集体备课纪录-直线与椭圆的位置关系

大庆一中集体备课记录年级：高二组：数学时间2013．11．12地点高二数学组主持人李世明主备人唐聪仕参加人吕国仁，李世明，冷峰，杨威，杨帆，孙庆夺，刘佳，陈国兴，刘英，鞠娜，孙艳，刘秋磊，唐聪仕，安真真.课题2.1.直线与椭圆的位置关系备课内容要点教学目标(1)熟练判断点与椭圆的位置关系.(2)学会直线与椭圆位置关系的判断方法.(3)学会求直线与椭圆相交形成的弦长.(4)学会求椭圆上的点与直线的最大、最小距离.(5)熟练利用”点差法”处理中点弦问题.(6)学会处理定点、定值问题.(7)学会处理对称问题.重点难点重点:(1)熟练判断点与椭圆的位置关系.(2)学会直线与椭圆位置关系的判断方法.(3)学会求直线与椭圆相交形成的弦长.(4)学会求椭圆上的点与直线的最大、最小距离.(5)熟练利用”点差法”处理中点弦问题.难点:(1)学会处理定点、定值问题.(2)学会处理对称问题.教法设计整体上采用学案导学，问题探究，激发兴趣，问题质疑，师生共同研究解决，得到一般结论的设计思想。部分班级使用“271”教学模式。学法指导学生为主体，教师为主导，课堂上充分调动学生学习的积极性，全员参与，落实高效，师生互动，生生互动，学生的讲解和板书必不可少。教学内容2.1.3直线与椭圆的位置关系解析几何作为数学研究的重要的、有效的工具，集几何与代数的优点于一体，为数学的研究带来了方便。它的基础是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论从定性的研究推进到可以计算的定量的层面。一、点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔______________________;点P在椭圆内部⇔_________________________；点P在椭圆外⇔______________________.例1.若点在椭圆内,求的取值范围.二、直线与椭圆的位置关系判断直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的代数方法：联立，消(或者消)得到一个一元二次方程,位置关系解的个数Δ的取值相交Δ0相切Δ0相离Δ0例2、判断直线与椭圆的位置关系解：由可得（1）当时，直线与相交（2）当时，直线与相切（3）当时，直线与椭圆相离例3、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围解法一：由可得，即.解法二：直线恒过一定点当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述：解法三：直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点在椭圆内部或在椭圆上则练1.已知直线与椭圆有公共点,则的取值范围是_______________.三、直线与椭圆相交弦长设直线y＝kx＋m与椭圆的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则例4、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积解法一：由题可知：直线方程为由可得，解法二：到直线AB的距离由可得，又解法三：令则，其中到直线AB的距离由可得，[评述]在利用弦长公式（k为直线斜率）或焦（左）半径公式时，应结合韦达定理解决问题。练2.已知直线与椭圆交于两点,且.(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求的面积.四、椭圆上点与直线的最大,最小距离.例5.在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小,并求出最小值.方法一:设与椭圆相切的直线,由,由.所以,直线,则平行线的距离即为所求.练1.椭圆上的点到直线的最大距离为:______五、中点弦问题例5、已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆:,若，且椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程.解法一：令椭圆方程为，由题得：，由可得，又即椭圆方程为解法二：令椭圆方程为，由题得：，由作差得又即椭圆方程为[评述]椭圆中心定，焦点定，所以椭圆的位置定，而且由准线方程可得一个方程，还有一个方程怎么找？根据直线与椭圆相交，可联立方程组，利用韦达定理解决，事实上就是把交点问题化归为方程根的问题，有关中点问题还可设弦的两端点坐标代入椭圆方程相减，式中含有三个未知量，但直接联系了中点和直线的斜率，同样可得到a与b的关系（点差法）从而解决问题，但两者又各有弊端：韦达定理解决过程中易漏解，需关注直线的斜率问题；点差法则在确定范围方面略显不足。练3.已知P(1,1)为椭圆内一定点，经过P的直线线交椭圆于两点,且点P为中点，求直线的方程．练4.过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点,且线段中点在直线上,则直线的方程为:____________________六、定点,定直线问题例6、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为（1）求椭圆的标准方程（2）若直线与椭圆交于两点（不是左，右顶点）且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【解析】(I)由题意设椭圆的标准方程为，(II)设，由得，，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，，(最好是用向量点乘来)，，，解得，且满足.当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为2、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（Ⅰ）设椭圆的方程为。 … 1分∵，，∴，。 ……………… 4分∴椭圆的方程为。 ……… 5分（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为 …………7分,若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。…8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。………… 9分设与交于点由得设与交于点由得……… 10，……12分∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。 13分解法二：（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为 ………… 7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。 ……………8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。………………9分的方程是的方程是消去得… ①以下用分析法证明时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证……………… ②∵∴②式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（Ⅱ）由得即。记，则。…………… 6分的方程是的方程是 …… 7分由得 … 9分即 ……………… 12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。………………13分七、对称问题例.椭圆上是否存在关于直线对称点不同两点?若存在,求出这样的m的取值范围.练1.已知椭圆上存在着关于直线对称两点,求m的取值范围.巩固练习:1、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒解：（I）设椭圆E的方程为,由已知得： 。。。。。2分椭圆E的方程为。。。。 3分（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：。。。。。 5分①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由得 7分所以 9分对于任意的值，为定值，所以，得，所以； 11分②当直线的斜率不存在时，直线由得综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒ 13分法二：假设存在点，又设则：=…. 5分①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得 7分 9分设则 11分②当直线的斜率为0时，直线，由得：综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为 。。。。13分2、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。（I）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（I）设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为（Ⅱ）由（I）得，所以，设的方程为（）代入，得设则,由，当时，有成立。（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。依题意知，直线BC的方程为，令，则的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。设的方程为代入，得设则当时，有成立。（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。设存在使得、、三点共线，则，，即，存在，使得三点共线。3.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，eq\r(2))，且长轴长与短轴长的比是eq\r(2):1.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB面积的最大值．解(1)设椭圆C的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,a:b＝\r(2):1，,c＝\r(2)，))解得a2＝4，b2＝2.所以椭圆C的方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，eq\r(2))，则直线PB的方程为y－eq\r(2)＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\r(2)＝k(x－1)，,\f(y2,4)＋\f(x2,2)＝1，))得(2＋k2)x2＋2k(eq\r(2)－k)x＋(eq\r(2)－k)2－4＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xB＝1·xB＝eq\f(k2－2\r(2)k－2,2＋k2)，同理可得xA＝eq\f(k2＋2\r(2)k－2,2＋k2).则xA－xB＝eq\f(4\r(2)k,2＋k2)，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝eq\f(8k,2＋k2).所以kAB＝eq\f(yA－yB,xA－xB)＝eq\r(2)为定值．(3)由(2)，设直线AB的方程为y＝eq\r(2)x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x＋m，,\f(y2,4)＋\f(x2,2)＝1，))得4x2＋2eq\r(2)mx＋m2－4＝0.由Δ＝(2eq\r(2)m)2－16(m2－4)>0，得m此时xA＋xB＝－eq\f(\r(2)m,2)，xA·xB＝eq\f(m2－4,4).点P到直线AB的距离d＝eq\f(|m|,\r(3))，|AB|＝eq\r((xA－xB)2＋(yA－yB)2)＝eq\r(－\f(3,2)m2＋12).∴S△PAB＝eq\f(1,2)d·|AB|＝eq\f(1,2)eq\f(|m|,\r(3))·eq\r(\f(24－3m2,2))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(m2(8－m)2,2))当且仅当m2＝8－m2即m2＝4时，Smax＝eq\r(2).4．已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析分斜率存在和不存在两种情况讨论，假设存在，那么数量积eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))应该与直线的方向无关．解析假设在x轴上存在点M(m,0)，使eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))为常数．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)>0，,x1＋x2＝－\f(6k2,3k2＋1)，,x1·x2＝\f(3k2－5,3k2＋1).))所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.整理得eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f((6m－1)k2－5,3k2＋1)＋m2＝eq\f((2m－\f(1,3))(3k2＋1)－2m－\f(14,3),3k2＋1)＋m2＝m2＋2m－eq\f(1,3)－eq\f(6m＋14,3(3k2＋1)).注意到eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－eq\f(7,3)，此时eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(4,9).②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为A(－1，eq\f(2,\r(3)))、B(－1，－eq\f(2,\r(3)))，当m＝－eq\f(7,3)时，亦有eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(4,9).综上，在x轴上存在定点M(－eq\f(7,3)，0)，使eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))为常数．7．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq\r(2)，0)、(eq\r(2)，0)，离心率是eq\f(\r(6),3).直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直线作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．解析(1)因为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，且c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)由题意知P(0，t)(－1<t<1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝t，,\f(x2,3)＋y2＝1，))得x＝±eq\r(3(1－t2)).所以圆P的半径为eq\r(3(1－t2)).当圆P与x轴相切时，|t|＝eq\r(3(1－t2)).解得t＝±eq\f(\r(3),2)所以点P的坐标是(0，±eq\f(\r(3),2))．(3)由(2)知，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．因为点Q(x，y)在圆P上，所以y＝t±eq\r(3(1－t2)－x2)≤t＋eq\r(3(1－t2)).设t＝cosθ，θ∈(0，π)，则t＋eq\r(3(1－t2))＝cosθ＋eq\r(3)sinθ＝2sin(θ＋eq\f(π,6))．当θ＝eq\f(π,3)，即t＝eq\f(1,2)，且x＝0时，y取最大值2.巩固练习:1.已知一直线与椭圆相交于两点,弦AB的中点为M(2,1),求直线AB的方程.2.(2012北京文19）已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当△AMN的面积为时,求的值.3．（2012年高考（安徽文））椭圆:+=1()的左、右焦点分别为,,点是椭圆的上顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)已知面积为40,求的值.4．中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x＋y＝1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为eq\f(\r(2),2)，且OA⊥OB，求椭圆的方程．[分析]由于不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)欲求椭圆方程，需求m、n，为此需要得到关于m、n的两个方程，由OM的斜率为eq\f(\r(2),2)，OA⊥OB易得m、n的两个方程．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2),M(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,ax2＋by2＝1，))∴(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(b,a＋b)，eq\f(y1＋y2,2)＝1－eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(a,a＋b).∴M(eq\f(b,a＋b)，eq\f(a,a＋b))，∵kOM＝eq\f(\r(2),2)，∴b＝eq\r(2)a.①∵OA⊥OB，∴eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.∵x1x2＝eq\f(b－1,a＋b)，y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝1－eq\f(2b,a＋b)＋eq\f(b－1,a＋b)＝eq\f(a－1,a＋b).∴eq\f(b－1,a＋b)＋eq\f(a－1,a＋b)＝0，∴a＋b＝2.②由①②得a＝2(eq\r(2)－1)，b＝2(2－eq\r(2))．∴所求方程为2(eq\r(2)－1)x2＋2(2－eq\r(2))y2＝1.[点评]直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0是解决本题的关键．5.设、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.（I）求椭圆的焦距；（II）如果,求椭圆的方程.8.设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.点满足（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程。9.设椭圆C:过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。10.过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；11.在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；12.在平面直角坐标系中,点P到两点的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于两点A,B.且,求k的值.13.已知椭圆C:的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为．（I）求椭圆C的方程.（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线的距离为,求面积的最大值；14、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考