弹性力学习题新分解

1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比仙等）就不随位置坐标而变化。4、各向同性假定：所谓各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幕或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。2-1已知薄板有下列形变关系：J二如百二刃，％二。一力，式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。解：1、相容条件：将形变分量带入形变协调方程（相容方程）

2、其中二丁=0^=0d2ydxdy所以满足相容方程，符合连续性条件。在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为E%~~~2]—A2、其中二丁=0^=0d2ydxdy所以满足相容方程，符合连续性条件。在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为E%~~~2]—AE（号+/）二E1-dE1"(Axy+/jBy\(fjAxy+By\二Gy.二G(C—为2).3、平衡微分方程注+冬《dxdy\河dr._|VdydxEA她E(3度+心),3「刘八-^=07^=-2GZ)y,其中r0若满足平衡微分方程，必须有EA»2G%+£=0,(3陟+“0+/=0.分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件,若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。

0例2-2如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力（水的密度为p）,0顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件。解：根据在边界上应力与面力的关系左侧面：=AS）二Q（S筋二力（M二0；右侧面：.2"・上下端面为小边界面，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件。上端面额面力向截面形心o简化，得到面力的主矢量和主矩分别为九%%Ph.%二Psma,%二一Pco$里此二一sintz,y=0坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号相反；应力主矩与面力主矩的转向相反。所以£(%)六口xdx--Mo--—P/?sin%小二一然=产COS&下端面的面力向截面形心D简化，得到主矢量和主矩为

I2Fn=一产sina,%=Pcosapg.Md立幺Md立幺ina上田

26y=l坐标面，应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同。所以（（丐）》小=0二一尸sin%TOC\o"1-5"\h\zPh..PLcosa--sina一一pg.26,ftI2L（%）方小二4二Pco^a--pg.分析：1、与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式，而且与边界平行的应力分量不会出现。如在左、右侧面，不要加入行的应力分量不会出现。如在左、右侧面，不要加入2、在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无法精确满足时，可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简化。应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判断，二者方向一致时去正号，反之取负号。

2-8试列出题2-8图（a）,题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。解:图（a）图（b）图（a）图（b）1、对于图（a）的问题在主要边界不二。/二卜上,应精确满足下列边界条件:（%）=~Psy^（%）x=o-°，（ctJ^=-pgy,«守）工9二0.在小边界（次要边界）y二°上，能精确满足下列边界条件：（%）六0二-郎4；（%）="在小边界（次要边界）^一也上，有位移边界条件：（%啕=°，（%*=0这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚3二1时，dx-O.二0,2、对于图（b）所示问题（也在次要边界1二0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚，二1时，产/2[…（氏晨办二-不J-h/2Js（b==oy吐-MC/2仃2（大）工=0办=一在小边界（次要边界）1二/上，有位移边界条件：明『QR）㈤=0,这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，fh/2Rc喈--与r/2"及

2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F,如题2-17所示，体力可以不计。根据材料力学公式，写出弯应力应和切应力&y的表达式，并取挤压应力卬=0,然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解:M=-Fx1、矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的玩具方程为，横截0面对z轴（中性轴）面对z轴（中性轴）的惯性矩为,根据材料力学公式，弯应力;该截面上的剪力为"用二一"，剪应力2A；并取挤压应力2A；并取挤压应力2、经验证，上述表达式能满足平衡微分方衡*8%।dbcdx、dydx*8%।dbcdx、dydx也能满足相容方程/a2vx_八、河x讨(―y+—+%)--(I++-—)-0友2犷八工山"产八齿砂/y-+h/2再考察边界条件：在,的主要边界上，应精确满足应力边界条件:能满足能满足(%)z或二(%)z或二0,(金Xo改=0在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件:C/2"2C/2C/2V2满足应力边界条件在次要边界列出三个积分的应力边界条件：加2阿212FTOC\o"1-5"\h\z(%)1均=J分=0,—月以41月J4jMi网2M212F9L/bJiXr=Lmk"②二一巩J—J1>2J—ni2.2j网2M26FM、(%屋的二j声(7_y)dy=一F.满足应力条件。因此，它们是该问题的正确解答例3-1如图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数0二山V+3城+&丁+加3+芯+pxy求简支梁的应力分量（体力不计）解：1、相容条件：-2-5~T=°，dxdx2dydy代入应力函数，得:72由y+120B刈二0由此得」5nA=—B3于是应力函数可改写为@=-2加/+扇/+&『+的+尸划2、应力分量表达式7二一y二-10出力+205%/+6Dxyg$>—————1Ck&xy,+6C*av+6Exdx=?=15Bx2v2-5ByA-3Cx2-3Dy2-F3、考察边界条件：确定应力分量中的各系数

(%)产.力2=-与X得［5层一3c力+6H二-牛;⑷TOC\o"1-5"\h\z155S(%)『=一入门=0,W(3C--5/?)x2+(―Bh4+—DA3+F)=0;(i»)’4164(%)产矶=O,得—；*3ch十6月=0;(c)15\%9"=。，得(3C一9班2)/+号明4+*+尸)=0;(d)41o4若式(b)恒成立，必须满足3C--Bh2=0；<e)4二3/+—D炉+干=0«)164联立求解以上各式，得月二8二至C二%E二-鱼况『5阀4"12/'再根据简支梁的端面条件确定常数D,F。由圣维南原理得M2L*)w°，0=_&+0=_&+纥可得1C山/3.尸=_更+/再带入式(f)得VIX。/4、应力分量表达式rcr=^^-xy(2y2-x2+尸-—/i3),加八」107*仃=-^-^(3/z2y-4>2-/?)了lh3l%二骞(4»⑶—+欧)"4加20

例3-2图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1,右端固定、左端自由,荷载分布在自右端上，其合力为P(不计体力)，求梁的应力分量。例3-2图解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。(1)选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M(x)与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设(a)式中用的为待定常数。将式(a)对y积分两次，得0=0=yxy3+yf1(x)+^(x)(b)式中的&(x),0(x)为X的待定函数，可由相容方程确定。将式(b)代入相容方程忖二。，d4d4fi(x)y+上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即d%(x)dd%(x)d4f2(x)积分上二式，得f1(x)=a2x3+a3x2+tt4x+asx)=磔+磔+口温+3为待定的积分常数。将代入式（b）,得应力函数为0=+(«2x3+a3x2+a4x+g)y+(a^x3+a7x2+a8x+□.（c）（2）应力分量的表达式{6尸apjy询=6（咽+%）x+2®y+a?）

1«Txy=—;«iy2-3a2x2-2a3x-a4（3）考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载;自由端的剪力之和为P,得边界条件（oJx二。二。，自然满足；0，得一号--3a2x2-2ct资—aA=Q；a口h±上式对x的任何值均应满足，因此得a?二二0,——度《二o,（Oy）产.=0,得6崂+2口尸Qx取任何值均应满足，因此得二（卜二0.I（Txy）x=ody=|（-|aiy2-«i）dy=-p将式（e）代入上式积分，得fi（2h）fi（2h）3『彳皿其中一.：--横截面对Z轴的惯性矩。最后得应力分量为P:13-3试考察应力函数0二—xy（3h2-4y2）能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布量（不计体力），画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。解的3图解（1）相容条件：将代入相容方程忘+2『+斤=0,显然满足。（2）应力分量表达式12F3F/4y2、（3）边界条件：在y二年11/2主要边界上，应精确定满足应力边界条件

在次要边界x=o,x=l在次要边界x=o,x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件，蕨)=01/=0(a)£：2®)x=oydy=0J黑(%)x=iydy=-F1⑼I(c)对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式(a)(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂在自由端受集中力作用的问题。3-6如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,h>>b,在两侧上受到均布剪力q的作用，试用函数。二Axy”求解应力分量的作用，试用函数。二Axy”求解应力分量解：(1)相容条件将应力函数0代入相容方程尚二0_n540-n一°，淳一°，菽行一°。

很显然满足相容方程。(2)应力分量表达式=-A-3Bx2脐=6Bxy,%一旃(3)考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件,X—在次要边界y=0上,=-A-3Bx2脐=6Bxy,%一旃(3)考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件,X—在次要边界y=0上,(矶二尸0而的条件不可能精确满足(否则y=o只有A=B=0,可用积分的应力边界条件代替土：一u.土：一u.y二。(4)把各应力分量代入边界条件，得卜_qD_2qA=-rB=i?应力分量为12qq/x2\ax=0^y-p-xy,Txy--|l-12^|’3求解应力分量。3-7设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l>>h’3求解应力分量。题3-7图所示，试用应力函数0=Axy+By2+Cy3+Dxyj-h/2[h/2(l>>h,(l»h.a=n解(1)相容条件^-Axy+By2+Cy3+Dxy3代入相容方程，显然满足。(2)应力分量表达式a20a20a20%F=2R+6Cy+6Dxy巧遂=°』=一有=一(A+3Dy2)(3)考察边界条件，在主要边界y二tb/2上，各有两个应精确满足的边界条件3呻TOC\o"1-5"\h\z得；,Dn(a)4在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替。注意x=0是负x面，由此得心/2pI(q)xody=-Fn，得B二-奈J-h/z,nfb/22M(%)x=oydy=-Mj得C=一而J-h/2n就。」或耕Y南融+；处:与(b)由式(a)(b)解出3FS2FSA=一一-D=——-2卜h3最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得

rFn12M12FS六二二一干丫一下召［二Q%=一票OY)3-9设题3-93-9设题3-9图中的简支梁只受重力作用，而梁的密度为p,试用教材§3-4中的应力函数(e)求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。解(1)应力函数为x?A0=y(Ax2+By2+Cy+D)+x(Ey3+Fyz+Gy)--yB-zy4+Hy3+Ky2⑸o(2)应力分量的表达式wox=y(6Ay+2B)+x(6Ey+2F)-2Ay3-2By2+6Hy+2K(b)(c)ay=Ay3+By2+Cy+D-pgy

(c)Txv=-x（3Ay2+2By+C）-（3Eyz+2Fy+G）（d）1/这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能够选择适当的常数A,B,…，K,使所有的边界条件都满足，则应力分量式（b）,（c）,（d）就是正确的解答。（3）考虑对称性。因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样是x的偶函数，而x于yz面。这样是x的偶函数，而x的奇函数，于是由式（b)和（d）可见E=F=G=ll（4）考察边界条件：在主要边界上，应精确满足应力边界条件⑷尸J=°Dy=J=°将应力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有见这些边界条件要求h3h2hpgh-A+-B+-C+D-^=OTOC\o"1-5"\h\z8422h3h2hpgh—'A+/-/+D+彳o4(Z4-x.h2A+hB+C)=0即酬2八+118+(：=0<3.\__3.-xTa-hB+C=0即了A-hB+C=0<4/4联立求解得到A=一部.多D=0将以上已确定的常数代入式（b）,式（c）和（d）,得6Pg2_?Pg3/口xnvm°x="17xy+Vy+6Hy+2K®

考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的对称性，只需考虑其中的一边,梁的右边没有水平面力，x=l时，不论y取任何值（4/2<y<h/2），都有。X考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的对称性，只需考虑其中的一边,梁的右边没有水平面力，x=l时，不论y取任何值（4/2<y<h/2），都有。X二0。由式（f）可见，这是不可能满足的，除3+6Hy+2Kdy=0主矢量和主矩均为零，也就是要求rh/2（Ox）xLdy=0J-h/2rh/29x）xLydy二oJ-h/2将式（f）代入式（i）,得fh/2/6pg4pg积分以后得（是均为零。因此，用多项式求解，只能要求6丫在这部分边界上合成的将K,H的值代入式（f）,得6Pg214Pgfl1\力下令+京八用3-油另一方面，梁右边的切应力工可应当合成为反力pglh将式（f）代入式（j）,得卜符2y+耨3+6时2=0积分以后得K=pg（S"i）积分以后，可见这一条件是满足的将式(g),(h),(k)略加整理，得应力分量的最后解答&=一瞿x?y+衰y3+6Pg偿—%-豺+箕（1）注意梁截面的宽度取为一个单位，可见惯性矩是I=一,静矩是1X.h*S二——匕。根据材料力学应用截面法求横截面的内力，可求得梁任意截面上82Q2_xz]的弯矩方程和剪力方程分别为M(xi=pgh；,Fs(x)=一pghx.。式(I)ill3-10如题3-10图所示的悬臂梁，长度为l,高度为h,l>>h,在上边界受均布荷载q,试检验应力函数0=Ays+Bxzy3+Cy3+Dx2+Ex2y能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量解(1)相容条件副37。图将0二Ay°+Bx,yi+C?+Dx2+Ex,代入相容方程，得120Ay+24By=0,若满足相容方程，有1A=--B5(2)应力分量表达式a)¥0320工=—=20Ay3-30Ax2y+6Cydya20,ov=t5=TOAy3+2D+2Ey」oxi,20?%=-，=30Axy2-2ExJoxoy(3)考察边界条件；主要边界y二±b/2上，应精确满足应力边界条件10二0』得一/Ah3+2D+Eh=0O10h=o^—Ah3+2D-Eh=-qo皿15,=0,得EAh工二04(b)(c)在次要边界上x=0上，主矢和主矩为零，应用圣维南原理,用三个积分的应力边界条件代替jD%)x=ody=o,满足条件W；2(%)x=g=。,得?+西=0(e)凰28入网=。，满足联立求解式(a),(b),(c),(d)和(e),得qqqq3qA=a?3=-^c=-^D="?E=s3-12为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15）,而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15）,将会发生什么问题？解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15）,就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。(a)(a)3-15试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。例4-2如图所示楔形体右侧面受均布荷载q作用，试求应力分量【解】（1）楔形体内任一点的应力分量决定于q、P、口，中其中q的量纲为NL2,与应力的量纲相同。因此，各应力分量的表达式只可能取Kq的形式，而K是以口，中表示的无量纲函数，亦即应力表达式中不能出现P,再由。中=当知，应力函数中应是中的函数乘以P2,可设；-2f（；）将式（a）代入双调和方程:d4fF)d2f*l4Z^70d4d4f()4d2f()=0,上式的通解为Pc-Pc^=2AsinPc-Pc^=2Asin2:-2Bcos2:-C。(b)(c)f(甲)=Acos2邛+Bsin2中+C邛+D,将上式代入式（a）,得应力函数为.._.(>cP(Acos2中十Bsin2中+C中+D)。(2)应力表达式为21」工1二0一/o'口=十一r——r=2(—Acos25一Bsin2中十C中十D),2PcPP26cp2记①<6cp==2(Acos2中+Bsin2中+C中+D),（3）应力边界条件(d)(仃⑪勉=—q，得2(A+D)=-q;(d)TOC\o"1-5"\h\z(',：)==0，得Acos2,：：+Bsin2工+C.：：+D=0,(e)(p)&=0,得-2B-C=0,(f)(t仰)邛辿=0,2Asin2G—2Bcos2G—C=0。(g)联立求解式（d）—（g）,得各系数A二A二qtan;4（tan、工、工），B=4(tanq-二)'C=-qC=-q2(tan----),D一q(tan：-2)。4(tan:--)将系数代入⑹,得应力分量将系数代入⑹,得应力分量产p=_qtan：(1cos2:)-(2:产p=_q2(tan:--)(h)tan：(1-cos2)-(2:-sin2)(h)q，2(tan二y)(1-cos2)-tan二sin2：:=q。2(tan：-二)分析：应力函数表达式（a）中不出现u,这是因为fd）中包含了a角

（在应用应力边界条件时,中=口处（。中）幄=0,（T附中期=0中体现）。（在应用应力边界条件时,4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程，并证明up=AP+B，ucp=0可以满足此基本方程。【解】（1）设up=u&P）,u中=0,代入几何方程，教材中式（4-2）得形变分量cP二二0(a)将式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示的应力分量CJn-21-ucP二二0(a)将式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示的应力分量CJn-21-ufu：、u:(--u-),vcPPE二u:u:2(u——),1-u2，(b)将式（b）代入平衡微分方程，教材中式（4-1）,在轴对称问题中,平衡方程为「竺£+1黄—+仃p—0~中_cPpP一Y1及中十分仰十27仰J£中dPP一(c)式（c）中的第二式自然满足，第一式为2du?1du：u：+-LL=od：2：d：：2(d)上式即为求uP的基本方程。(2)将up=AP+：,u中=0将代入式(d),很显然满足方程。4-7实心圆盘在P=r的周界上受有均布压力q的作用，试导出其解答。m实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中式(4-11),即TOC\o"1-5"\h\zA一-+B(1+2lnP)+2C,A.，、ja(p=--+B(3+2lnP)+2C,(a)If伴=Tqp首先，在圆盘的周界(P=r)上，有边界条件(op)M=-q,由此得A—+B(1+2lnr)+2C=-q,(b)r其次，在圆盘的圆心，当Pt0时式(a)中仃p。中的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件(即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。)，当P=0时，必须有A=B=0。把上述条件代入(b)式中，得C22所以，得应力的解答为二：一二:--q,.=0

4-9半平面体表面上受有均布水平力q,试用应力函数①=P2（Bsn2呼+C中）求解应力分量，如题4-9图所示。【解】（1）相容条件：r将应力函数中代入相容方程56=0,显然满足。（2）由中求应力分量表达式｛二-2Bsin2:2C:,c-二2Bsin2：2C:,.:二二-2Bcos2:-C（3）考虑边界条件：注意本题有两个邛面，即中=土±，2在土中面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此,（。中%=±2^2.=0，得C=0《仲b=土%=_q,得B=一微将各系数代入应力分量表达式，得｛fl题》9图分别为土邛面,有；=；=qsin2:,:-=-qsin2：,fl题》9图分别为土邛面,有4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q,如题4-12图所示，试求其应力分量。【解】(1)应用应力函数①=P2(Acos29+Bsin29+C9+D),进行求解。由应力函数中得应力分量「Pf$言=2Acos2,+Bsin^-CP-D),仃中=市=2(Acos2中+Bsin#+C邛+D),1、仰=———(——^)=2Asin2中一2Bcos2中-C叫cPPc^P(2)考察边界条件：根据对称性，得。」,：也=0;二-二q;(b)2二一二0;(c)—2::---q(d)2(a)同式(a)得2Acos:2Bsin：C：2D=0;同式(b)得2Asin中—2Bcos中-C=q;(e)(f)同式(c)得2Acos:-2Bsin:-C=2D=0;(g)同式(d)得—2Asin中一2Bcos*一C=—q;(h)式(e)、⑴、(g)、(h)联立求解，得.q_qA=,B=C=0,D=——cot三2sin：2将以上各系数代入应力分量，得c-=qcos2:cot-i“sin;7仰=qsin：■cos2:-cot二sin一:：sin2:4-14设有一刚体，具有半径为R的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为R而内半径为r的圆筒，圆筒受内压力为q,试求圆筒的应力。【解】本题为轴对称问题，故环向位移u(p=0,另外还要考虑位移的单值条件。(1)应力分量引用轴对称应力解答，教材中式(4-11),取圆筒解答中的系数为A,B,C,刚体解答中的系数为A"B"。由多连体中的位移单值条件，有B=0,(a)B7=0(b)现在，取圆筒的应力表达式为A一二＞2C,c-=--2C刚体的应力表达式A'：22C'考虑边界条件和接触条件来求解常数AA首先，在圆筒的内面，有边界条件(二二)」(d),C,C，和相应的位移解答。二Y,由此得A今2C=-qr其次，在远离圆孔处，应当几乎没有应力，于是有(「：)：，二=。，(二'；)：-＞二=。(e)由此得2。=0再次，圆筒和刚体的接触面上，应当有二，：~R=二'P)RR于是有式(c)及式(d)得AA'今2C=S2C'R2R2(f)(g)（2）平面应变问题的位移分量应用教材中式（4-12）的第一式，稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达+1cos中+Ksin+1cos中+Ksin中,(h)u；=—^2(1-2u)C；--刚体的径向位移为零，在接触面上，圆筒与刚体的位移相同且都为零，即将式（h）和式（i）代入，得2(1-2u)