第五章刚体转动解析课件

（RotationofRigidBodyaboutaFixedAxis）第五章刚体定轴转动1（RotationofRigidBodyabout§5.1刚体的运动§5.2刚体的定轴转动定律§5.3转动惯量的计算

§5.4转动定律应用举例§5.5定轴转动中的功能关系§5.6刚体定轴转动的角动量守恒定律§5.7旋进本章目录2§5.1刚体的运动§5.2刚体的定轴转动定律§5.3转CABF由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：§5.1刚体的运动一.刚体（rigidbody）的概念tt

+t才感受到力固体中弹性波的速度（k—劲度）若v，则k，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为刚体。3CABF由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：§5.1显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，般的质点系有所简化。通常v固体

103m/s，所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。实际的意义。但是它有4显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规二、刚体运动的几种形式1.平动（平移）

运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。

刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。

研究方法：用质心代表整个刚体的运动。可视为质点。5二、刚体运动的几种形式1.平动（平移）2.定轴转动

刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。定轴转动：转轴固定不动的转动。O特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律62.定轴转动刚体上所有质点都绕同一直线作圆5.刚体的一般运动刚体的一般运动可视为随刚体上某一基点A的平动和绕该点的定点转动的合成.OOO将刚体的运动看作质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平面的轴的转动的叠加。3.平面平行运动

刚体运动时,各点始终和某一平面保持一定的距离,或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动4.刚体定点转动刚体运动时，始终绕一固定点转动.75.刚体的一般运动刚体的一般运动可视为随刚体上O··OO·OO·转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，例如：平动可以不同，动力学中，常选质心为基点。三.刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动（rotationaboutafixedpoint）转动却相同，或2.定轴转动（rotationaboutafixedaxis）8··OO·OO·转动与基点的选取无关。两种分解，刚体定轴转动的描述角位置：

(1).定轴转动的角量描述

角位移：

角速度：角加速度：

角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中方向沿转轴的方向。角速度方向并满足右手螺旋定则。(2).角量和线量的关系9刚体定轴转动的描述角位置：(1).定轴转动的角量描述

在刚体作匀角加速转动时，=常数，有以下相应的公式:

在质点作匀加速直线运动时，a=常数，有以下相应的公式:3、匀变速转动的公式刚体获得角加速度的原因？10在刚体作匀角加速转动时，=常数，有以下相应§5.2刚体的定轴转动定律把刚体看作无限多质元构成的质点系。令—转动惯量（对z轴）（rotationalinertia）vi刚体O×ω,ri定轴zmiΔriFi11§5.2刚体的定轴转动定律把刚体看作无限多质元构成vi刚体O×ω,αri定轴zFiθimiΔri则即—转动定律其中定轴情况下，可不写下标z，记作：与牛顿第二定律相比，有：M

相应F，J

相应m

，相应a

。12vi刚体O×ω,αri定轴zFiθimiΔri则即—转动连续体：1.转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。

2.转动惯量的计算转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及质量相对于给定轴的分布有关。

注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。在（SI）中，J的单位：kgm2§5.3转动惯量的计算dmrm转轴13连续体：1.转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布转动惯量：14质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量3.常用的几种转动惯量表示式

细棒细棒薄圆环或薄圆筒圆盘或圆柱体薄球壳球体153.常用的几种转动惯量表示式细棒细棒薄圆环圆盘或薄球壳球4.计算转动惯量的几条规律①对同一轴J具有可叠加性

②平行轴定理JCdmJC平行×（证明见书P260—P262）164.计算转动惯量的几条规律①对同一轴J具有可叠加性②平行3.对薄平板刚体的正交轴定理rimi

ΔxzyiyxiO即如图例：173.对薄平板刚体的正交轴定理rimiΔxzyiy§5.4转动定律应用举例定轴

O·Rthmv0=0绳（不可伸长）已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，滑动，下落时间t=3s。求：轮对O轴J=？

解：动力学关系：对轮：′T=–TmgmaαRGTN·对m：运动学关系：(3)(4)(1)(2)绳轮间无相对18§5.4转动定律应用举例定轴·Rthmv0=0(1)~(4)联立解得：分析结果：●量纲对；●h、m一定，J↑→t↑，●若J=0，得代入数据：正确。合理；此为一种用实验测转动惯量的方法。19(1)~(4)联立解得：分析结果：●量纲对；●h、m例1.

一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，m1<m2，滑轮的质量为

m，半径为R，所受的摩擦阻力矩为Mr，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。已知：m1，m2，m，R，Mr求：.20例1.一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮解:研究对象m1，m2，m建立坐标，受力分析如图.对各隔离体写出运动方程：对m1

：对m2：对m：又：21解:研究对象m1，m2，m建立坐标联立求得：注意：当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：这便是中学所熟知的结果问：如何求角加速度？根据可求得22联立求得：注意：当不计滑轮的质量这便是中学所熟知的结果问：如例2电风扇在开启电源后，经过时间达到了额定转速，此时相应的角速度为。当关闭电源后，经过时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为J，并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据已知量推算电机的电磁力矩。

23例2电风扇在开启电源后，经过23在内解：关闭电源后，经过时间★

结果：电磁摩擦24在内解：关闭电源后，★结果：电磁摩转动惯量小的滚得快！质心运动定理过质心轴转动定理纯滚动条件（运动学条件）【例3】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得快？mgfRCxy25转动惯量小的滚得快！质心运动定理过质心轴转动定理纯滚动条件（例4有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度开始旋转，它将在旋转几圈后停止？26例4有一半径为R的圆形平板平放26解：27解：27作业：P286~2875.25.95.12解题要点28作业：P286~2875.25.95.1§5.5定轴转动中的功能关系一.力矩的功力矩的空间积累效应：

力矩的功：dzx·轴rF29§5.5定轴转动中的功能关系一.力矩的功力矩的空间积累二.定轴转动动能定理令转动动能：刚体定轴转动动能定理：（飞轮储能）30二.定轴转动动能定理令转动动能：刚体定轴转动动能定理：（三.刚体的重力势能×ChChiEp=0miΔ31三.刚体的重力势能×ChChiEp=0miΔ31注意：功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚体系统同时也适应于（质点+刚体）的混合系统。但计算动能时必须注意★

刚体转动动能四.刚体定轴转动的功能原理内32注意：功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚体系统同时也适五.刚体的机械能守恒定律内若：则：常数若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。六.应用举例对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。33五.刚体的机械能守恒定律内若：则：常数若刚体转动过程中只[例]已知：如图示，。θ··ω轴OCABl,ml/4求：杆下摆到角时，解：（杆+地球）系统，(1)(2)(1)、(2)解得：只有重力作功，E守恒。角速度均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止。轴光滑，34[例]已知：如图示，。θ··ω轴OCABl,ml/4求§5.6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律讨论力矩对时间的积累效应。质点系：对点：对轴：刚体：——刚体定轴转动的角动量定理35§5.6刚体定轴转动的角动量定理讨论力矩对时间的积累效应。刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，M外z=0时，，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。36刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，M外z=0时克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消37克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转滑冰运动员的旋转38滑冰运动员的旋转38计算角动量时注意：★

质点角动量★

刚体角动量★有刚体时切忌用动量守恒，只能用角动量守恒★

注意：刚体系定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律适应于纯质点系统也适应于纯刚体系统同时也适应于（质点+刚体）的混合系统。39计算角动量时注意：★质点角动量★刚体角动量★有刚体时m(黏土块)yxhPθOM光滑轴均质圆盘（水平）R[例]如图示，求：碰撞后的瞬刻盘

P转到x轴时盘解：m下落：(1)mPhv对（m+盘），碰撞中重力对O轴力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，

=60系统角动量守恒：40m(黏土块)yxhPθOM光滑轴均质圆盘（水平）R[例](3)对（m+M+地球）系统，mmg·OMR令P、x重合时EP=0，则：(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：(4)只有重力作功，E守恒。（m+盘）转动惯量41(3)对（m+M+地球）系统，mmg·OM例5空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为0。质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对与环的速度各为多少？42例5空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径）小球受力：环受力：重力、与轴、与小球之间作用力对所有力的力矩分析可知：两物体所受力关于轴

的力矩均等于零。43（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径所以，在

轴方向角动量守恒由于它们在运动过程中，在

轴向所受合外力矩为零，选小球和环为系统，对A、B点有:44所以，在由于它选（小球+环+地球）为系统，则系统机械能守恒。取过环心的水平面为势能零点。45选（小球+环+地球）则系统机械对于A、C点有46对于A、C点有46例6一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度V0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求（1）子弹击中圆盘后,盘获得的角速度（2）经过多少时间后，圆盘停止转动（忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩）47例6一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平（1）解：子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度子弹和圆盘在碰撞前后角动量守恒48（1）解：子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度子弹和圆盘在碰撞（2）经过多少时间后，圆盘停止转动解一：根据定轴转动定律49（2）经过多少时间后，圆盘停止转动解一：根据定轴转动定律49解二：对（圆盘+子弹）应用角动量定理50解二：对（圆盘+子弹）应用角动量定理50作业：P287~2885.155.165.195.2051作业：P287~2885.155.165.例7（）一匀质细棒长为2L，质量为m。以与棒长方向相垂直的速度V0在光滑水平面内平动时与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞。碰撞点位于棒中心的一方L/2处，如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动时的角速度52例7（）一匀质细棒长为2L，质量52解：碰撞前后角动量守恒。计算碰撞前瞬时，杆对点o的角动量大小

棒上所有点角速度不同但有相等的平动速度。★

在棒上任意处取质量元特点：53解：碰撞前后角动量守恒。计算碰撞前瞬时，杆★

质量元相对o点的角动量大小54★质量元相对o点的角动量大小54

棒上所有点平动速度不同，但有相等的角速度。计算碰撞后瞬时，杆对点的角动量大小★结论：特点：55棒上所有点平动速度不计算碰撞后瞬时，杆对例8（）如图所示，一半径为R，质量为的水平圆台，正以角速度

绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量。台上原站有俩人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台中心的B处。今A处的人相对于原台以速率V顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对于原台以速率2V逆圆台转向沿圆周走动。求圆台这时的角速度。56例8（）如图所示，一半径为R，质56例8（）解答（转台+二人）对转轴角动量守恒走动前台A处人B处人57例8（）解答（转台+二人）对转轴走动前台A处人B处人5走动后台A处人B处人★

结果：58走动后台A处人B处人★结果：58旋进：

§5.7旋进（进动，precession）如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个59旋进：§5.7旋进（进动，precp2p1·×m2>m1r2m1r1L2L1LOωz点的不平行于。若质量对转轴分布对称，下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称对转轴不对称，的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。例如，图示的情形：质量则：则对轴上O60p2p1·×m2>m1r2m1r1L2L1L×MdL·mgθOω∥L从而产生旋进运动。玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，61×MdL·mgθOω∥L从而产生旋进运动。玩具陀螺的旋进：只dΩLO旋进角速度：演示车轮旋进（KL023)TV旋进防止炮弹翻转（注2）62dΩLO旋进角速度：演示车轮旋进（KL023)T1.车轮的旋进（演示）讨论：改变的方向，旋进方向是否改变？改变配重，对旋进有什么影响？用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？2、炮弹的旋进（录像）c631.车轮的旋进（演示）讨论：改变的方向，旋进方向是否改3.回转效应产生附加力矩：

轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转dLMMdt=dL附加力附加力轴承附加力可能造成轴承的损坏，附加力矩也可能造成翻船事故。M左转弯的力矩

三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L643.回转效应产生附加力矩：轮船转弯时，涡轮机轴承要承▲地球转轴的旋进，岁差随着地球自转轴的旋进，北天极方向不断改变。北极星3000年前小熊座现在小熊座12000年后天琴座（织女）T=25800年C1C2F1F2太阳赤道平面黄道平面地球北天极地轴L地球自转角动量（F1>F2）M地球自转轴旋进65▲地球转轴的旋进，岁差随着地球自转轴的旋进，北天极地轴旋进旋进周期25800年秋分点春分点西分点每年在黄道上西移50.2太阳年（回归年）：太阳由春分秋分春分恒星年（时间长）：地球绕太阳一周的时间岁差（precession）岁差=恒星年太阳年=20分23秒北半球南半球黄道面赤道面太阳东66地轴旋进旋进周期25800年秋分点春分点西分点每年在黄道我国古代已发现了岁差：每50年差1度（约72/年）▲前汉（公元前206—23）刘歆发现岁差。▲晋朝（公元265—316）虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：391年有144个闰月。▲祖冲之（公元429—500）编《大明历》最先（精确值为50.2/年）67我国古代已发现了岁差：每50年差1度（约72/年）▲前当旋进发生后，总角速度只有刚体高速自转时，才有这时也才有和以上的表示式。当考虑到对的贡献时，自转轴在旋进中还会出现微小的上下的周期性摆动，运动叫章动（nutation）。这种第五章结束牛顿力学全部结束AO68当旋进发生后，总角速度质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)质点的运动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度质量m,力F转动惯量

,力矩M力的功力矩的功动能转动动能势能质心势能69质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)质点的运动刚体的质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二)质点的运动刚体的定轴转动运动定律转动定律动量定理角动量定理动量守恒角动量守恒动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒70质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二)质点的运动刚体的几种常见刚体的转动惯量71几种常见刚体的转动惯量71（RotationofRigidBodyaboutaFixedAxis）第五章刚体定轴转动72（RotationofRigidBodyabout§5.1刚体的运动§5.2刚体的定轴转动定律§5.3转动惯量的计算

§5.4转动定律应用举例§5.5定轴转动中的功能关系§5.6刚体定轴转动的角动量守恒定律§5.7旋进本章目录73§5.1刚体的运动§5.2刚体的定轴转动定律§5.3转CABF由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：§5.1刚体的运动一.刚体（rigidbody）的概念tt

+t才感受到力固体中弹性波的速度（k—劲度）若v，则k，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为刚体。74CABF由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：§5.1显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，般的质点系有所简化。通常v固体

103m/s，所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。实际的意义。但是它有75显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规二、刚体运动的几种形式1.平动（平移）

运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。

刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。

研究方法：用质心代表整个刚体的运动。可视为质点。76二、刚体运动的几种形式1.平动（平移）2.定轴转动

刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。定轴转动：转轴固定不动的转动。O特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律772.定轴转动刚体上所有质点都绕同一直线作圆5.刚体的一般运动刚体的一般运动可视为随刚体上某一基点A的平动和绕该点的定点转动的合成.OOO将刚体的运动看作质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平面的轴的转动的叠加。3.平面平行运动

刚体运动时,各点始终和某一平面保持一定的距离,或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动4.刚体定点转动刚体运动时，始终绕一固定点转动.785.刚体的一般运动刚体的一般运动可视为随刚体上O··OO·OO·转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，例如：平动可以不同，动力学中，常选质心为基点。三.刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动（rotationaboutafixedpoint）转动却相同，或2.定轴转动（rotationaboutafixedaxis）79··OO·OO·转动与基点的选取无关。两种分解，刚体定轴转动的描述角位置：

(1).定轴转动的角量描述

角位移：

角速度：角加速度：

角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中方向沿转轴的方向。角速度方向并满足右手螺旋定则。(2).角量和线量的关系80刚体定轴转动的描述角位置：(1).定轴转动的角量描述

在刚体作匀角加速转动时，=常数，有以下相应的公式:

在质点作匀加速直线运动时，a=常数，有以下相应的公式:3、匀变速转动的公式刚体获得角加速度的原因？81在刚体作匀角加速转动时，=常数，有以下相应§5.2刚体的定轴转动定律把刚体看作无限多质元构成的质点系。令—转动惯量（对z轴）（rotationalinertia）vi刚体O×ω,ri定轴zmiΔriFi82§5.2刚体的定轴转动定律把刚体看作无限多质元构成vi刚体O×ω,αri定轴zFiθimiΔri则即—转动定律其中定轴情况下，可不写下标z，记作：与牛顿第二定律相比，有：M

相应F，J

相应m

，相应a

。83vi刚体O×ω,αri定轴zFiθimiΔri则即—转动连续体：1.转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。

2.转动惯量的计算转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及质量相对于给定轴的分布有关。

注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。在（SI）中，J的单位：kgm2§5.3转动惯量的计算dmrm转轴84连续体：1.转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布转动惯量：85质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量3.常用的几种转动惯量表示式

细棒细棒薄圆环或薄圆筒圆盘或圆柱体薄球壳球体863.常用的几种转动惯量表示式细棒细棒薄圆环圆盘或薄球壳球4.计算转动惯量的几条规律①对同一轴J具有可叠加性

②平行轴定理JCdmJC平行×（证明见书P260—P262）874.计算转动惯量的几条规律①对同一轴J具有可叠加性②平行3.对薄平板刚体的正交轴定理rimi

ΔxzyiyxiO即如图例：883.对薄平板刚体的正交轴定理rimiΔxzyiy§5.4转动定律应用举例定轴

O·Rthmv0=0绳（不可伸长）已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，滑动，下落时间t=3s。求：轮对O轴J=？

解：动力学关系：对轮：′T=–TmgmaαRGTN·对m：运动学关系：(3)(4)(1)(2)绳轮间无相对89§5.4转动定律应用举例定轴·Rthmv0=0(1)~(4)联立解得：分析结果：●量纲对；●h、m一定，J↑→t↑，●若J=0，得代入数据：正确。合理；此为一种用实验测转动惯量的方法。90(1)~(4)联立解得：分析结果：●量纲对；●h、m例1.

一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，m1<m2，滑轮的质量为

m，半径为R，所受的摩擦阻力矩为Mr，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。已知：m1，m2，m，R，Mr求：.91例1.一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮解:研究对象m1，m2，m建立坐标，受力分析如图.对各隔离体写出运动方程：对m1

：对m2：对m：又：92解:研究对象m1，m2，m建立坐标联立求得：注意：当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：这便是中学所熟知的结果问：如何求角加速度？根据可求得93联立求得：注意：当不计滑轮的质量这便是中学所熟知的结果问：如例2电风扇在开启电源后，经过时间达到了额定转速，此时相应的角速度为。当关闭电源后，经过时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为J，并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据已知量推算电机的电磁力矩。

94例2电风扇在开启电源后，经过23在内解：关闭电源后，经过时间★

结果：电磁摩擦95在内解：关闭电源后，★结果：电磁摩转动惯量小的滚得快！质心运动定理过质心轴转动定理纯滚动条件（运动学条件）【例3】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得快？mgfRCxy96转动惯量小的滚得快！质心运动定理过质心轴转动定理纯滚动条件（例4有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度开始旋转，它将在旋转几圈后停止？97例4有一半径为R的圆形平板平放26解：98解：27作业：P286~2875.25.95.12解题要点99作业：P286~2875.25.95.1§5.5定轴转动中的功能关系一.力矩的功力矩的空间积累效应：

力矩的功：dzx·轴rF100§5.5定轴转动中的功能关系一.力矩的功力矩的空间积累二.定轴转动动能定理令转动动能：刚体定轴转动动能定理：（飞轮储能）101二.定轴转动动能定理令转动动能：刚体定轴转动动能定理：（三.刚体的重力势能×ChChiEp=0miΔ102三.刚体的重力势能×ChChiEp=0miΔ31注意：功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚体系统同时也适应于（质点+刚体）的混合系统。但计算动能时必须注意★

刚体转动动能四.刚体定轴转动的功能原理内103注意：功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚体系统同时也适五.刚体的机械能守恒定律内若：则：常数若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。六.应用举例对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。104五.刚体的机械能守恒定律内若：则：常数若刚体转动过程中只[例]已知：如图示，。θ··ω轴OCABl,ml/4求：杆下摆到角时，解：（杆+地球）系统，(1)(2)(1)、(2)解得：只有重力作功，E守恒。角速度均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止。轴光滑，105[例]已知：如图示，。θ··ω轴OCABl,ml/4求§5.6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律讨论力矩对时间的积累效应。质点系：对点：对轴：刚体：——刚体定轴转动的角动量定理106§5.6刚体定轴转动的角动量定理讨论力矩对时间的积累效应。刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，M外z=0时，，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。107刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，M外z=0时克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消108克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转滑冰运动员的旋转109滑冰运动员的旋转38计算角动量时注意：★

质点角动量★

刚体角动量★有刚体时切忌用动量守恒，只能用角动量守恒★

注意：刚体系定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律适应于纯质点系统也适应于纯刚体系统同时也适应于（质点+刚体）的混合系统。110计算角动量时注意：★质点角动量★刚体角动量★有刚体时m(黏土块)yxhPθOM光滑轴均质圆盘（水平）R[例]如图示，求：碰撞后的瞬刻盘

P转到x轴时盘解：m下落：(1)mPhv对（m+盘），碰撞中重力对O轴力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，

=60系统角动量守恒：111m(黏土块)yxhPθOM光滑轴均质圆盘（水平）R[例](3)对（m+M+地球）系统，mmg·OMR令P、x重合时EP=0，则：(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：(4)只有重力作功，E守恒。（m+盘）转动惯量112(3)对（m+M+地球）系统，mmg·OM例5空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为0。质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对与环的速度各为多少？113例5空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径）小球受力：环受力：重力、与轴、与小球之间作用力对所有力的力矩分析可知：两物体所受力关于轴

的力矩均等于零。114（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径所以，在

轴方向角动量守恒由于它们在运动过程中，在

轴向所受合外力矩为零，选小球和环为系统，对A、B点有:115所以，在由于它选（小球+环+地球）为系统，则系统机械能守恒。取过环心的水平面为势能零点。116选（小球+环+地球）则系统机械对于A、C点有117对于A、C点有46例6一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度V0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求（1）子弹击中圆盘后,盘获得的角速度（2）经过多少时间后，圆盘停止转动（忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩）118例6一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平（1）解：子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度子弹和圆盘在碰撞前后角动量守恒119（1）解：子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度子弹和圆盘在碰撞（2）经过多少时间后，圆盘停止转动解一：根据定轴转动定律120（2）经过多少时间后，圆盘停止转动解一：根据定轴转动定律49解二：对（圆盘+子弹）应用角动量定理121解二：对（圆盘+子弹）应用角动量定理50作业：P287~2885.155.165.195.20122作业：P287~2885.155.165.例7（）一匀质细棒长为2L，质量为m。以与棒长方向相垂直的速度V0在光滑水平面内平动时与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞。碰撞点位于棒中心的一方L/2处，如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动时的角速度123例7（）一匀质细棒长为2L，质量52解：碰撞前后角动量守恒。计算碰撞前瞬时，杆对点o的角动量大小

棒上所有点角速度不同但有相等的平动速度。★

在棒上任意处取质量元特点：124解：碰撞前后角动量守恒。计算碰撞前瞬时，杆★

质量元相对o点的角动量大小125★质量元相对o点的角动量大小54

棒上所有点平动速度不同，但有相等的角速度。计算碰撞后瞬时，杆对点的角动量大小★结论：特点：126棒上所有点平动速度不计算碰撞后瞬时，杆对例8（）如图所示，一半径为R，质量为的水平圆台，正以角速度

绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量。台上原站有俩人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台中心的B处。今A处的人相对于原台以速率V顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对于原台以速率2V逆圆台转向沿圆周走动。求圆台这时的角速度。127例8（）如图所示，一半径为R，质56例8（）解答（转台+二人）对转轴角动量守恒走动前台A处人B处人128例8（）解答（转台+二人）对转轴走动前