juni1数字信号处理-lecturedft有限长变换离散

数字信号处第五 有限长变换——离 变2015-10- State-KeyLabofASICand 主要离 计算实序列循环计算2015-10- State-KeyLabofASICand 变变频域函级连周非周期（无穷离变连非周期（无穷非周期（无穷连离散时间变离非周期（无穷周连离散变离周周离有限长序列变换可以直接有限长序列变换可以直接用数2015-10- State-KeyLabofASICand 离 变换（DFT）的定x[n]N点序列的DFTN点序列的IDFT2015-10- State-KeyLabofASICand 离 变换周期共轭对称

WkN1WnkNWWNN WNN WknW N/正交

N1W1

ln

N

(kl

kl00

N

WNN

klN2次乘法以及N(N-1)次加快 变换正是由于FFT算法的提出，使离 变换 在各种数字信号处理的算法中起 的作 2015-10- State-KeyLabofASICand DFT的矩nk2015-10- State-KeyLabofASICand DFT的矩kn2015-10- State-KeyLabofASICand DFT例例：求例：求8点DFT和16点x[n]2015-10- State-KeyLabofASICand 频域kNky[n]x[nrNr“频域中的N点均匀采样”等效为“时域中原序列以N为周期的周期延拓延拓后一个周期内的N点序列y[n]（主值序列）与原序列x[n]之间当x[n]为无当x[n]为M当M≤N时，y[n]可以恢复x[n]，在N点中取M个样本；（DFT就是这种情况当M>N时，由x[n]周期延拓为y[n]时发生时域混叠，y[n]无法恢复2015-10- State-KeyLabofASICand 频域演示用有限长三角形序列验证频域2015-10- State-KeyLabofASICand 频域

ifNifNy[y[n]x[nrNr2015-10- State-KeyLabofASICand 频域2015-10- State-KeyLabofASICand 频域2015-10- State-KeyLabofASICand 模运算（复习 n Nn N

n1nNnm Nn

0n n mnN2015-10- State-KeyLabofASICand 有限长序列分类——基于圆周共轭对x[n]xCS[n] 称部分xCA[n]

N N

2

x*[n 圆周共

x[n]x*[n Nx[n]x*[n N2015-10- State-KeyLabofASICand 有限长序列分类——基于圆周共轭对N点实序列x[n]可以x[n]xev[n]xod其中，圆周偶部分xCS[n]和圆周奇部分xCA[n]x[n]1x[n]x[n [n]1x[n]x[n

x[n]x[nNx[n]x[nN2015-10- State-KeyLabofASICand 有限长序列分类——基于几何对N 称序列满足条件当N为奇数时，对称中心为样本点当N为偶数时，对称中心为半样本点2015-10- State-KeyLabofASICand 有限长序列分类——基于几何对2015-10- State-KeyLabofASICand DFT的对N点复序列DFT的共轭对x*[n XNX*[k N序列实部的DFT是序列DFT序列虚部乘j的DFT是序列DFT的圆周共 称分量序列共轭对称分量的DFT是序列DFT序列共 称分量的DFT是序列DFT的虚部乘2015-10- State-KeyLabofASICand DFT的对实序列奇部的DFT是序列DTFT实序列DFT实序列DFT的相位圆周奇对称2015-10- State-KeyLabofASICand 利用对称性计算实序列的用N点复序列DFT计算两个N点实序列的两个N点实序两个DFT

H[kx[n]g[n]X[kN进行Ng[n]

CS[k]

1X[k]N2N

X*[k h[n]

CA[k]

1X[k]2

X*[k 例：求例：求 2015-10- State-KeyLabofASICand 利用对称性计算实序列的2N点实序[k分解为偶数点和奇数点两个Ng[n] h[n]v[2nH[k则

0nNVV[k]G[kN]WkH[k2N]0k2N例：求例：求 22 2015-10- State-KeyLabofASICand DFT的性

CxCX[k]

x[nm X[k]W WnlX[kl 2015-10- State-KeyLabofASICand DFT的性对

XNx[k N圆周卷积定

Nx[m]h[nm

X[k]H[kx[n]

NN1X[l]h[kl N1

lN Nx[n]1X[k]H*[kl

Nl2015-10- State-KeyLabofASICand 圆周卷积（Circular称为N点圆周卷积，圆周矩阵形式2015-10- State-KeyLabofASICand 圆周卷积的计算——时域N点序列g[m]是圆上的N个等间隔点的样本，保持固N点序列h[-m]是同心圆上h[m]经过圆周反转后的N个等随着序号n从0增加到N-1，h[-m]圆每次逆时针旋转n个样本与h[n-m]对应样本乘积并求和得到将两个N点序列对齐，写成传统的竖乘形各个样本分别相乘，乘积左对齐于乘数样超出N点范围的乘积需要经过圆周平移到N求和但列间不进位，得到圆周卷使用函数：cconv(g,h,

2015-10- State-KeyLabofASICand 圆周卷积的计算——频域N点序列N点序列

N点N点

N点

2015-10- State-KeyLabofASICand 圆周卷积求N点序列N点序列

N点N点

N点

例：已知：y[ng[n4h[n

2015-10- State-KeyLabofASICand 循环发送端：输入序列为原始序列x[n]加入循环前当信道没有噪声接收端：输出序列为包含循环卷积的线性卷例：已知以下条件，求输入端以循环前缀方式发送序列系统冲激响应为：h例：已知以下条件，求输入端以循环前缀方式发送序列系统冲激响应为：h[n]（3）输出序列为： 圆周卷积与线性卷积的圆周卷积如何转变为线性yC[n]yL[nr

0nL将各个序列右补零扩展到不小于N+M-1因为FFT中要求：L=2n，所以n=ceil(log2(N+M-2015-10- State-KeyLabofASICand 计算有限长序列的线性N点序列M点序列

(M-1)(N-1)

(N+M-点(N+M-点

(N+M-点

2015-10- State-KeyLabofASICand

N+M-MNNNNN+M-MNNNNN+M-N+M- N+M-N+M- N+M-N+M-2015-10- State-KeyLabofASICand 将无限长序列x[n]分割成N点的连续子序列每一个N点子序列xm[n]与M点序列h[n]通过DFT将分段线性卷 相加得到线性卷积演示已知序列x[n]=n+2, 相加法计算线性卷2015-10- State-KeyLabofASICand

MMM-M-

M-N-NM-N-NNNN

N-N-

M-M-N-补补M-M-N-M-M-N-舍舍2015-10- State-KeyLabofASICand

演示 M点序列h[n]与无限长序列x[n]将无限长序列x[n]前补M-1个零，作为序号为[-(M-1),-1]的样将无限长序列x[n]分成xm[n]x[(nM1)m(NM求xm[n]与h[n]进行N点的圆周卷积

0nN1,m丢弃前M-1个样本，保留后N-M+