人教A版必修二立体几何中的三类角的求解基础练

立体几何中的三类角的求解专基础练习一、线线角1.如图，在正方体

中，E，F分别是

的中点，则异面直线

AE与

BF所成角的余弦值为

___________．DCABMC1D1NA1B11题图2题图3题图2.如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，若，则异面直线和所成角为___________．3.如图，线段AB的两端在直二面角l的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角（）A．30°B．45°C．60°D．75°如图，在周围体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（）A．90°B．45°C．60°D．30°CEBDFA4题图5题图5.★已知，，，是空间不共面的四个点，且，，则直线与（）A．垂直B．平行C．订交D．地址关系不确定6.将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是（）A．45°B．30°C．60°D．90°7.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9，底面是边长为3的正三角形．若4P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为___________．7题图8题图10题图8.如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧面底面ABCD，，，则异面直线PB与AC所成的角为___________．9.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________．10.如图，在直三棱柱中，，ACBC1，则异面直线与AC所成角的余弦值是______．二、线面角11.在正方体中，直线与所成角大小为___________．12.已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值为___________．13.在长方体中，，，则直线与平面所成角的余弦值等于______．14.如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是___________．14题图15题图16题图15.如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为___________．16.如图，在矩形ABCD中，，将沿折起，使得D折起的地址为，且在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线与平面ABC所成角的正弦值为___________．17.如图，在三棱锥中，底面ABC为等边三角形，，，平面平面ABC，则SC与平面ABC所成角的大小是______．17题图18题图19题图18.如图，二面角的大小是，线段，AB与l所成的角为则AB与平面所成的角的正弦值是______．19.★在三棱锥中，平面，，，则直线与平面所成角的大小为__________．三、面面角20.如图，锐二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________．SBCA20题图21题图21.在三棱锥

中，

平面

，已知

，则二面角的平面角是

___________．正四棱锥(极点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为___________．23.在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为___________．24.以下列图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成周围体A-BCD,则在周围体A-BCD中,以下说法正确的选项是（）A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABD等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．如图，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为___________．26题图

27题图27.三棱锥

的两侧面

PAB、PBC都是边长为

2的正三角形，

，则二面角的大小为___________．立体几何中的各样角的求解专练（答案）一、线线角1.如图，在正方体中，E，F分别是的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为DA．B．C．D．2.如图，在长方体中，、分别是棱、DC的中点，若，则异面直线和所成AB角为(D)M1D1CNA．B．C．D．A1B1【剖析】∵M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，∴MN∥AD1，∵∠CMN=90°，∴CM⊥MN，∴CM⊥AD1，由长方体的几何特色,我们可得CD⊥AD1，∴AD1⊥平面CDM，故AD1⊥DM即异面直线AD1与DM所成的角为90°3.线段

AB的两端在直二面角

l

的两个面内，并与这两个面都成

30°角，则异面直线AB与

l所成的角是

(

B)A．30°B．45°C．60°D．75°【剖析】设AB=a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，则AA′⊥β，连A′B，则∠ABA′=30°．在Rt△AA′B中，AB=a，所以AA′=a．同理作BB′⊥l于B′，连AB′，则∠BAB′=30°，所以BB′=，′=，所以′′=′′，aABaAB=a过B作BCA′B．′连接A′C，则A′CBB′，连接AC，在Rt△AA′C中，AC=′′=a．由BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，且AC=BC，所以∠ABC=45°，为l与AB所成角．如图，在周围体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(D)CEBDFAA．90°B．45°C．60°D．30°【剖析】设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，三角形ACD的中位线．则GFAB，且GF11AB1，GECD，且GECD2，22则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EFAB，GFAB，EFGF则GEF为直角三角形，GF1，GE2，GFE90则在直角GEF中，sinGEF130．GEF25.★已知，，，是空间不共面的四个点，且，，则直线与（A）．A．垂直B．平行C．订交D．地址关系不确定【剖析】过点作平面，垂足为．∵，由三垂线定理可得．同理，，所以．6.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9，底面是边长为3的4正三角形．若P为底面A111的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为BC(B)A．75°B．60°C．45°D．30°【剖析】以下列图，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3，则S＝3×3)2＝33，VABC-A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝．(44又AO＝33＝，∴tan∠＝PO3，∴∠＝°．31PAOA0PAO607.将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是(D)A．45°B．30°C．60°D．90°8.如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧面底面ABCD，，，则异面直线PB与AC所成的角为CA．B．C．D．【剖析】由题意：底面ABCD为正方形，平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，，，，．是平行四边形，，所以MCA就是异面直线PB与AC所成的角．设，在三角形ACM中，，，三角形ACM是等边三角形．所以MCA等于，即异面直线PB与AC所成的角为．9.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为CA．B．C．D．10.如图，在直三棱柱中，，ACBC1，则异面直线与AC所成角的余弦值是______．【答案】二、线面角11.如图，在正方体中，直线与所成角大小为_____【答案】12.已知长方体中，，，则直线和平面所成角的正弦值为CA．B．C．D．13.在长方体中，，，则直线与平面所成角的余弦值等于______．【答案】14.如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（A）A．B．C．D．15.如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为AA．B．C．D．【剖析】解：面底面BCD，，取DB中点O，则面BCD，就是直线

AC与底面

BCD所成角．，，

，

，在中，在中，16.如图，在矩形ABCD中，在平面ABC的射影恰好落在

，．直线AC与底面BCD所成角的大小为．，将沿折起，使得D折起的地址为AB上，则直线与平面ABC所成角的正弦值为

B

，且A．

B．

C．

D．17.

【剖析】设在平面ABC的射影为O，则又因为，所以平面，，即，，，在直角三角形中由等面积可得：，直线与平面ABC所成角的正弦值为．如图，在三棱锥中，底面ABC为等边三角形，面ABC，则SC与平面ABC所成角的大小是______．【答案】

，即，，，平面

，

平【剖析】取AB的中点O，连接SO，CO，底面ABC为等边三角形，，，，面平面ABC，平面ABC，即是SC与平面ABC所成的角，，，，，，则直角三角形SOC中，，则，故答案为：．18.如图，二面角的大小是，线段，AB与l所成的角为则AB与平面所成的角的正弦值是______．【答案】【剖析】过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线垂足为D连接AD，有三垂线定理可知ADBD，故ADC为二面角的平面角，为又由已知，连接，则ABC为AB与平面所成的角CB设，则，；故答案为．19.★在三棱锥中，平面，，，则直线与平面所成角的大小为__________．【答案】【剖析】作AD⊥PC，连接BD，∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∵AD?平面PAC，∴BC⊥AD，∵AD⊥PC，BC∩PC＝C，∴AD⊥平面PBC，∴∠ABD为AB与平面PBC所成角，在直角△PAC中，由等面积可得AD＝＝，在直角△ADB中，sin∠ABD＝＝=，∠ABD=∴AB与平面PBC所成的角为，故答案为：．三、面面角20.如图，锐二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则锐二面角

的平面角的余弦值是

BA．

B．

C．

D．【剖析】过B点作，，是二面角，，

．

，且，的平面角，且

．

面DBE，

，

，

．．21.在三棱锥中，平面，已知，则二面角的平面角是（D）A．

B．

C．

D．【剖析】因为

平面

?平面

，∠

即为二面角的平面角，又直角三角形，∠，二面角

，所以，故的平面角是．

为正四棱锥(极点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°23.在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(C)A．30°B．60°C．90°D．120°【剖析】如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝2．∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝2，且CM⊥BM，AM⊥BM，2∴∠CMA

为二面角

C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝MA＝

2，∴MC2＋MA2＝AC2，∴∠CMA＝90°．224.以下列图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成周围体A-BCD,则在周围体A-BCD中,以下说法正确的选项是(D)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABD【剖析】因为ADBC,ADAB,BCD45,BAD90，所以ABDADB45，所以BDC90，所以BDCD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCDBD,CD平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又CD平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABD．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．【答案】【剖