第2节 古典概型(教师版-)

PAGE11第二节古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．②每个基本事件出现的可能性相等．(2)概率公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).3.一个判定标准：试验结果有限且等可能．4.两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．题型一简单古典概型的概率例题【例1】从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()．A.eq\f(4,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9)D.eq\f(1,9)【答案】D【解析】由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有Ceq\o\al(1,5)×1＝5个．所求概率为eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).【例2】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．【答案】eq\f(3,5)【解析】相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两类：第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为A，则P(A)＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为B，①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为2Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3).②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)，∴P(B)＝eq\f(2C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)A\o\al(3,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,5)，∴P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)练习题【练1】甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()．A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)【答案】C【解析】甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为eq\f(1,3).【练2】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)【答案】B【解析】从袋中任取两球有Ceq\o\al(2,6)＝15种，满足两球颜色为一白一黑的有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝6种，概率等于eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).【练3】从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)【答案】B【解析】从5个数中任取2个不同的数有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，故所求概率为：P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).题型二古典概型与互斥、对立事件的概率综合问题例题【例3】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝18种，用M表示“A1恰被选中”这一事件，则包含的结果共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6种，因而P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件eq\x\to(N)表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于eq\x\to(N)包含Ceq\o\al(1,3)＝3个基本事件，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6)，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).练习题【练4】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解析】(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为Ceq\o\al(3,10)，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)X的数学期望EX＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).题型三古典概型与统计的综合问题例题【例4】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见下表：PM2.5日均值k(单位：微克)空气质量等级k≤35一级35<k≤75二级k>75超标某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数，并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；(2)若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天空气质量超标的概率．【解析】(1)甲居民区抽测的样本数据分别是37,45,73,78,88；乙居民区抽测的样本数据分别是32,48,65,67,80.故eq\x\to(x)甲＝eq\f(37＋45＋73＋78＋88,5)＝64.2，eq\x\to(x)乙＝eq\f(32＋48＋65＋67＋80,5)＝58.4.则eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙．由此可知，乙居民小区的空气质量要好一些．(2)由茎叶图知，甲居民区5天中有3天空气质量未超标，有2天空气质量超标．记未超标的3天的样本数据为a，b，c，超标的2天为m，n.则从5天中抽取2天的所有情况为：(a，b)，(a，c)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(m，n)，基本事件数为10.记“5天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，基本事件数为6.则P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).练习题【练5】某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4.(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；(2)估计成绩在85分以上学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表分组频数频率[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)合计【解析】(1)样本的频率分布表：分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)140.28[70,80)150.30[80,90)120.24[90,100)40.08合计501(2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人，估计成绩在85分以上的学生比例为eq\f(10,50)＝eq\f(1,5).(3)[40,50)内有2人，记为甲、A.[90,100)内有4人，记为乙、B、C、D.则“二帮一”小组有以下12种分组办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)，(甲，B，C)，(甲，B，D)，(甲，C，D)，(A，乙，B)，(A，乙，C)，(A，乙，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲，乙，B)，(甲，乙，C)，(甲，乙，D)．所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).题型四正难则反法求古典概型的概率例题【例5】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)【答案】B【解析】[一般解法]第一步先排语文书有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有Aeq\o\al(5,5)＝120(种)，同一科目的书都不相邻的概率是eq\f(48,120)＝eq\f(2,5).[优美解法]语文、数学只有一科的两本书相邻，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝48种摆放方法．语文、数学两科的两本书都相邻，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24种摆放方法．而五本不同的书排成一排总共有Aeq\o\al(5,5)＝120种摆放方法．故所求概率为1－eq\f(48＋24,120)＝eq\f(2,5)，故选B.练习题【练6】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为eq\f(1,4)，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为eq\f(1,12)，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为eq\f(2,9).(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率．【解析】(1)设A、B、C分别为“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”的事件．由题设条件，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA·[1－PB]＝\f(1,4)，,PB·[1－PC]＝\f(1,12)，,PA·PC＝\f(2,9)，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝\f(1,3)，,PB＝\f(1,4)，,PC＝\f(2,3).))即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(2,3).(2)记D为“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品”的事件，则P(D)＝1－P(eq\x\to(D))＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，故从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品的概率为eq\f(5,6)一、选择题1．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()．A.eq\f(1,12) B.eq\f(5,12) C.eq\f(7,12) D.eq\f(5,6)【答案】A【解析】由题意知，基本事件有eq\f(A\o\al(2,4),2)＝12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P＝eq\f(1,12).2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 ()．A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】基本事件有Ceq\o\al(2,5)＝10个，同色球的有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝4个概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)【答案】A【解析】(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).4．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为eq\f(2,3)，则这班参加聚会的同学的人数为()．A．12 B．18 C．24 D．32【答案】B【解析】设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三种数字，每人则可喊0,5,10,15,20五种数字，当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜，当两人所出数字之和等于乙所喊数字时为乙胜，若甲喊10，乙喊15时，则()．A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大C．甲、乙胜的概率一样大D．不能确定【答案】A【解析】两人共有9种出数的方法，其中和为10的方法有3种，和为15的方法有2种，故甲胜的概率要大，应选A.6.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为()．A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,16) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为eq\f(1,4).二、填空题7.在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．【答案】eq\f(1,3)【解析】由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).8．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的概率是________．【答案】eq\f(7,12)【解析】∵m，n均为不大于6的正整数，∴当点A(m，n)位于直线y＝x上及其下方第一象限的部分时，满足θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A(m，n)的基本事件总数为6×6＝36，故所求概率为eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).9．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e>eq\r(5)的概率是________．【答案】eq\f(1,6)【解析】e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，∴b>2a，符合b>2a的情况有：当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．则所求概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).10．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．【答案】eq\f(2,3)【解析】根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(Ceq\o\al(2,3))3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)个，故所求概率为eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,3)3)＝eq\f(2,3).三、解答题11．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．【解析】(1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；从中学中抽取的学校数目为6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；从大学中抽取的学校数目为6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).12.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．【解析】(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩共有Ceq\o\al(2,5)＝10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为eq\f(4,10)＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.13.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．【解析】(1)若编号为n的球的重量大于其编号．则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.解得n<3或n>4.∴n＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形共有Ceq\o\al(2,6)＝15种．设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．由古典概型，所求事件的概率为eq\f(2,15).14．某省实