第二章-流体静力学课件

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一个水利工程中的例子来说明流体静力学的主要内容，水利工程中的挡水建筑物——坝、闸、堤等，经常处于静水的作用下，如大坝：

上游水压力P1，下游水压力P2，大坝自重G，扬压力P3，基础对大坝的摩擦力F。水平方向上：1一个水利工程中的例子来说明流体静力学的主要内12

流体静力学研究静止流体平衡的力学规律及其在工程技术上的应用。包括压强的分布规律和固体壁面受到的液体总压力。流体静力学的定义与研究对象①流体静压强的分布规律②与固壁之间的相互作用③静压强的测量④液体的相对平衡问题

其中绝对静止和相对静止具有共性：流体质点之间没有相对运动，流体的粘性作用表现不出来，作用在流体上的压力和质量力达到平衡。2流体静力学研究静止流体平衡的力学规律及其在工程23第一节流体静压强及其特性

静压强实例：①水淹到人体胸部时，呼吸困难；②水箱下部开孔，水就流出；③高山上大气压低，平地上大气压高。

静压强：当流体在平衡状态下，没有切应力，只有法向应力，法向应力与作用面相垂直，另外，流体只能承受压力而不能抵抗拉力。在流体力学中，把这个压应力称为静压强。静压强的单位：3第一节流体静压强及其特性静压强实例：34流体静压强基本特性特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。用反证法来证明此特性：取一块处于静止状态的流体，若作用面AB上的应力p’的方向向外且不垂直于AB，则可分解成法向应力pn和切向应力。4流体静压强基本特性特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线45静压强特性之一：静止流体只能承受压应力，即压强。其方向与作用面垂直，并指向流体内部。特性二：流体静压强与作用面在空间的方位无关P是空间坐标的函数（标量）5静压强特性之一：静止流体只能承受压应力，即压强。其方向与作56特性二的理论证明：下面对这一微元体进行受力分析：

在静止流体中任取一点O，以O为直角坐标的原点，取微元四面体OABC，边长分别为dx,dy,dz，如下图所示：6特性二的理论证明：下面对这一微元体进行受力分析：67OBC（左面）OAC（后面）OAB（下面）ABC（斜面）表面力

质量力

7OBC（左面）表面力质量力78表面力与质量力平衡

[ABC在x平面（yoz平面）上的投影]

（当四面体趋向于O点，dx,dy,dz趋向于零）8表面力与质量力平衡[ABC在x平面（yoz平面）上的投影89第二节流体的平衡微分方程式

上节课给出了压强为空间坐标的函数欧拉平衡微分方程

一、平衡微分方程式微元体的受力分析：表面力与质量力

9第二节流体的平衡微分方程式上节课给出了压910

微元体中心点A(x,y,z)点压强为p(x,y,z)，由于压强是坐标的连续函数，则左、右两个面形心处的压强分别为：B：C：以上写法的依据是：泰勒级数的展开

其中，是压强在x方向的变化率，可以认为作用在中心点处的压强就是所在面上的平均压强，这二个面上的压力：左：右：合力：10微元体中心点A(x,y,z)点压强为p(x,y,z1011质量力：表面力与质量力平衡

欧拉平衡微分方程11质量力：表面力与质量力平衡欧拉平衡微分方程1112将欧拉平衡方程式各项分别乘以dx,dy,dz，然后相加得：欧拉平衡方程式的综合表达式或者压强差公式二、质量力的势函数

12将欧拉平衡方程式各项分别乘以dx,dy,dz，然后相加得1213质量力的分量=函数U的偏导数

U称为质量力的势函数，存在U的质量力称为有势的质量力。不可压缩流体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡。于是压强差公式为：例：求重力场中只受重力的平衡流体的质量力势函数。13质量力的分量=函数U的偏导数U称为质量力的势1314势函数U的物理意义

mgz代表质量为m的物体在基准面上高度为z时的位置势能，质量力势函数U=gz的物理意义是单位质量物体在基准面上高度为时所具有的势能。三、等压面1.等压面：流场中压强相等的点组成的平面或曲面。等压面的微分方程

14势函数U的物理意义mgz代表质量为m的物体在基准14152.等压面的性质①等压面就是等势面

②等压面与质量力垂直

证:在等压面上任取一微元段单位质量力:两者点乘:质量力垂直于等压面152.等压面的性质①等压面就是等势面②等压面与质量1516③两种互不相混的流体平衡时，交界面必是等压面

证：在一个密封容器中，两种液体，在分界面上任取二点AB，则这二点的压差为dp，势差为dU，则可写出以下二式：只有等dp和dU均为零时方程才成立，即交界面a-a是等压面。16③两种互不相混的流体平衡时，交界面必是等压面证：在一1617第三节流体静力学基本方程式

主要探讨绝对静止的流体，即流体在重力作用下的压强、压力计算。一、方程的推导如图所示，液体所受的单位质量力为：

17第三节流体静力学基本方程式主要探讨绝对静止的流1718流体静力学基本方程式：公式说明：静止流体中任一点的总是常数。适用条件：绝对静止、连续、均质、不可压缩18流体静力学基本方程式：公式说明：静止流体中任一点适用条件1819二、静力学基本方程的意义1.物理意义

物理意义：静止流体中各点的单位重量流体的总势能保持不变

压强势能：容器内的液体将在压强p的作用下，在测压管中上升一定的高度。在液柱上升过程中，压差克服液柱的重力作功，增加了液柱的位能，其大小等于h。19二、静力学基本方程的意义1.物理意义物理意义：静止流19202.几何意义

与单位量纲为[长度]并可用某一线段来表示，称为水头测压管水头位置水头压强水头几何意义：静止流体中各点的测压管水头都相等，测压管水头线为一水平线。202.几何意义与单位量纲为[长度]并可用某一线段来表示2021三、静压强的计算

静压强计算公式：

液面底面重力

液体内部所有各点的压强p，等于液面压强p0和液体自重引起的压强之和。帕斯卡定律21三、静压强的计算静压强计算公式：液面2122第四节压强的表示与测量

一、压强的表示方法1.绝对压强：以完全真空为基准计量的压强2.计示压强（相对压强）：以当地大气压为基准计量的压强3.真空度在数值上等于负的计示压强

22第四节压强的表示与测量一、压强的表示方法1.绝对压2223绝对压强、计示压强、真空度用图表示：真空度当地大气压计示压强23绝对压强、计示压强、真空度用图表示：真空度当地23244.静压强的计量单位①应力单位（帕斯卡）

②液柱高单位（m）1工程大气压对应：③大气压单位(bar)二、液柱式测压计流体压强的测量仪表主要有三种：金属式、电测式、液柱式测压管、型测压计、型管差压计、倾斜式微压计、补偿式微压计244.静压强的计量单位①应力单位（帕斯卡）②液柱2425测压管测压管为一细玻璃管，内径约为约为10mm。测压管测量的大气压范围为0.1-0.2个大气压，只能测量低压，但精度相对较高。25测压管测压管为一细玻璃管，内径约为约为10mm。测压管测2526U型测压计26U型测压计2627U型管差压计27U型管差压计2728倾斜式微压计28倾斜式微压计2829三、国际标准大气

大气层中的压强与与密度、温度的变化有关，而且受到季节、时间、气候等因素的影响。世界各地的大气压强分布是不同的。在气象、航空等计算时，为了统一标准，国际上约定了一种大气压强、密度和温度随海拔高度变化的规律，这就是国际标准大气。1.基准国际标准大气取海平面为基准面，在基准面上的大气参数为：

2.对流层（11公里）

3.同温层（11-25公里）

29三、国际标准大气大气层中的压强与与密度、温度的变化2930第五节液体的相对平衡分别讨论容器作匀加速直线运动和等角速度回转运动两种相对平衡情况一、容器的等加速直线运动液体在图示位置状态下达到平衡，将坐标系取在容器上，原点可取在液面的中点，我们可以利用达朗贝尔原理，作为平衡问题来处理。30第五节液体的相对平衡分别讨论容器作匀加速直线运动和等30311.等压面将单位质量分力代入等压面微分方程

直线斜率积分：等压面是一族与水平面成角的平面。2．静压强分布规律将单位质量分力代入压强差公式积分311.等压面将单位质量分力代入等压面微分方程直线斜率积分3132边界条件：x=0,z=0,p=p0以上是普遍的情况，在实际应用中常遇到下面两种特例:

①容器沿水平面作等加速直线运动32边界条件：x=0,z=0,p=p0以上是普遍的情况，在实3233公式和重力流体静压强分布规律形式是一样的。所不同的是两种情况的自由液面一个是水平面，另一个是斜面。H为淹没深度。②

容器沿铅直方向向下作匀加速直线运动33公式和重力流体静压强分布规律形式是一样的。所不同的是两种3334此时与绝对静止相比，液体中压力减小，这就是“失重”现象。如果容器向上作匀加速运动，则出现“超重现象”。34此时与绝对静止相比，液体中压力减小，这就是“失重”现象。3435二、容器作等角速度回转运动单位质量力1.等压面方程将单位质量力代入等压面方程中35二、容器作等角速度回转运动单位质量力1.等压面方程将3536等压面是一族绕z轴旋转的抛物面。自由液面方程为R=0,z=0,c=02.静压强分布规律将单位质量分力代入压强差公式中36等压面是一族绕z轴旋转的抛物面。自由液面方程为R=03637下面讨论两个特例①容器盛满液体，顶盖中心接触大气，求顶盖处的压强分布②容器盛满液体，顶盖边缘接触大气，求顶盖处的压强分布37下面讨论两个特例①容器盛满液体，顶盖中心接触大气，求3738

383839对于①有：顶盖的限制，液体不能形成自由回转抛物面，但液体中各点的压强分布规律和前面是相同的，顶盖处的压强分布见图对于②有：顶盖处的计示压强为顶盖内作用着向下的吸力39对于①有：顶盖的限制，液体不能形成自由回转抛物面，但液体3940例题：盛有水的圆筒形容器以角速度绕垂直轴旋转，试求当为何值时，恰巧露出筒底。解：恰巧露出筒底时自由表面方程为旋转液面以下的体积=圆柱体体积另外：旋转体体积=相应柱体体积的一半40例题：盛有水的圆筒形容器以角速度绕垂直轴旋转，试求当为何4041第六节静止液体的总压力静水奇象总压力大小与容器的形状无关，液体作用在容器上的总压力与容器所盛液体的重量不是一回事。一.作用在任意平面上的总压力

41第六节静止液体的总压力静水奇象总压力大小与容器的形状4142任意形状的平面ab,面积为A，倾角为1.总压力的大小面积A对于ox轴的面积矩：42任意形状的平面ab,面积为A，倾角为1.总压力的大小面4243作用在平面上的总压力P等于平面形心处的压强乘以平面的面积A2.总压力的方向总压力的方向垂直指向作用面3.总压力的作用点总压力的作用点称为压力中心可以由合力矩定理求出。合力矩定理：合力对某轴的力矩=各分力对同一轴的力矩之和。代入：43作用在平面上的总压力P等于平面形心处的压强乘以平面的面4344是面积A对ox轴的惯性矩Ix。压力中心永远在形心的下方。同理可求出XD,但是由于一般情况下平面都是关于x轴对称的。44是面积A对ox轴的惯性矩Ix。压力中心永远在形心的下方。44454.两种最简单的情况时总压力的求法①水平平面：水箱底面，面积A，水深h。方向向下，作用点底面的形心②垂直平面：设平面为矩形，平面顶部同液面齐平454.两种最简单的情况时总压力的求法①水平平面：水箱4546注意：在求解液体在倾斜平面的作用时，xoy平面指的是ab所在的平面，而坐标原点O为平面ab（延长线）与水平面（液面）的交点。例如：课后题2-19，在求解的过程中必须注意。二.作用在任意曲面（二维）上的总压力

只讨论工程上常见的二向曲面，如图ab曲面，面积为A46注意：在求解液体在倾斜平面的作用时，xoy平面指的是ab4647对于曲面，我们采用数学上的方法，取一个微元面积dA，把这个微元面积作为平面处理。1.力的大小47对于曲面，我们采用数学上的方法，取一个微元面积dA，把这4748为图中一小条的体积。

：是曲面ab上的体积（图中阴影部分体积abcd），为压力体。2.压力作用点①Px的求法和前面平面压力中的求法相同。48为图中一小条的体积。：是曲面ab4849②Pz的大小等于曲面上液体的重量。其作用点为曲面上液体的重心。总压力的作用点是通过作一条与垂线成的角的线与曲面ab的交点便是总压力的作用点见图中点D。3.压力体压力体是从此积分时获得的。它是一个纯数学的的概念，即压力体中有无液体，压力体还是相同的。49②Pz的大小等于曲面上液体的重量。其作用点为曲面上液体4950这二个曲面的压力体是完全相等的，为了区别我们称有液体的压力体为实压力体，没有液体的压力体为虚压力体，并用实阴影线表示实压力体，虚线表示虚压力体。50这二个曲面的压力体是完全相等的，为了区别我们称有液体的压5051阿基米德定律例题：如图所示的贮水容器，其壁面上有三个半球形的盖，设d=0.5m，h=1.5m,H=2.5m,求作用在每个盖上的液体总压力大小。51阿基米德定律例题：如图所示的贮水容器，其壁面上有三个半5152盖子1：盖子2：盖子3：52盖子1：盖子2：盖子3：5253

一个水利工程中的例子来说明流体静力学的主要内容，水利工程中的挡水建筑物——坝、闸、堤等，经常处于静水的作用下，如大坝：

上游水压力P1，下游水压力P2，大坝自重G，扬压力P3，基础对大坝的摩擦力F。水平方向上：1一个水利工程中的例子来说明流体静力学的主要内5354

流体静力学研究静止流体平衡的力学规律及其在工程技术上的应用。包括压强的分布规律和固体壁面受到的液体总压力。流体静力学的定义与研究对象①流体静压强的分布规律②与固壁之间的相互作用③静压强的测量④液体的相对平衡问题

其中绝对静止和相对静止具有共性：流体质点之间没有相对运动，流体的粘性作用表现不出来，作用在流体上的压力和质量力达到平衡。2流体静力学研究静止流体平衡的力学规律及其在工程5455第一节流体静压强及其特性

静压强实例：①水淹到人体胸部时，呼吸困难；②水箱下部开孔，水就流出；③高山上大气压低，平地上大气压高。

静压强：当流体在平衡状态下，没有切应力，只有法向应力，法向应力与作用面相垂直，另外，流体只能承受压力而不能抵抗拉力。在流体力学中，把这个压应力称为静压强。静压强的单位：3第一节流体静压强及其特性静压强实例：5556流体静压强基本特性特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。用反证法来证明此特性：取一块处于静止状态的流体，若作用面AB上的应力p’的方向向外且不垂直于AB，则可分解成法向应力pn和切向应力。4流体静压强基本特性特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线5657静压强特性之一：静止流体只能承受压应力，即压强。其方向与作用面垂直，并指向流体内部。特性二：流体静压强与作用面在空间的方位无关P是空间坐标的函数（标量）5静压强特性之一：静止流体只能承受压应力，即压强。其方向与作5758特性二的理论证明：下面对这一微元体进行受力分析：

在静止流体中任取一点O，以O为直角坐标的原点，取微元四面体OABC，边长分别为dx,dy,dz，如下图所示：6特性二的理论证明：下面对这一微元体进行受力分析：5859OBC（左面）OAC（后面）OAB（下面）ABC（斜面）表面力

质量力

7OBC（左面）表面力质量力5960表面力与质量力平衡

[ABC在x平面（yoz平面）上的投影]

（当四面体趋向于O点，dx,dy,dz趋向于零）8表面力与质量力平衡[ABC在x平面（yoz平面）上的投影6061第二节流体的平衡微分方程式

上节课给出了压强为空间坐标的函数欧拉平衡微分方程

一、平衡微分方程式微元体的受力分析：表面力与质量力

9第二节流体的平衡微分方程式上节课给出了压6162

微元体中心点A(x,y,z)点压强为p(x,y,z)，由于压强是坐标的连续函数，则左、右两个面形心处的压强分别为：B：C：以上写法的依据是：泰勒级数的展开

其中，是压强在x方向的变化率，可以认为作用在中心点处的压强就是所在面上的平均压强，这二个面上的压力：左：右：合力：10微元体中心点A(x,y,z)点压强为p(x,y,z6263质量力：表面力与质量力平衡

欧拉平衡微分方程11质量力：表面力与质量力平衡欧拉平衡微分方程6364将欧拉平衡方程式各项分别乘以dx,dy,dz，然后相加得：欧拉平衡方程式的综合表达式或者压强差公式二、质量力的势函数

12将欧拉平衡方程式各项分别乘以dx,dy,dz，然后相加得6465质量力的分量=函数U的偏导数

U称为质量力的势函数，存在U的质量力称为有势的质量力。不可压缩流体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡。于是压强差公式为：例：求重力场中只受重力的平衡流体的质量力势函数。13质量力的分量=函数U的偏导数U称为质量力的势6566势函数U的物理意义

mgz代表质量为m的物体在基准面上高度为z时的位置势能，质量力势函数U=gz的物理意义是单位质量物体在基准面上高度为时所具有的势能。三、等压面1.等压面：流场中压强相等的点组成的平面或曲面。等压面的微分方程

14势函数U的物理意义mgz代表质量为m的物体在基准66672.等压面的性质①等压面就是等势面

②等压面与质量力垂直

证:在等压面上任取一微元段单位质量力:两者点乘:质量力垂直于等压面152.等压面的性质①等压面就是等势面②等压面与质量6768③两种互不相混的流体平衡时，交界面必是等压面

证：在一个密封容器中，两种液体，在分界面上任取二点AB，则这二点的压差为dp，势差为dU，则可写出以下二式：只有等dp和dU均为零时方程才成立，即交界面a-a是等压面。16③两种互不相混的流体平衡时，交界面必是等压面证：在一6869第三节流体静力学基本方程式

主要探讨绝对静止的流体，即流体在重力作用下的压强、压力计算。一、方程的推导如图所示，液体所受的单位质量力为：

17第三节流体静力学基本方程式主要探讨绝对静止的流6970流体静力学基本方程式：公式说明：静止流体中任一点的总是常数。适用条件：绝对静止、连续、均质、不可压缩18流体静力学基本方程式：公式说明：静止流体中任一点适用条件7071二、静力学基本方程的意义1.物理意义

物理意义：静止流体中各点的单位重量流体的总势能保持不变

压强势能：容器内的液体将在压强p的作用下，在测压管中上升一定的高度。在液柱上升过程中，压差克服液柱的重力作功，增加了液柱的位能，其大小等于h。19二、静力学基本方程的意义1.物理意义物理意义：静止流71722.几何意义

与单位量纲为[长度]并可用某一线段来表示，称为水头测压管水头位置水头压强水头几何意义：静止流体中各点的测压管水头都相等，测压管水头线为一水平线。202.几何意义与单位量纲为[长度]并可用某一线段来表示7273三、静压强的计算

静压强计算公式：

液面底面重力

液体内部所有各点的压强p，等于液面压强p0和液体自重引起的压强之和。帕斯卡定律21三、静压强的计算静压强计算公式：液面7374第四节压强的表示与测量

一、压强的表示方法1.绝对压强：以完全真空为基准计量的压强2.计示压强（相对压强）：以当地大气压为基准计量的压强3.真空度在数值上等于负的计示压强

22第四节压强的表示与测量一、压强的表示方法1.绝对压7475绝对压强、计示压强、真空度用图表示：真空度当地大气压计示压强23绝对压强、计示压强、真空度用图表示：真空度当地75764.静压强的计量单位①应力单位（帕斯卡）

②液柱高单位（m）1工程大气压对应：③大气压单位(bar)二、液柱式测压计流体压强的测量仪表主要有三种：金属式、电测式、液柱式测压管、型测压计、型管差压计、倾斜式微压计、补偿式微压计244.静压强的计量单位①应力单位（帕斯卡）②液柱7677测压管测压管为一细玻璃管，内径约为约为10mm。测压管测量的大气压范围为0.1-0.2个大气压，只能测量低压，但精度相对较高。25测压管测压管为一细玻璃管，内径约为约为10mm。测压管测7778U型测压计26U型测压计7879U型管差压计27U型管差压计7980倾斜式微压计28倾斜式微压计8081三、国际标准大气

大气层中的压强与与密度、温度的变化有关，而且受到季节、时间、气候等因素的影响。世界各地的大气压强分布是不同的。在气象、航空等计算时，为了统一标准，国际上约定了一种大气压强、密度和温度随海拔高度变化的规律，这就是国际标准大气。1.基准国际标准大气取海平面为基准面，在基准面上的大气参数为：

2.对流层（11公里）

3.同温层（11-25公里）

29三、国际标准大气大气层中的压强与与密度、温度的变化8182第五节液体的相对平衡分别讨论容器作匀加速直线运动和等角速度回转运动两种相对平衡情况一、容器的等加速直线运动液体在图示位置状态下达到平衡，将坐标系取在容器上，原点可取在液面的中点，我们可以利用达朗贝尔原理，作为平衡问题来处理。30第五节液体的相对平衡分别讨论容器作匀加速直线运动和等82831.等压面将单位质量分力代入等压面微分方程

直线斜率积分：等压面是一族与水平面成角的平面。2．静压强分布规律将单位质量分力代入压强差公式积分311.等压面将单位质量分力代入等压面微分方程直线斜率积分8384边界条件：x=0,z=0,p=p0以上是普遍的情况，在实际应用中常遇到下面两种特例:

①容器沿水平面作等加速直线运动32边界条件：x=0,z=0,p=p0以上是普遍的情况，在实8485公式和重力流体静压强分布规律形式是一样的。所不同的是两种情况的自由液面一个是水平面，另一个是斜面。H为淹没深度。②

容器沿铅直方向向下作匀加速直线运动33公式和重力流体静压强分布规律形式是一样的。所不同的是两种8586此时与绝对静止相比，液体中压力减小，这就是“失重”现象。如果容器向上作匀加速运动，则出现“超重现象”。34此时与绝对静止相比，液体中压力减小，这就是“失重”现象。8687二、容器作等角速度回转运动单位质量力1.等压面方程将单位质量力代入等压面方程中35二、容器作等角速度回转运动单位质量力1.等压面方程将8788等压面是一族绕z轴旋转的抛物面。自由液面方程为R=0,z=0,c=02.静压强分布规律将单位质量分力代入压强差公式中36等压面是一族绕z轴旋转的抛物面。自由液面方程为R=08889下面讨论两个特例①容器盛满液体，顶盖中心接触大气，求顶盖处的压强分布②容器盛满液体，顶盖边缘接触大气，求顶盖处的压强分布37下面讨论两个特例①容器盛满液体，顶盖中心接触大气，求8990

389091对于①有：顶盖的限制，液体不能形成自由回转抛物面，但液体中各点的压强分布规律和前面是相同的，顶盖处的压强分布见图对于②有：顶盖处的计示压强为顶盖内作用着向下的吸力39对于①有：顶盖的限制，液体不能形成自由回转抛物面，但液体9192例题：盛有水的圆筒形容器以角速度绕垂直轴旋转，试求当为何值时，恰巧露出筒底。解：恰巧露出筒底时自由表面方程为旋转液面以下的体积=圆柱体体积另外：旋转体体积=相应柱体体积的一半40例题：盛有水的圆筒形容器以角速度绕垂直轴旋转，试求当为何9293第六节静止液体的总压力静水奇象总压力大小与容器的形状无关，液体作用在容器上的总压力与容器所盛液体的重量不是一回事。一.作用在任意平面上的总压力

41第六节静止液体的总压力静水奇象总压力大小与容器的形状9394任意形状的平面ab,面积为A，倾角为1.总压力的大小面积A对于ox轴的面积矩：42任意形状的平面ab,面积为A，倾角为1.总压力的大小面9495作用在平面上的总