所以，在稳态情况下速率方程组式（2.66）中的第一个方程可改写为因为一般四能级系统中S32>>W03，故有n3=0。由速率方程组（2.65）中第三个方程可得（2.70）（2.72）（2.71）第五十二页，共七十九页，2022年，8月28日53反转粒子数密度方程组（2.65）中E2能级粒子数密度变化的速率方程可改写为反转粒子数密度的速率方程。式中τ2为E2的能级寿命。在稳态时，应有dΔn/dt=0，并考虑到四能级系统中大量粒子聚集在基态，n0=n,则（2.74）（2.73）第五十三页，共七十九页，2022年，8月28日54将线型函数（2.34）、发射截面（2.57）及N=I/hυv代入上式，整理后可得四能级系统的饱和光强表达式为（2.75）（2.76）第五十四页，共七十九页，2022年，8月28日55小信号情况所谓小信号情况，是指当入射光强Iυ1<<IS

，此时Δn＝Δn0工作物质内受激辐射很微弱，因此可忽略受激辐射项，于是由式(2.74)可得四能级系统小信号情况下的反转粒子数密度:可见，小信号反转粒子数密度Δn0与入射光强无关，其大小取决于激发几率和受激辐射上能级寿命。（2.77）第五十五页，共七十九页，2022年，8月28日56大信号情况当Iυ1足够强时（即大信号情况），由式（2.75）可知，将会出现Δn<Δn0

。这是由于，随着Iυ1的增大，受激辐射作用增强，导致上能级粒子数急剧减少，Iυ1越强，反转粒子数减少得越多。这种现象称为反转粒子数饱和。式（2.75）还表明，不同频率的入射光对反转粒子数饱和的影响不同。在入射光强相同情况下，当入射光频率等于中心频率时，反转粒子数饱和最强，这是由于在中心频率处受激辐射几率最大，入射光造成的反转粒子数的减少越严重。第五十六页，共七十九页，2022年，8月28日57当入射光频率等于中心频率时，式（2.75）可简化为当入射光强等于饱和光强时,反转粒子数减少了一半。通常认为，入射光频率在以下范围内才会引起显著的饱和作用：（2.79）第五十七页，共七十九页，2022年，8月28日58增益系数与增益饱和效应由式（2.69）已知增益系数G与反转粒子数Δn成正比关系。若入射频率为υ1，强为Iυ1的光入射到均匀加宽工作物质，其增益系数G为将(2.75)及线型函数代入上式，整理后可得（2.80）（2.81）其中，GH0(υ0)为中心频率处的小信号增益系数第五十八页，共七十九页，2022年，8月28日59小信号情况在Iυ1<<IS的小信号情况下，均匀加宽工作物质的小信号增益为中心频率处的小信号增益系数可表示为(2.82)(2.83)第五十九页，共七十九页，2022年，8月28日60结论当Iυ1<<IS时，反转粒子数和增益系数均与入射光强无关，若激光上能级寿命越长，激励越强，小信号增益系数越大。小信号增益系数与入射光频率有关，即对不同频率的光，有不同的增益系数。对应于激光器中不同的纵模，其小信号增益系数是不同的。第六十页，共七十九页，2022年，8月28日61小信号增益曲线通常，把小信号增益系数与入射光频率υ1的关系曲线称为小信号增益曲线，其形状完全取决于线型函数，如图2.17所示。图2.17小信号增益曲线第六十一页，共七十九页，2022年，8月28日62大信号情况当Iυ1足够强时（即大信号情况），

GH(υ1,Iυ1)值也将随光强Iυ1的增强而减小，这就是增益饱和现象。综上所述,产生增益饱和的物理原因：因增益系数正比于介质内的反转粒子数，由于Iυ1光在介质中传输时，通过受激辐射获得增益的同时消耗了大量反转粒子数，反转粒子数的饱和致使增益系数也发生饱和。当υ1=υ0时,中心频率光强等于饱和光强时，大信号增益系数是小信号增益系数的二分之一。在相同光强情况下，υ1偏离中心频率越远，饱和效应越弱。第六十二页，共七十九页，2022年，8月28日63两不同频率、不同光强的光同时存在时在均匀加宽激光器中，开始起振时有多个纵模频率满足阈值条件，在激光腔内振荡、放大，而最靠近中心频率的纵模由于小信号增益系数大，光强增长最快（成为强光），首先达到饱和光强，引起饱和效应，现讨论该纵模饱和时对其它尚未达到饱和光强的纵模（称之为弱光）的增益系数的影响。第六十三页，共七十九页，2022年，8月28日64假设强光的频率为υ1，光强为Iυ1

；弱光的频率为。根据式（2.69）和(2.75)，弱光增益系数(2.85)第六十四页，共七十九页，2022年，8月28日65从上式可见，当强光频率υ1及光强Iυ1一定时，弱光在强光作用下的增益系数与其小信号增益系数的比值在频域上处处相等。其物理原因是：由于强光Iυ1通过受激辐射消耗了大量激发态上的粒子，对于均匀加宽工作物质而言，由于激发态上的每个粒子对谱线中不同频率光的增益都有贡献，激发态粒子数的减少就意味着对其它频率有贡献的粒子数也减少，即对应于其它频率光的增益系数也下降，且都以同一比值下降，即整个增益曲线均匀地下降。如图2.18所示。第六十五页，共七十九页，2022年，8月28日66因此，在均匀加宽激光器中，当靠近中心频率的模率先达到饱和时，会使其它模的增益降低，当这些模的增益系数低于阈值增益系数时，便会自动熄灭。图2.18在强光作用下，均匀加宽工作物质增益曲线第六十六页，共七十九页，2022年，8月28日67三、非均匀加宽工作物质的增益系数和增益饱和假设小信号情况下的反转粒子数密度为Δn0，则表观中心频率为υ0’~(υ0’+dυ0’)范围内的反转粒子数密度为若有频率为υ1,光强Iυ1的光入射，则这部分粒子对增益的贡献dG可按均匀加宽增益系数的表示式来计算，可得第六十七页，共七十九页，2022年，8月28日68从数学上来说,我们可将υ0’的取值范围看作0→∞，所以增益系数为在非均匀加宽情况下ΔυD>>ΔυH

，于是式（2.86）可简化为（2.86）（2.87）第六十八页，共七十九页，2022年，8月28日69在Iυ1<<IS时，由上式求得小信号情况下非均匀加宽介质的增益系数可表示为其中，G0i(υ0)为小信号增益系数，由上可知，小信号增益系数G0i(υ0)与光强无关，而小信号增益系数与频率的关系（即增益曲线）取决于非均匀加宽线型函数。（2.88）（2.89）第六十九页，共七十九页，2022年，8月28日70将式（2.89）及线型函数代入，式（2.87）可改写为在小信号情况下，可见，非均匀加宽介质的小信号增益曲线为高斯线型，同时由式（2.90）可以看到，非均匀加宽情况下，增益饱和的强弱只与光强Iυ1有关，与频率无关。（2.90）（2.91）第七十页，共七十九页，2022年，8月28日71烧孔效应当入射光频率为υ1

，且光强Iυ1有足够强时，该入射光造成表观中心频率υ1＝υ1对应的那部分粒子饱和，由于饱和效应，表观中心频率为υ1的反转粒子数密度将由原来的A点下降到A1点，见图2.19。图2.19非均匀加宽工作物质中反转粒子数和频率的关系实线表示小信号情况第七十一页，共七十九页，2022年，8月28日72若此入射光频率υ1相当于均匀加宽中的中心频率，此时引起的反转粒子数饱和可表示为对于表观中心频率为υ2的粒子，由于入射光频率υ1偏离粒子的表观中心频率υ2

，引起的饱和效应较小，所以在图2.19中可见，反转粒子数密度由B点下降到B1点。第七十二页，共七十九页，2022年，8月28日73对于表观中心频率为υ3的粒子，由于入射光频率υ1与υ3偏离太远，所以饱和效应可以忽略。由以上分析可知，频率为υ1的强光，只与表观中心频率υ1附近，宽度约为范围内的粒子数相互作用，引起反转粒子数饱和，形成