土建云-大二概率论桂文豪第1章

概率论与数理统计2015年秋季1.考试内容：本学期第一次考核内容为第一章和第二章（时间为10月25日左右）；第二次考核内容为第三章、第四章和第五章（11月29日左右）；第三次考核为期末考试，考核全部内容，即前六章。

2.期末最终成绩构成：两次月考各占10%，共占20%，作业与考勤占20%（其中，三次随机点名不到或者严重违纪者取消考试资格；旷课一次扣3-5分;作业一次不交扣2分，扣完为止），期末占60%。

学期考核

E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数.

这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学试验，也包括对事物的某一特征的观察。其典型的例子有：

§1随机试验（randomexperiment）第一章概率与随机事件返回主目录E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T

（Tails）出现的情况。E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现

的情况。E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。

E5：记录寻呼台一昼夜接到的呼唤次数。

E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。返回主目录随机试验这些试验具有以下特点：可以在相同的条件下重复进行；每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；我们把满足以上三个特点的试验称为随机试验。第一章概率与随机事件一样本空间二随机事件P&S§2样本空间与事件目录索引返回主目录第一章概率与随机事件1样本空间(Space)

定义将随机试验

E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S

或。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。={1,2,3,4,5,6}返回主目录

={H,T}={0,1,2,3}={HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}第一章概率与随机事件S1S2S3S4S5={0,1,2,3……}

E5：记录寻呼台一昼夜接到的呼唤次数。

E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。P&S返回主目录S6={t|t0}S7={(x,y)|T0xyT1}第一章概率与随机事件随机事件:称试验E的样本空间S的某子集为E的

随机事件，用A，B，C，等表示；基本事件:有一个样本点组成的单点集；必然事件:样本空间S本身；不可能事件:空集。2、

随机事件我们称一个“随机事件发生”当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现．返回主目录(可能发生，也可能不发生）(必然发生）(必然不发生）如:中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}第一章概率与随机事件S2事件B3={t|t1500}

表示“灯泡是一级品”

P&S返回主目录例如：S2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}表示“第一次出现的是正面”S6中事件B1={t|t1000}表示“灯泡是次品”事件B2={t|t1000}表示“灯泡是合格品”B={THH,THT,TTH,TTT}表示“第一次出现的是反面”第一章概率与随机事件

事件间的关系与运算P&S§3事件的关系和运算目录索引返回主目录第一章概率与随机事件10

包含关系：1、事件间的关系20P&S返回主目录“A发生必然导致B发生”

SAB第一章概率与随机事件“A发生必然导致B发生且B发生必然导致A发生”

2、事件的运算20

和事件10积事件返回主目录“A，B中至少有一发生”

“A与B同时发生”

第一章概率与随机事件SABSAB30

差事件40

互不相容50互逆（对立）事件P&S返回主目录“A发生但B不发生”“A与B不能同时发生”

ASBASAB第一章概率与随机事件SBSAP&S50

互不相容60

对立事件A返回主目录第一章概率与随机事件S2中事件

A={HHH,HHT,HTH,HTT},B={HHH,TTT}P&S返回主目录第一章概率与随机事件P&S

2、一个试验的基本事件是两两互不相容的事件，它们的和事件是必然事件。返回主目录注意：1、互逆事件必为互不相容事件，反之不一定。SAB第一章概率与随机事件随机事件的运算规律幂等律:交换律:P&S

结合律:分配律:DeMorgan定律:返回主目录特别：第一章概率与随机事件

事件间的关系与运算举例；P&S返回主目录“A，B，C中至少有一发生”：“A，B，C中至少有两发生”：“A，B，C中最多有一发生”：例1第一章概率与随机事件P&S返回主目录答：应选（D）例2第一章概率与随机事件一频率二概率P&S§4事件的概率目录索引返回主目录第一章概率与随机事件一、频率1）频率的定义和性质P&S定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这

n次试验中，事件A发生的次数nA为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件

A发生的频率，并记成fn(A)。返回主目录第一章概率与随机事件

频率具有下述性质:返回主目录第一章概率与随机事件

频率的意义:P&S返回主目录第一章概率与随机事件P&S返回主目录第一章概率与随机事件2512492562532512462440.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.002-0.0020.0120.0060.002-0.008-0.012

nAfn(H)P&Sn=500时

实验者德•摩根蒲丰K•皮尔逊K•皮尔逊

nnHfn(H)204840401200024000

106120486019120120.51810.50960.50160.5005返回主目录2）频率的稳定性第一章概率与随机事件频率稳定值概率事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义P&S返回主目录第一章概率与随机事件二、概率的（公理化）定义1、定义

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于

E的每一个事件A赋予一个实数，记为称为事件A的概率，要求集合函数满足下列条件：P&S返回主目录（可列可加性）（正则性或正规性）（非负性）第一章概率与随机事件2、概率的性质与推广P&S返回主目录证：第一章概率与随机事件返回主目录（有限可加性）证：第一章概率与随机事件SAB返回主目录（包含可减性）（非降性）证：SAB第一章概率与随机事件SABSA返回主目录（加法公式）（逆事件的概率公式）第一章概率与随机事件重要推广SBAP&S返回主目录（加法公式）第一章概率与随机事件加法公式的推广第一章返回主目录P&S返回主目录第一章概率与随机事件（有限可加性）（包含可减性）（非降性）返回主目录（加法公式）（逆事件的概率公式）第一章概率与随机事件重要推广例1第一章返回主目录已知A、B、C是三个事件，且求A、B、C全不发生的概率。解例1（续）第一章返回主目录第一章返回主目录例2已知则解第一章返回主目录则例3已知解第一章返回主目录则例4解已知A、B是两个事件，且第一章返回主目录则例5解已知A、B是两个事件，且第一章返回主目录求例6解已知A、B是两个事件，且一乘法原理预备知识

完成一项工作须经2步，而实施第k(k=1,2)步有个不同方案，则完成此项工作共有个不同方案。概率论与数理统计二加法原理

完成一项工作有两种不同过程而实施第k(k=1,2)

个过程有个不同方案，则完成此项工作共有个不同方案。二排列与组合（1）相异元素不许重复的排列公式概率论与数理统计

从n个不同的元素中取m个不同元素(不许重复)排成一列,称为相异元素不许重复的一种排列.排列公式(排列总数)全排列:n!（2）相异元素允许重复的排列公式概率论与数理统计

从n个不同的元素中取m个元素(允许重复)排成一列,称为相异元素允许重复的排列.排列公式

注意:排列问题考虑元素的次序.

如:12,21是两种不同的排列（3）相异元素不许重复的组合公式概率论与数理统计

从n个不同的元素中取m个不同元素(不许重复)组成一组,称为相异元素不许重复的组合.组合公式

注意:组合问题不考虑元素的次序.如:12,21是相同的组合.§1-5等可能概型

目录索引

等可能概型（古典概型）

几何概型第一章概率与随机事件返回主目录

考虑最简单的一类随机试验，它们的共同特点是：

样本空间的元素只有有限个；(有限性)

每个基本事件发生的可能性相同。（等可能性）一．等可能概型（古典概型）

我们把这类试验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。第一章概率与随机事件等可能概型返回主目录设S={e1,e2,…,en},由古典概型的等可能性，得又由于基本事件两两互不相容，所以等可能概型返回主目录基本事件的概率:第一章概率与随机事件若事件A包含k个基本事件，即等可能概型返回主目录随机事件的概率:则有：第一章概率与随机事件解：根据上一节的记号，E2的样本空间S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THTTTH,TTT},等可能概型返回主目录求P(A1)。n=8，即S2中包含有限个元素，每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。

例1将一枚硬币抛掷三次。设事件A1=“恰有一次出现正面”,第一章概率与随机事件等可能概型返回主目录注意:若样本空间为

A1为“恰有一次出现正面”，

A1={HTT,THT,TTH},

第一章概率与随机事件

例2一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。（书第7页例1）不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。（书第8页例3）分别就上面两种方式求：

1）取到的两只都是白球的概率；

2）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。

等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件

设A=“取到的两只都是白球”，

B=“取到的两只球中至少有一只是白球”。

等可能概型返回主目录解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。有放回抽取:第一章概率与随机事件

B=“取到的两只球中至少有一只是白球”。

等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件

无放回抽取:等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件

例3将n

只球随机的放入N(Nn)

个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。分析:n

只球看成是n个不同的球,

N个盒子也是N个不同的盒子,等可能概型返回主目录

是从N个不同元素中取n个元素允许重复的排列,每一种放法即为一种排列是一基本事件.设每个球都以等可能性放在各个盒子中,第一章概率与随机事件所以每个球都有N种不同放法,n个球总共有种放法.（书第9页例6（1））解：每个盒子中至多放一只球的概率:等可能概型返回主目录至少有两只球放在同一盒子中的概率:第一章概率与随机事件等可能概型返回主目录该数学模型可用于许多实际问题,如:生日问题,住房问题,车站下车问题等.n(n365)个人在365天的生日,可看成是n个球放入365个盒子中。随机取n人他们的生日各不相同的概率为因而，n个人中至少有两人生日相同的概率为第一章概率与随机事件

如“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为99.7%。np2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997经计算可得下述结果：等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件书中第9页例6(2),(3)请同学自学.

例4设有N件产品，其中有D

件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?

解：不放回抽样（超几何分布模型）1）等可能概型返回主目录此式即为超几何分布的概率公式。第一章概率与随机事件等可能概型返回主目录超几何分布在产品检验中的应用：

一、在N已知时，作抽样检查，抽出n件产品中恰有k件次品，问如何根据这个检验结果推断产品的次品数？这就是“假设检验问题”。

二、在D已知时，作抽样检查，抽出n件产品中恰有k件次品，问如何根据这个检验结果推断产品的总数N？这就是统计中的“最大似然估计问题”。第一章概率与随机事件2）有放回抽样（二项分布模型）此式即为二项分布的概率公式。等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件超几何分布与二项分布的关系:3）等可能概型返回主目录二项分布超几何分布第一章概率与随机事件

例5

袋中有a

只白球，b

只黑球．K

人依次在袋中取一只球，试求第人取出的球是黑球的概率．

解：设：A=“第i人取出的球是黑球”等可能概型返回主目录1）有放回抽样第一章概率与随机事件等可能概型返回主目录此结果适用于：抓阄，买彩票等问题2）不放回抽样第一章概率与随机事件例6

在1~2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：设A为事件“取到的整数能被6整除”，B为“取到的整数能被8整除”，则所求的概率为：为：6，12，18…1998共333个，所以能被6整除的整数等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件AB为“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”于是所求的概率为：其中B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}，等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件

例7将15名新生随机地平均分配到3个班中去，这15名新生中有3名是优秀生。问：

(1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？

(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？解：15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数为：等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件等可能概型返回主目录

思考：从20人中取15人随机地平均分配到3

个班中去，共有多少种分法？答：(1)将3名优秀生分配到3个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有3!种。其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有每个班各分配到一名优秀生的分法总数为：于是所求的概率为：等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件三名优秀生分配在同一班级内其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率为：等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件

例8某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？

解：假设接待站的接待时间没有规定，等可能概型返回主目录即千万分之三。各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周二、周四的概率为:第一章概率与随机事件

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。

例9从1～9这9个数中有放回地取出n个数，试求取出的n个数的乘积能被10整除的概率．解：A={取出的n个数的乘积能被10整除}；

B={取出的n个数至少有一个偶数}；

C={取出的n个数至少有一个5}．则A=B∩C等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件

例10一部10卷文集，将其按任意顺序排放在书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率．解：设A={10卷文集按先后顺序排放}等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件

例11同时掷5颗骰子，试求下列事件的概率：

A={5颗骰子不同点}；

B={5颗骰子恰有2颗同点}；

C={5颗骰子中有2颗同点，另外3颗同是另一个点数}．等可能概型返回主目录第一章概率与随机事件例11（续）等可能概型返回主目录作业：第一章概率与随机事件二几何概型

几何概型考虑的是有无穷多个等可能结果的随机试验。首先看下面的例子。

例1(会面问题）甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。几何概型返回主目录第一章概率与随机事件解：以X,Y

分别表示甲乙二人到达的时刻，于是

即点M落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。012345yx54321.M(X,Y)第一章几何概型返回主目录二人会面的条件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-1第一章几何概型返回主目录

一般，设某个区域D(线段，平面区域，空间区域），具有测度mD(长度，面积，体积)。如果随机实验

E

相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为几何概型。第一章几何概型返回主目录

如果试验

E

是向区域内任意取点，事件A对应于点落在

D内的某区域

A，则

例2(蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是a(a>0)。向平面任意投一长为l(l<a)的针，试求针与一条平行线相交的概率。lMx解：设x是针的中点M到最近的平行线的距离，是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域D

取点的几何概型。M第一章几何概型返回主目录xDA0第一章几何概型返回主目录

思考题

1)某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不超过10分钟的概率。(1/6)2)在线段AD上任意取两个点B、C，在B、C处折断此线段而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率。(1/4)3)甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达，且每艘船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船。试求其中一艘船要等待码头空出的概率。(0.121)第一章几何概型返回主目录4)在区间(0,1)中随机地取两个数，求下列事件的概率：

(1)两个数中较小(大)的小于1/2；(3/4,1/4)(2)两数之和小于3/2；(7/8)(3)两数之积小于1/4。(0.5966)第一章概率论的基本概念几何概型返回主目录§1-6条件概率,事件的独立性一条件概率二乘法定理全概率公式和贝叶斯公式四事件的独立性目录索引第一章返回主目录一条件概率

条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件

A

已经发生的条件下事件B发生的概率。第一章条件概率返回主目录设A、B是某随机试验中的两个事件，且则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为引例盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放回地取两次．则该试验的所有可能的结果为

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球第一章条件概率返回主目录一条件概率设A={第一次取出球的标号为2}

B={取出的两球标号之和为4}下面我们考虑:已知第一次取出球的标号为2,求取出的两球标号之和为4的概率。由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为第一章条件概率返回主目录则事件B所含的样本点为

(1,3)(2,2)(3,1)因此事件B的概率为:即在事件A发生的条件下，事件B发生的概率：(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为

注：由引例可以看出，事件在“条件A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．且由于

第一章条件概率返回主目录故有称为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。

第一章条件概率

返回主目录设A、B是某随机试验中的两个事件，且则条件概率的定义条件概率的性质：第一章条件概率返回主目录二、缩小样本空间法--------适用于古典概型第一章条件概率返回主目录一、公式法条件概率的计算公式：设事件A所含样本点数为,事件AB所含样本点数为,则第一章已知A、B是两个事件，且例1解返回主目录第一章习题课例1续例2已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．解：设A={3个小孩至少有一个女孩}

B={3个小孩至少有一个男孩}第一章条件概率返回主目录S={男男男,男男女,男女男,男女女,女男男,女男女,女女男,女女女}方法一公式法：所以第一章条件概率返回主目录方法二缩小样本空间法S={男男男,男男女,男女男,男女女,女男男,女男女,女女男,女女女}二乘法公式由条件概率的计算公式

我们得这就是两个事件的乘法公式．第一章条件概率返回主目录两个事件的乘法公式多个事件的乘法公式则有这就是n个事件的乘法公式．第一章条件概率返回主目录例4（波伊亚罐子模型）袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球．求(1)前两次取出白球第三次取出黑球的概率;

(2)取了n次都未取出黑球的概率．则第一章条件概率返回主目录解：第一章条件概率返回主目录由乘法公式，我们有三、全概率公式和贝叶斯公式SB1B2Bn…...AB1AB2…...ABn

定义

设

S

为试验

E的样本空间，

为E的一组事件。若满足

(1)

(2)

则称

为

样本空间

S

的一个划分。

第一章返回主目录全概率公式：设随机事件满足：第一章返回主目录全概率公式和贝叶斯公式全概率公式的证明由条件：得而且由B1B2Bn…...AB1AB2…...ABnS第一章返回主目录全概率公式和贝叶斯公式全概率公式的证明（续）所以由概率的可列可加性，得代入公式（1），得第一章返回主目录全概率公式和贝叶斯公式全概率公式的证明思路总结：用样本空间的划分B1B2Bn…...AB1AB2…...ABnS第一章返回主目录1、划整为零：2、用乘法公式计算每部分的概率：全概率公式和贝叶斯公式全概率公式的使用我们把事件A看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则要计算结果A发生的概率就用全概率公式．第一章返回主目录（已知原因，求结果）全概率公式和贝叶斯公式常用的全概率公式有第一章返回主目录是样本空间

S

的一个划分。全概率公式和贝叶斯公式第一章返回主目录如果试验分两个步骤，每一步骤都有随机性。全概率公式和贝叶斯公式每一原因对结果的影响程度例6某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．第一章返回主目录分析：试验分两个步骤.全概率公式和贝叶斯公式例6某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．第一章返回主目录解：全概率公式和贝叶斯公式第一章返回主目录一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名,又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32由全概率公式，有全概率公式和贝叶斯公式第一章返回主目录思考：今随机选一人参加比赛,结果射中了目标，求该选手是一级选手的概率．前面的问题:今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．全概率公式和贝叶斯公式Bayes（逆概）公式：设随机事件满足全概率公式条件概率乘法定理则第一章返回主目录全概率公式和贝叶斯公式Bayes公式的使用我们把事件A看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，

如果已知事件A已经发生，要求此时是由第n个原因引起的概率，则用Bayes公式第一章返回主目录验前概率验后概率（已知结果，求原因）全概率公式和贝叶斯公式Bayes公式的使用

如果已知事件A已经发生，要求此时是由第n个原因引起的概率，则用Bayes公式第一章返回主目录（已知结果，求原因）全概率公式和贝叶斯公式例7用某种方法普查肝癌，设：

A={用此方法判断被检查者患有肝癌}，

D={被检查者确实患有肝癌}，已知2）已知

现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．第一章返回主目录（结果）（原因）1）求用此方法判断被检查者患有肝癌的概率；今随机选一人用此方法做肝癌检查.全概率公式和贝叶斯公式2）已知

现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．第一章返回主目录（结果:A）（原因:）1）求用此方法判断被检查者患有肝癌的概率；分析：今随机选一人用此方法做肝癌检查.全概率公式和贝叶斯公式指试验分两个步骤：第一步随机选一人，选到的人可能是真正患有肝癌，也可能是不患有肝癌；第二步用此方法判断被检查者患有肝癌。例7（续）解由已知，得第一章返回主目录1）由全概率公式，有全概率公式和贝叶斯公式例7（续）

第一章返回主目录2）由Bayes公式，得全概率公式和贝叶斯公式例8某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率

提供晶体管的份额10.02

0.1520.01

0.8030.03

0.05SB1B2B3A第一章全概率公式和贝叶斯公式

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。

解：设A=“取到的是一只次品”，Bi

(i=1,2,3)=“取到的产品是由第i家工厂提供的”,第一章例8（续）返回主目录全概率公式和贝叶斯公式（结果）（原因）元件制造厂次品率

提供晶体管的份额10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05第一章例8（续）返回主目录全概率公式和贝叶斯公式元件制造厂10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05A第一章例8（续）返回主目录全概率公式和贝叶斯公式第一章例8（续）返回主目录全概率公式和贝叶斯公式

有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率；（3）已知第一次取到的零件是一等品，求它是第一箱的零件的概率；例9返回主目录全概率公式和贝叶斯公式第一章

解：设Ai

表示“第i次取到一等品”(i=1,2)，返回主目录Bi

(i=1,2)表示“取到的是第i箱中的产品”,全概率公式和贝叶斯公式例9（续）1）由全概率公式，有第一章（结果）（原因）例9（续）返回主目录2）由全概率公式和条件概率公式，有第一章例9（续）返回主目录3）由贝叶斯公式，有第一章例10袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率。第一章返回主目录**解：设A={取出的球全是白球}全概率公式和贝叶斯公式则由Bayes公式，得第一章返回主目录例10（续）全概率公式和贝叶斯公式

例11对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？

机器调整得良好产品合格机器发生某一故障

第一章返回主目录全概率公式和贝叶斯公式解：第一章返回主目录作业：全概率公式和贝叶斯公式§1-6四.事件的独立性第一章

独立性返回主目录解决如下问题:在什么条件下,P(AB)=P(A)P(B).例1袋中有a只黑球，b只白球．每次从中取出一球，取后放回．令：

A={第一次取出白球}，

B={第二次取出白球}，求第一章

独立性返回主目录例1（续）第一章独立性返回主目录说明由例1,可知这表明，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是没有影响的，即事件A与B呈现出某种独立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变．由此，我们引出事件独立性的概念第一章独立性返回主目录或1.两事件独立的定义设A、B是两个随机事件，如果

则称A与B是相互独立的随机事件．两事件独立性的性质：则事件A与B相互独立的第一章独立性返回主目录充分必要条件为：1）如果第一章独立性故“A与B相互独立”，指A是否发生不影响B发生的概率。第一章独立性2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．可知必然事件S与任意事件A相互独立；

可知不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立.由证明：由3)若随机事件A与B相互独立，则也相互独立.解：为方便起见，只证相互独立.．第一章独立性返回主目录第一章独立性返回主目录注意1：两事件相互独立与互不相容的区别：“A与B互不相容”，指两事件不能同时发生(A与B没有公共样本点),即AB=Φ,

或P（AB）=0。“A与B相互独立”，指A是否发生不影响B发生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或注意2：设事件A与B满足：即：1)若事件A与B相互独立，则AB≠Φ；2)若AB=Φ，则事件A与B不相互独立。证明：第一章独立性返回主目录则互不相容与相互独立不能同时成立。2)由于AB=Φ，所以但是，由题设这表明，事件A与B不相互独立．第一章独立性因此，互不相容与相互独立不能同时成立。返回主目录由上面的讨论我们注意到下面的结论：第一章独立性返回主目录注意3：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。例1`（不独立事件的例子）袋中有a只黑球，b只白球．每次从中取出一球，取后不放回．令：

A={第一次取出白球}，

B={第二次取出白球}，则所以，第一章独立性返回主目录第一章独立性返回主目录因此这表明，事件A与事件B不相互独立．事实上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球