2018-2019数学新学案同步精致讲义选修1-1北师大版：第二章 圆锥曲线与方程2.1VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2抛物线2．1抛物线及其标准方程学习目标1。掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念。2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3。明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案连接两定点所得线段的垂直平分线．思考2平面内,到一定点和一条定直线（点不在定直线上）距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢?答案曲线．梳理(1）定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线．(2)焦点：定点F叫作抛物线的焦点．（3)准线：定直线l叫作抛物线的准线．知识点二抛物线的标准方程思考抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定?答案p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px（p〉0)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（p,2),0)）x＝－eq\f（p,2）y2＝－2px（p>0）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（p,2)，0）)x＝eq\f（p，2)x2＝2py（p>0）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（p，2)))y＝－eq\f（p，2)x2＝－2py(p〉0）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,－\f（p,2))）y＝eq\f（p，2)特别提醒：（1）方程特点：焦点在x轴上,x是一次项，y是平方项;焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴,它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右．1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．（×）2．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(×）3．方程x2＝2ay（a≠0）表示开口向上的抛物线．（×）类型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．（1）过点（3，－4);（2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1）方法一∵点（3，－4）在第四象限,∴设抛物线的标准方程为y2＝2p1x（p1〉0)或x2＝－2p2y（p2>0)．把点（3,－4)分别代入y2＝2p1x和x2＝－2p2y,得（－4)2＝2p1·3，32＝－2p2·(－4)，即2p1＝eq\f（16，3),2p2＝eq\f（9，4)。∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f(16，3）x或x2＝－eq\f(9,4）y.方法二∵点(3,－4）在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax（a≠0）或x2＝by(b≠0)．把点（3，－4）分别代入，可得a＝eq\f（16，3),b＝－eq\f(9，4)。∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq\f（16,3)x或x2＝－eq\f（9，4）y.(2）令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为（0，－5)或(－15，0）．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.反思与感悟求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2）方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程，化简方程；②直接根据定义求p，最后写标准方程;③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程组求系数．跟踪训练1求满足下列条件的抛物线的标准方程．（1）过点（－3，2);（2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)已知抛物线焦点在y轴上,焦点到准线的距离为3。解（1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x（p1>0)或x2＝2p2y(p2〉0），∵过点(－3，2）,∴4＝－2p1（－3)或9＝2p2·2，∴p1＝eq\f（2,3）或p2＝eq\f(9，4)。故所求抛物线的标准方程为y2＝－eq\f（4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.（2）令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点坐标为（4,0）或（0，－2）．当焦点坐标为(4，0）时,eq\f（p，2）＝4,∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；当焦点坐标为(0，－2）时，eq\f(p，2）＝|－2｜，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.（3)由题意知,抛物线标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py（p>0)且p＝3。∴抛物线的标准方程为x2＝6y或x2＝－6y。类型二求抛物线的焦点坐标和准线方程例2指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．(1)y＝eq\f(1，4)x2；(2)x＝ay2(a≠0）．解(1）抛物线y＝eq\f(1,4)x2的标准形式为x2＝4y，∴p＝2，∴焦点坐标是（0,1)，准线方程是y＝－1，抛物线开口向上．（2）抛物线方程的标准形式为y2＝eq\f（1,a)x，∴2p＝eq\f(1,|a|）。①当a〉0时,eq\f(p,2)＝eq\f（1,4a)，抛物线开口向右，∴焦点坐标是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，4a）,0）)，准线方程是x＝－eq\f（1,4a）；②当a<0时，eq\f(p，2)＝－eq\f（1，4a），抛物线开口向左,∴焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，4a），0)），准线方程是x＝－eq\f(1,4a）。综上所述，当a≠0时,抛物线x＝ay2的焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，4a），0）），准线方程为x＝－eq\f(1，4a)，当a〉0时，开口向右；当a<0时，开口向左．反思与感悟1。先将抛物线方程化成标准形式,再判断开口方向、焦点位置,准确地求出p的值．2．抛物线y2＝2ax（a≠0)的焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a，2），0）），准线方程为x＝－eq\f（a，2)，不必讨论a的正负．跟踪训练2已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程．（1)y2＝－6x；(2）3x2＋5y＝0；（3）y＝4x2;（4）y2＝a2x（a≠0)．解（1)由方程y2＝－6x,知抛物线开口向左，2p＝6，p＝3，eq\f(p，2）＝eq\f(3，2)，所以焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(3，2)，0)），准线方程为x＝eq\f(3，2).（2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－eq\f(5,3)y，知抛物线开口向下，2p＝eq\f（5，3)，p＝eq\f(5，6），eq\f（p,2）＝eq\f(5，12）,所以焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,－\f(5,12)))，准线方程为y＝eq\f（5,12）。（3)将y＝4x2化为x2＝eq\f（1，4)y，知抛物线开口向上,2p＝eq\f(1,4)，p＝eq\f（1，8)，eq\f(p，2)＝eq\f(1,16)，所以焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(1，16)）),准线方程为y＝－eq\f（1，16）。(4）由方程y2＝a2x（a≠0)知抛物线开口向右,2p＝a2，p＝eq\f(a2，2），eq\f(p，2)＝eq\f(a2,4),所以焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a2,4）,0))，准线方程为x＝－eq\f（a2，4）。类型三抛物线在实际生活中的应用例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m,一小船宽4m、高2m，载货后船露出水面上的部分高eq\f(3，4）m,问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意可知,点B（4，－5）在抛物线上，故p＝eq\f(8，5)，得x2＝－eq\f(16，5）y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A（2，yA）,由22＝－eq\f（16,5)yA,得yA＝－eq\f(5，4）。又知船面露出水面上的部分高为eq\f（3,4)m，所以h＝|yA｜＋eq\f(3,4)＝2(m）．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py（p>0)．由题意知，点P（10，－4）在抛物线上，所以100＝－2p×（－4），2p＝25。即抛物线方程为x2＝－25y。因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.由图知,AB是最长的支柱之一．设点B的坐标为(2，yB），代入x2＝－25y,得yB＝－eq\f（4,25)。所以|AB｜＝4－eq\f（4，25)＝3.84，即最长支柱的长为3。84米．1．抛物线y＝eq\f(1，4)x2的准线方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2答案A解析由y＝eq\f（1,4）x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4,即p＝2，因此准线方程为y＝－eq\f(p，2）＝－1。2．抛物线y2＝8x的焦点坐标和准线方程分别为()A．(1,0），x＝－1 B．(2，0)，x＝－2C．（3,0）,x＝－3 D．(4,0）,x＝－4答案B解析抛物线y2＝8x的焦点坐标为（2，0),准线方程为x＝－2。3．已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为（）A．y2＝x B．y2＝2xC．x2＝－3y D．x2＝－6y考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案D解析由题意知p＝3，故选D.4．抛物线x2＝8y上的点M到x轴的距离为6,则点M与抛物线的焦点间的距离为________．答案8解析由抛物线的定义可得|MF｜＝6＋eq\f（p，2)＝8。5．已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P（－2，－4），则该抛物线的标准方程为______________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px（p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．将P（－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.1．焦点在x轴上的抛物线,其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0），此时焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(m，4),0)）,准线方程为x＝－eq\f（m,4)；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0），此时焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(m,4)）)，准线方程为y＝－eq\f（m，4)。2．设M是抛物线上一点,焦点为F,则线段MF叫作抛物线的焦半径．若M（x0，y0)在抛物线y2＝2px（p>0）上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径｜MF|＝x0＋eq\f（p，2）。一、选择题1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF｜＝eq\f(5,4）x0，则A点的坐标为(）A．（1,1） B．（1，±1)C．（1，－1) D．(1,0）考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点的坐标答案B解析由抛物线的定义,可得|AF｜＝x0＋eq\f(1，4)，∵|AF｜＝eq\f（5,4）x0，∴x0＋eq\f(1，4)＝eq\f（5,4)x0，∴x0＝1。把x0＝1代入y2＝x，得yeq\o\al（2,0)＝1，y0＝±1，∴点A的坐标为(1，±1）．2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为（)A．(－1,0） B．（1，0)C．（0，－1） D．（0,1)考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案B解析抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－eq\f（p,2)。由题设知－eq\f(p，2)＝－1，即p＝2，故焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，0))。故选B.3．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6y答案C解析∵顶点与焦点距离等于3,∴2p＝12，又∵对称轴是y轴，∴抛物线的标准方程为x2＝±12y。4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4 B．－2C．4或－4 D．12或－2考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点的坐标答案C解析由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py（p>0)．由定义知点P到准线的距离为4，故eq\f(p,2）＋2＝4,∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.5．抛物线方程为7x＋4y2＝0,则焦点坐标为(）A.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（7,16），0)) B.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(7，4），0）)C。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(7,16)，0）） D。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,－\f（7，4)))答案C解析方程化为y2＝－eq\f（7，4）x,抛物线开口向左，2p＝eq\f（7，4），eq\f(p,2)＝eq\f（7,16），故焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(7，16），0)).6．过点A（3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（）A．圆 B．椭圆C．直线 D．抛物线考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案D解析设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D。7．已知点A（－2,3)在抛物线C：y2＝2px（p>0)的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为（）A．－eq\f(4,3） B．－1C．－eq\f(3，4) D．－eq\f（1,2）考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案C解析因为抛物线C:y2＝2px的准线方程为x＝－eq\f(p,2），且点A（－2,3）在准线上，故eq\f（－p,2）＝－2,解得p＝4。所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F的坐标为（2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝eq\f(3－0,－2－2）＝－eq\f（3,4）。8．从抛物线y2＝4x的图像上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且｜PM｜＝5,设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为(）A．10B．8C．6D．4考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点的坐标答案A解析设P（x0,y0），∵｜PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，∴S△MPF＝eq\f（1，2）|PM｜·｜y0|＝10。二、填空题9．已知椭圆x2＋ky2＝3k(k〉0）的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合的有关问题答案eq\f（\r（3）,2）解析抛物线的焦点为F（3，0)，∵椭圆的方程为eq\f（x2,3k）＋eq\f(y2,3）＝1，∴3k－3＝9，∴k＝4，∴离心率e＝eq\f（3，2\r（3）)＝eq\f(\r（3）,2）。10．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是__________．考点抛物线定义题点由抛物线定义求点的坐标答案eq\f（15，16)解析抛物线方程化为x2＝eq\f（1，4）y,准线为y＝－eq\f(1,16）.由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－eq\f（1，16)＝eq\f(15,16）.11．设抛物线y2＝8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么｜PF｜＝________.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案8解析如图所示，直线AF的方程为y＝－eq\r（3)(x－2）．与准线方程x＝－2联立,得A（－2,4eq\r（3)）．设P（x0，4eq\r（3)），代入抛物线方程y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6.∴|PF|＝x0＋2＝8.三、解答题12.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上,准线l与圆x2＋y2＝1相切．(1)求抛物线C的方程；（2)若点A，B都在抛线C上，且eq\o(FB,\s\up6(→)）＝2eq\o（OA，\s\up6(→)），求点A的坐标．考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解（1）依题意,可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－eq\f（p,2).∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，∴圆心(0,0）到准线l的距离d＝0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（p,2))）＝1，解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.（2)设A（x1，y1），B（x2，y2），则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1）＝4y1,①,x\o\al(2,2)＝4y2，②))由题意得F（0，1），∴eq\o（FB,\s\up6（→))＝(x2，y2－1)，eq\o（OA，\s\up6(→))＝(x1，y1），∵eq\o(FB，\s\up6（→）)＝2eq\o（OA,\s\up6(→）），∴（x2，y2－1）＝2（x1，y1）＝（2x1,2y1)，即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝2x1,，y2＝2y1＋1,）)代入②得4xeq\o\al(2，1)＝8y1＋4，即xeq\o\al(2,1）＝2y1＋1，又xeq\o\al(2,1)＝4y1，所以4y1＝2y1＋1,解得y1＝eq\f（1,2)，x1＝±eq\r（2），即点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(2），\f(1，2）)）或eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\r（2),\f(1,2)））。13．已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2m时，测量水面宽为8m，则当水面上升eq\f（1，2)m后，水面的宽度是多少？考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的标