2018-2019数学新学案同步必修二浙江专用版讲义：第四章 圆与方程滚动训练五

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精滚动训练五(§4.1～§4。2)一、选择题1．若圆(x－3）2＋（y＋5)2＝r2上的点到直线4x－3y－2＝0的最近距离为1，则半径r的值为（）A．4B．5C．6D．9考点与圆有关的最值问题题点与圆的几何性质有关的最值答案A解析由题意可得，圆心（3，－5）到直线的距离等于r＋1，即eq\f(｜12＋15－2|,\r（16＋9）)＝r＋1，求得r＝4。故选A。2．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于()A．45°B．135°C．60°D．120°考点与圆有关的最值问题题点与面积有关的最值答案B解析将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2）))2＋（y＋1)2＝1－eq\f（3k2，4），∴r2＝1－eq\f(3k2,4)，当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1，因此直线y＝（k－1)x＋2,即y＝－x＋2.得直线的倾斜角α满足tanα＝－1，∴α＝135°。3．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0（t∈R）的位置关系为()A．相离 B．相切C．相交 D．以上都有可能考点直线与圆的位置关系题点判断直线与圆的位置关系答案C解析直线2tx－y－2－2t＝0恒过点（1,－2),∵12＋(－2）2－2×1＋4×(－2)＝－5〈0，∴点(1，－2）在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故选C。4．若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A。eq\f(2，3）B．1C.eq\f(1,2）D.eq\f（3,4）考点圆的弦长问题题点求圆的弦长答案B解析∵3a2＋3b2－4c2＝0,∴a2＋b2＝eq\f（4,3)c2,则圆x2＋y2＝1的圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f（|c|，\r（a2＋b2）)＝eq\f（\r（3),2)；则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长l＝2eq\r(r2－d2）＝1。故选B.5．过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n）作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m，n满足的关系式是（）A．（m－2)2＋n2＝4 B．（m＋2）2＋n2＝4C．（m－2）2＋n2＝8 D．(m＋2）2＋n2＝8考点与圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题答案C解析圆x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2，0)，半径r＝2.由题意，知（m－2)2＋n2＝8。6．已知直线l:3x＋4y＋m＝0（m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于（)A．6B．8C．11D．9考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题答案D解析圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1）2＋(y－1）2＝8，圆心坐标为（－1，1）,半径为2eq\r（2)，由题意可知，圆心到直线的距离d＝eq\f（｜1＋m｜,5）＝2。∵m〉0，∴m＝9。7．过点P(－2，4)作圆C：(x－2)2＋(y－1）2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为（)A。eq\f(3，5)B．2C．4D。eq\f（12，5）考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案C解析根据题意，知点P在圆C上，∴切线l的斜率k＝－eq\f（1,kCP)＝eq\f(－1,\f(1－4,2＋2)）＝eq\f(4，3)，∴切线l的方程为y－4＝eq\f(4,3）（x＋2）,即4x－3y＋20＝0。又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0。故切线l与直线m间的距离d＝eq\f（｜0－20|，\r（42＋－32))＝4。8．如图，定圆半径为a,圆心为(b,c），则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在（）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限考点数形结合思想的应用题点数形结合思想的应用答案B解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ax＋by＋c＝0，,x－y＋1＝0,)）解得交点坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（b＋c，a＋b)，\f（a－c，a＋b）））.由图可知，－b>a〉c>0，∴－eq\f(b＋c，a＋b)<0，eq\f（a－c，a＋b）〈0，∴交点在第三象限，故选B。二、填空题9．若直线l：ax＋by＝1与圆C:x2＋y2＝1有两个不同的交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是________．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题答案点P在圆外解析∵直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，∴eq\f（1，\r(a2＋b2））〈1，即eq\r（a2＋b2)>1，∴点P(a，b)在圆外．10．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上,点Q在圆C2:x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．考点与圆有关的最值问题题点与距离或距离的平方有关的最值答案3eq\r(5)－5解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得（x－4）2＋（y－2）2＝9，(x＋2）2＋（y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是（4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是（－2，－1）,半径是2。圆心距d＝eq\r（4＋22＋2＋12)＝3eq\r（5）＞3＋2＝5，所以圆C1与圆C2相离，所以|PQ|的最小值是3eq\r(5）－5。11．已知直线l：y＝eq\f(\r(3),3）x＋2eq\r(3）与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点,则｜CD|＝________。考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题答案4解析由题意，得圆心到直线的距离d＝eq\f(2\r(3）,\r(1＋\f(1，3))）＝3，∴｜AB｜＝2eq\r（12－9）＝2eq\r（3）.又易知直线l的倾斜角为30°，∴|CD|＝eq\f(|AB｜，cos30°)＝eq\f(2\r（3），\f（\r(3），2)）＝4.三、解答题12．已知圆心为N（3，4）的圆被直线x＝1截得的弦长为2eq\r(5）.(1)求圆N的方程；(2)点B（3，－2）与点C关于直线x＝－1对称,求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1）由题意得，圆心N(3，4）到直线x＝1的距离等于3－1＝2。∵圆N被直线x＝1截得的弦长为2eq\r（5），∴圆N的半径r＝eq\r(\r(5)2＋22）＝3.∴圆N的方程为（x－3)2＋(y－4)2＝9.(2)∵点B（3，－2）与点C关于直线x＝－1对称，∴点C的坐标为(－5,－2），设所求圆的方程为（x＋5）2＋（y＋2)2＝r2(r>0）,∵圆C与圆N外切，∴r＋3＝eq\r（3＋52＋4＋22)＝10,得r＝7.∴圆C的方程为（x＋5）2＋(y＋2）2＝49。13．已知从圆外一点P(4，6)作圆O:x2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A，B。（1）求以OP为直径的圆的方程；（2)求直线AB的方程．考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦所在直线的方程解(1）∵所求圆的圆心为线段OP的中点（2，3)．半径为eq\f(1,2）｜OP|＝eq\f（1，2）eq\r（4－02＋6－02)＝eq\r(13)，∴以OP为直径的圆的方程为（x－2)2＋（y－3）2＝13。(2)∵PA，PB是圆O:x2＋y2＝1的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴A,B两点都在以OP为直径的圆上．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1，,x－22＋y－32＝13,)）得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0。

四、探究与拓展14．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋（a＋1)y＋6＝0，圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1（b>0）的位置关系是“平行相交”，则b的取值范围为（)A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（2)，\f（3\r(2),2)）) B．(0，eq\r(2））C.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(3\r(2),2））） D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r（2)，\f(3\r(2)，2）))∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3\r(2)，2），＋∞））考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系答案D解析圆C的标准方程为(x＋1）2＋y2＝b2，由两直线平行a(a＋1）－6＝0，解得a＝2或a＝－3，又当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去,此时两平行直线方程分别为x－y－2＝0和x－y＋3＝0.由直线x－y－2＝0与圆（x＋1）2＋y2＝b2相切，得b＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2)，2);由直线x－y＋3＝0与圆（x＋1）2＋y2＝b2相切，得b＝eq\f(2，\r（2））＝eq\r（2).当两直线与圆都相离时，b<eq\r（2）。∴当“平行相交”时,b满足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b〉\r(2)，，b≠\f（3\r（2),2）,））∴b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(2),\f（3\r(2)，2）)）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3\r（2），2)，＋∞）).故选D.15．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1）求圆C的方程；(2)过点M(1,0）的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题解（1）设圆心C(a，0）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a>－\f(5，2)）)，则eq\f（|4a＋10｜,5）＝2，解得a＝0或a＝－5（舍）．所以圆C的方程为x2＋y2＝4。（2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB。当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N（t，0），A(x1，y1)，B（x2，y2），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，，y＝kx－1，））得（k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0,所以x1＋x2＝eq\f（2k2，k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4，k2＋1).若x轴平分∠ANB,则kAN＝－kBN，即eq\f（y1,x1－t）＋