2022-2023学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page2323页，共=sectionpages2323页2022-2023学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程为一元二次方程的是(

)A.x−2=0 B.x2−2.已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2−9xA.21 B.21或16 C.16 D.223.某校九年级(1)班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(

)A.x(x−1)2=1980 4.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果ABA.(12−45)cm

B.

5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠A.25° B.30° C.35°6.如图，在平面直角坐标系中，A(0,−3)，B(2A.(0,0)

B.(−17.如图，在△ABC中，∠ACB=90A.∠ACD=∠B B.C8.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点

A.1 B.2 C.5−1 二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.若yx=34，则x+

10.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是46厘米，那么A、B两地的实际距离是______千米．

11.已知⊙O上有两点A、B，且圆心角∠AOB=40°

12.已知方程ax2+bx+c=

13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽14.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB=70°

15.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=8，AC=616.若关于x一元二次方程(m+2)x2+5x17.如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、

18.如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)

解方程：

(1)4(x−20.(本小题5.0分)

已知：如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．

(1)以点B为位似中心，在网格内画出21.(本小题5.0分)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上的一点，DE⊥AB于点E．

(1)求证：△22.(本小题6.0分)

我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克茶叶应降价多少元？23.(本小题7.0分)

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，延长BC到D，连接AD，使AD//OC.AB交OC24.(本小题7.0分)

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．

(1)求证：△PFA∽25.(本小题8.0分)

【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A(2,0).动点B在⊙O上，连接AB，作等边三角形ABC(A,B,C为顺时针顺序)，求OC的最大值．

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．

(1)请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

(2)请直接写出线段26.(本小题10.0分)

如图，已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO做匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．

(1)若M为线段OB中点，以P为圆心，PM为半径的圆与直线AB相切时，求t的值；

(2)若⊙P是以P为圆心，1答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A.x−2是一元一次方程，故本选项不合题意；

B.x2−4x+1=0是一元二次方程，故本选项符合题意；

C.当a=0时，ax2+2.【答案】A

【解析】解：x2−9x+14=0，

(x−2)(x−7)=0，

x−2=0或x−7=0，

所以x1=23.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x−1)张相片，有x个人是解决问题的关键．根据题意得：每人要赠送(x−1)张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．

【解答】

解：根据题意得：每人要赠送(x−1)张相片，有4.【答案】D

【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=8cm5.【答案】C

【解析】解：连接CD，如图，

∵AD为直径，

∴∠ACD=90°，

∵∠D=∠B=55°，

∴∠6.【答案】D

【解析】解：如图，根据网格点O′即为所求．

∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，

∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，

∴△ABC的外心坐标是(−2,7.【答案】B

【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D

∴△ACD∽△CBD∽△ABC

∴A、∠ACD=∠B，正确；

B、应为8.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠ABC=90°，

∴∠BCN+∠BNC=90°，

又BN=AM，

∴△ABM≌△BCN(SAS)，

∴∠A9.【答案】74【解析】解：∵yx=34，

∴y=34x，

∴10.【答案】160

【解析】解：根据题意，46÷11000000=16000000(厘米)，

16000000厘米=160千米．

故A、B两地的实际距离是160千米．

故答案为：160．11.【答案】40

【解析】解：∵∠AOB=40°，

∴劣弧AB的度数为40°；

故答案是：40．

根据圆心角与弧的定义解答即可．

本题考查了圆心角、弧、弦的关系．我们把顶点在圆心的周角等分成360份，则每一份的圆心角是1°.12.【答案】0

【解析】解：把x=−1代入方程，可得

a−b+c=0，

故答案为：0．

x=13.【答案】此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=【解析】解：∵∠A是公共角，

∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB(有两角对应相等的三角形相似)，

当AD：AC=AE：AB或AD⋅AB=AE⋅AC时，△ADE∽△ACB(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)，

∴要使△ADE∽△A14.【答案】140°【解析】解：∵劣弧AB所对的圆周角是∠ACB，对的圆心角是∠AOB，

∴∠AOB=2∠ACB，15.【答案】52【解析】解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB=AC2+BC2=62+82=10，

∵CD平分∠ACB，

16.【答案】−1【解析】解：∵关于x一元二次方程常数项为0，

∴m2+3m+2=0，

解得m1=−1，m2=−2；

又∵m+2≠0，m≠−2，

∴m=−17.【答案】6

【解析】解：∵AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，

∴M、N为AB、AC的中点，即线段MN为△ABC的中位线，

∴BC=2MN=6．

故答案为：6．

由A18.【答案】56【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=BC=DC=2，∠DAM=90°，AB//DC，

∵M为AB边的中点，

∴AM=BM=1，

∴DM=AM2+AD2=5，

∵F为DM的中点，

∴DF=MF=52，

∵AB//CD，

∴∠CDP=∠P19.【答案】解：(1)方程整理得：(x−2)2=254，

开方得：x−2=±52，

解得：x1=92，x2=−【解析】(1)方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；

(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可．

20.【答案】(1)(1,0【解析】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是(1,0)；

故答案为：(1,0)；

(2))△21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，

∴∠AED=∠C=90°，

∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△ADE【解析】(1)根据垂直的定义得到∠AED=∠C=22.【答案】解：设每千克茶叶应降价x元，则每千克的销售利润为(400−x−240)元，平均每周的销售量为(200+40×x10)千克，

依题意得：(400−x−240【解析】设每千克茶叶应降价x元，则每千克的销售利润为(400−x−240)元，平均每周的销售量为(200+40×23.【答案】(1)证明：连接OA，

∵∠ABC=45°，

∴∠AOC=2∠ABC=90°，

∴OA⊥OC；

又∵AD//OC，

∴OA⊥AD，

∵OA【解析】(1)连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD//OC，只需得到OA⊥OC，根据圆周角定理即可证明；

(2)24.【答案】(1)证明：∵矩形ABCD，

∴∠ABE=90°，AD//BC，

∴∠PAF=∠AEB，

又∵PF⊥AE，

∴∠PFA=90°=∠ABE，

∴△PFA∽△ABE．

(2)解：分二种情况：

①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF=∠EAB，

∴PE//AB，

∴四边形ABEP为矩形，

∴P【解析】(1)根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；

(2)由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合(1)中的结论，得到等腰△APE25.【答案】解：【解决问题】

(1)如图1中，结论：OC=AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，

∴BC=BA，BO=BE，∠CBA=∠OBE=60°，

∴∠CBO=∠ABE，

∴△CBO≌△ABE(SAS)，

∴OC=AE．

(2)在△AOE中，AE≤OE+OA，

∴当E、O、A共线，

∴AE的最大值为3，

∴OC的最大值为3．

【迁移拓展】

(3)如图2中，以BC为边作等边三角形【解析】【解决问题】

(1)结论：OC=AE.只要证明△CBO≌△ABE即可；

(2)利用三角形的三边关系即可解决问题；

【迁移拓展】

(3)以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC26.【答案】解：(1)①如图，当点P在线段O