浅谈中学数学中函数极限的求法

新疆师范大学数理信息学院2009届数学专业毕业论文———————————————————————————————————————————————————————PAGEPAGE15浅谈中学数学中的函数极限樊金伟新疆师范大学数理信息学院数学与应用数学05-2班摘要：本文在分析函数极限背景的基础之上,探讨了导数函数极限在中学数学中的八个求法：利用函数连续性求极限；利用四则运算法则求极限；利用无穷小量的性质求极限；利用导数定义求极限换元转化求极限；利用左、右极限判断与求分段函数在间断点处的极限；对“”,“”“”型求极限；已知函数的极限，球参数的值与取值范围。关键词：极限；连续；方法；函数极限。OnthefunctionofsecondaryschoolstudentsinthelimitFanjinweiClass05-1,MathApplicationMath,SchoolofMath-PhysicsinformationScience,XinjiangAbstract:Basedontheanalysisfunctionbasedonthelimitsofthebackground,Derivativefunctionofthelimitsofmathematicsinsecondaryschoolsineightmethod:

Ordertolimittheuseofacontinuousfunction;theuseoffouralgorithmsforthelimit;theuseofinfiniteordertolimitthenatureofasmallamount;theuseofderivativeelementforthedefinitionofthelimitorderintothelimitorder;theuseofleftandrightanddemandtodeterminethelimitsofsub-functioninthediscontinuouspointlimit;of"0/0""∞/∞""∞-∞"demand-basedlimit;knownfunctionofthelimitsoftheballandthevalueoftheparameterrange.

Keywords:limit;Continuous;method;functionlimit.浅谈中学数学中的极限0、引言《高等数学》是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科。函数极限理论和求函数极限的方法在这门课程中占为极其重要的地位,许多重要的概念如连续、导数、定积分等等都是由函数极限定义的。因此,函数极限运算是高等数学的基本运算。由于函数极限定义的高度抽象,致使我们很难用函数极限定义本身去求极限。这就使得我们必须要掌一些求函数极限的方法和技巧。函数极限运算的方法十分繁多,针对这种情况,本文根据我在高中及大学的学习以及实习教学中积累的资料,通过例题归纳和总结常见的求函数极限的方法,希望对教与学双方都有一定的参考价值。1、函数极限的意义研究函数极限的意义在于：极限是学习微积分的基础，是整个高等数学的基础，因而极限掌握的好坏直接影响到以后的学习。在高中阶段极限主要包括两大类:数列的极限和函数的极限。其中函数的极限更为重要。函数的极限是高中数学中学习导数的基础,由于它是同高等数学关连紧密的内容，所以在学习时有一定的难度。下面结合高考函数极限常见问题，谈一下函数极限我们常遇到的问题的类型。并给出相应解题策略。2、函数极限的概念、性质、及预备知识2.1函数极限的相关概念：2.1.1当时，函数的极限：当自变量取正值并且无限增大时，如函数无限趋近于一个常数，就说当趋近正无穷大时，函数的极限是，记作。也可记作当时，当自变量取负值并且无限增大时，如函数无限趋近于一个常数，就说当趋近负无穷大时，函数的极限是，记作。也可记作当时，如，就说当趋近无穷大时，函数的极限是，记作。也可记作当时， 2.1.2当时，函数的极限当自变量无限趋近于某一个常数（）时，如函数无限趋近于一个常数，就说当趋于时，函数的极限是，记作。也可记作当时，。其中叫做函数在处的极限。2.1.3函数的左、右极限如果当从点左侧无限趋近于时，函数无限趋近于常数，就说是函数在处的左极限，记作。如果当从点右侧无限趋近于时，函数无限趋近于常数，就说是函数在处的右极限，记作。2.2函数极限的四则用算法则：设则：注：应用函数极限的运算法则应注意以下几个问题1使函数的极限存在且使每个式子有意义2四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个。2.3连续函数的定义及性质2.3.1连续函数的定义：如果函数在点处及其附近有定义，而且，则称函数在点处连续。如函数在点右侧有定义，而且，那么就说函数在点处右连续。如函数在点左侧有定义，而且，那么就说函数在点处左连续。2.3.2连续函数的性质：1如果为在闭区间[a,b]上的连续函数，那么在区间[a,b]上有最大（小）值。【最大（小）值定理】2如果函数、在某一点处连续，那么函数在处连续。3、函数极限的的求法求数列和函数的极限是数学分析的基本运算之一。求极限除了要掌极限的概念、极限四则运算法则、极限和无穷小量的关系、初等函数的连续性、导数等知识外,有必要掌握和运用一些方法与技巧。下面结合高考中有关极限的常见问题,谈一下我们常遇到的有关极限问题的类型.并给出相应解题策略。3.1利用函数连续性求极限利用函数的连续性求函数的极限包括若函数在点连续，则有及若且在点连续,则2.1.1求解析：由于=1/4及函数在u=1/4处连续，故==2.1.2（2000年高考题）求极限分析：因为是初等函数，为的定义区间上的一点，则在点处连续。所以有解：=2.1.3求分析：由于函数在处连续，所以，该极限的根据函数连续求解解：=2.1.4求分析：因为函数在其定义域上连续，所以有解：==2.1.5求分析：因为为初等函数，所以在其定义域上都连续，有连续函数的性质可以求解解：因为=所以3.2利用四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到运用极限的四则运算法则来计算极限。3.2.1求分析：该函数可看作是两个函数的和。而对于函数是分式函数，分子、分母都是多项式函数，并且当自变量时，分子、分母的最高次都是二次。对于函数，当时，，故。因此只须再利用和的此极限。解：==-5+1=-4 3.2.2求分析：该式属于“”型，不能直接用四则运算法则。通常先对解析式进行通分，然后再求极限解：=3.2.3求分析：当时，均为初等函数，在点都连续，所以可用四则运算法则求解解：3.3利用无穷小量的性质求极限性质：1、有限个无穷小量的代数合是无穷小量2、有限个无穷小量之积是无穷小量3、任意常数与无穷小量之积是无穷小量4、无穷小量与有界量之积是无穷小量3.3.1分析：设当时，是无穷小量，由于，所以g(x)是有界函数，利用无穷小量的第4条性质即可求得该极限。解：=03.3.2分析：因为并且所以由第4条性质即可求得该极限。解3.3.3求分析：因为并且所以由第2、4条性质即可求得该极限。解：3.3.4求分析：因为并且当时，有所以注意：此时不能写成：因为只有当都存在时，才有成立。2.4利用导数定义求极限若函数f(x),g(x)满足条件（1）（2）f(x),g(x)在点的某个邻域内（点可除外）可导，且（3）则 利用导数求极限的时候要注意一下几点：自变量的趋向可以是趋近于一个常数，也可以是趋近于无穷大对于“0/0”或“∞/∞”未定型的极限，可对分子、分母分别求极限（洛必达法则）。每次使用该法则时，必须检查所求的函数极限是否为“0/0”或“∞/∞”未定型。如果仍是“0/0”或“∞/∞”未定型，则可以继续使用洛必达法则。如果不存在且不是∞，并不表明不存在，只表明洛必达法则失效，这时应改用其它的方法来求该极限。2.4.1求分析：当时，与的极限都趋近于0，而且对分母求导不为0。所以可以考虑用导数法求极限。解：2.4.2求解：2.4.3分析:对具有或形式的极限，可以由导数的定义来进行计算。解：=2.4.4设在处可导，求解：由导数的定义得=2.5换元转化求极限这种类型是当函数解析式比较复杂时,可以通过换元来化简解析式,一样达到求极限的目的.3.5.1：求分析：因为且如若对分母“有理化”，则运算较复杂，所以可以采取“换元转化”的方法求解。解：令，当时有。则2.5.2求极限分析：因为且如若对分母“有理化”，则运算较复杂，想不较之下采取“换元转化”的方法求解更容易、简单一些。解：令则，，当时则2.5.3求分析：因为，不能用四则运算法则。又因为当时，有成立。所以可以用“换元转化”的方法求解。解：令则2.5.4求的值分析：中分子不容易出现来进行削去分母，故采用“换元转化”的方法求解。解：令x-1=t,则x=t+1,当x→1时t→0,问题就可转化为:2.6利用左、右极限判断与求分段函数在间断点处的极限3.6.1，求分段点0处的极限。解：又当当b=1时，，当时，不存在。3.6.2指出当时，极限是否存在分析：此题为典型的对于分段函数间断点进行讨论的题型，应该严格按照函数左、右极限的定义进行讨论与研究解：又即3.6.3设求又而3.6.4求函数在处的左右极限，并说明在处是否有极限。分析：判断函数在某点是否有极限，关键在于判断函数在该点的左右极限是否相等。若相等，极限存在；若不相等，则极限不存在。解：在处的极限不存在。注：本例是的直接应运。3.6.5若，求分段点0处的极限。分析：因为函数中，为待定系数，必须加以讨论才能确定分段点0处的极限，所以本题必须对系数进行分类讨论解：又当b=1时，；当时，不存在。3.7对“”,“”“”型求极限3.7.1分子分母都是x的多项式时，的极限，分式呈“”型（1）求极限分析：该函数为“”型，可以采用导数发求极限，也可以采用拆分相消法（消去零因式）求极限。解：注：因，这是从x趋向的无限变化过程中来看的变化趋势的，它对于是否属于函数的定义域不作要求，故求解此类题目常采用分解因式，再约去公因式，使之能够运用法则求极限的方法（2）求分析：这个问题是属于“”型未定式，但分子分母分别求导数后，化为，此式振荡无极限，故不可以用导数的方法求解。但原极限是存在的，所以可用下法求解。解：注：由此可知，对于“”型未定式，在运用对分子、分母分别求导的导数求法时，必须每一步都作检查，一旦发现不是未定式，就要停止使用；在计算中，须及时把极限存在的因子分出来，有时还要及时消去公因子，如果让这些因子仍存在于分式中，微商起来就会很麻烦。此外，对“”型、“”型定式，有的还可采用前面介绍的方法来求，这时，就得选取较简便的方法，特别是，在运用导数方法时，出现不存在现象时，必须采用其它的方法来求极限。3.7.2分子分母均是的多项式时，的极限，分式呈“”型求极限（其中为与无关的常数，为正整数且）。解：当时，当时，当时，不存在。注：本例的一般性结论是：若分子、分母中x的最高次幂相同时，则极限等于它们的最高次项的系数比；若分子中x的最高次幂低于分母中!的最高次幂则极限为零；反之极限不存在。3.7.3含有根式的一类式子，由x的变化趋势，呈“∞-∞”型求极限：分析：因为的极限都是+∞，所以不能直接用四则运算法则。通常情况下，类似于这种情况下，我们都会采用分子或分母有理化的方法求解。解：注：对于型未定式通过恒等变形可化多个或型,而0°,∞°,1∞型未定式则通过取对数化多个或型。因此,在使用导数求导法时每步都要检查是否符合法则的条件。此外,还应注意及时化简算式,把定式部分分离出来并求出极限,再对未定式部分使用法则。3.8已知函数的极限，球参数的值与取值范围这种类型往往要把函数的解析式化简，把函数极限的结果化为含有参数的式子，从而求出参数的值或范围。3.8.1已知，求K的值。分析：本题把参数看成一个常数,把极限值用参数表示出来,自然地求出了参数的值。解：3.8.2已知，求的值。解当x→1时极限存在,故分子和分母必含有因式(x-1),分子有理化得：故有：由：解得：又函数的定义域为：。若存在，则必有即。而符合题意,故。注：本题巧妙运用函数极限求法的逆用,成功地求出了参数的值.3.8.3，求当时，实数a,b的值。分析：这是一个函数极限逆运问题，应从求函数极限入手。因为，所以需通过分子，分母同除x的最高次幂。解：要使，则解得：这时所以：注：本题为已知极限的值