第六章广义积分及定积分应用

第六章广义积分与定积分的应用I、广义积分一、内容提要(一)广义积分的收敛定义1、无穷积分(积分限为无穷的广义积分)定义设对任意A(A>a),函数f(x)在［a,A］上可积，如果极限limJAf(x)dxA—»+3a存在，则称此极限值为f(x)在［a,+3］上的无穷积分，记J+3f(x)dx=lijAfx(dx)aA—»+3a此时称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散。同样可定义无穷积分：Jbf(x)dx=limJbf(x)dx-3BT—3BJ+3f(x)dx=limJCf(x)dx+limJAf(x)dx-3BT—3BAT+3C2、瑕积分(无界函数的广义积分)定义对任意8(0<8<b-a)，函数f(x)在区间［a,b-&］上可积，且在(b-8,b)上无界(b为瑕点)。如果极限imJb-8fxdx存在。则称此极限值为f(x)在［a,b］上的瑕积分，记作Jbf(x)dx=li』b-8fx(dx)axT0+a此时称瑕积分收敛，否则称瑕积分发散。同样可以定义瑕积分：Jbf(x)dx=limJbf(x)dx,(a为唯一瑕点，xTa+时，f(x)T3)aJbf(x)dx-limJc-8f(x)dx+limJbf(x)dxa8T0+a门T0+c+门(c为区间内唯一瑕点，xTc时，f(x)T3)3、绝对收敛与条件收敛(1)绝对收敛：若广义积分J+3If(x)dx(或JbIf(x)1dx)收敛，则aa称f(x)在［a,+3)(或［a,b］)上绝对收敛(绝对收敛的广义积分，

则f(X)本身的广义积分收敛)。(2)条件收敛：若J*"f(x)dx(或Jbf(x)dx)收敛，但「"If(x)\dx(或JbIf(x)Idx)发散，则称f(x)在［a,+")(或［a,b］)上条a件收敛。(二)收敛判别法1、比较判别法(对被积函数不变号的广义积分或绝对收敛的广义积分有效)(1)无穷积分；①设f(x)当x>a时，为非负函数，且f(x)<g(x)，贝01)J+"g(x)dx收敛nJ+"f(x)dx收敛;aa2)J+"f(x)dx发散nJ+"g(x)dx发散;②比较判」别法的常用形式；a1)若If(x)I<—,p>1时，则J+"If(x)Idx收敛xPa2)若If(x)I<业-,p<1时，则J+"If(x)Idx发散xpa③极限形式：若f(x)在［a,+")上连续，且limxpIf(x)I=l，那么xT+3当0<l<+",p>1时，则JbIf(x)Idx收敛；a当0<l<+",p>1时，则JbIf(x)Idx发散。a(2)瑕积分(为b唯一瑕点)M①若If(x)I<,(M>0),0<p<1，则JIf(x)dx收敛；(b-x)paMb若If(x)I>,(M>0),p>1，则JIf(x)Idx发散。(b-x)pa

②极限形式(唯一瑕点b)若f(x)在［a,b］上连续，另外，对瑕点X=a或x=c有类似的结论。且lim(且lim(b一x)pIf(x)I=lxTb一当0<l<+",p<1时当0<l<+",p>1时那么，则JbIf(x)dx收敛;，则JbIf(x)Idx发散。2、其他形式的判别法(下面两个判别法常用于判定条件收敛)(1)阿贝尔判别法：若f(x)在［a,+8］上可积，g(x)单调有界，则J+8f(x)•g(x)dx收敛。a(2)狄里克莱判别法：若f(x)有有界的原函数F(x)=Jxf(t)dt(即存在aM>0，使得IJxf(t)dtl<M)，g(x)单调且当x-+8时趋于零，则aJ+8f(x)g(x)dx收敛。a对瑕积分也有相应的两个定理。二、典型例题1、广义积分的收敛性通常利用定义或用判别法来判别广义积分的收敛性。判别如下积分的收敛性J+8xe-x2dx;-8r1arcsinxJ1dx0\；1-x2解用定义。(a对瑕积分也有相应的两个定理。二、典型例题1、广义积分的收敛性通常利用定义或用判别法来判别广义积分的收敛性。判别如下积分的收敛性J+8xe-x2dx;-8r1arcsinxJ1dx0\；1-x2解用定义。(1)J+8xe-x2dx-8(1)(2)Jc+J+8-8J'xe-x2=lim-8BT-8cxe-x2dxBlime-x2lc=e-c2B2BT-82=—limJce-xd(x2)2BT-8B(2)x=1为瑕点。.]arcsinx,EarcsinxJ,dx=limJ；dx0v'1一x2et0+0\.'1一x2Jiarcsinxd(arcsinx)01—(arcsinx)2l1-E2=limET0-=limET0-1—[arcsin(12=limET0-故瑕积分收敛。例2判别下面积分的收敛性dx

（人为常数）1(ln2)1-xX-1dx故由比较判别法知无穷积分J1(ln2)1-xX-1dx故由比较判别法知无穷积分J+8（x岫x）x收敛。又「2dx(x-1)(lnx)X为常义积11因为当xD时，＞E若入=1，则「+8dxJ=lim［ln（lnx）］a=+8，由比较判别法知原积分发散TOC\o"1-5"\h\z2xlnxat+8(x一(x一1)(lnx)入若"1，则j+8——dx=\lim[(lnx)1-x]a=+82x(lnx)入1一人at+82原积分也发散。若人〉1，而』+8dx=J3+J+8。又当x>3时，有(x—1)(lxnX)2311(x-1)(lnx)X(x-1)[ln(x-1)]x分（函数可积），从而积分存在。因此，原积分收敛。例3、讨论j+3—1—dx的敛散性（X,R为常数）0xX+xR解x=0可能是被积函数的瑕点，于是1dx1xX+xRj+3dx=j1dx+j+30xX+x1dx1xX+xR对右端第二个积分，设max{人，R}1limxpxT+3xX+xR由于=lim11xT+3+xp~Xxp-R故当p故当p>1时积分收敛；当p时积分发散。对右端第一个积分，设min{人对右端第一个积分，设min{人,R}=q1由于limxq=limxT0+xX+xRxT0+xX-q+xR-q故当q<1时，积分收敛；当q>1时积分发散。综上所述，当max{X综上所述，当max{X,日}>1，且min{X,R}<1时，积分收敛，其余情况皆发散。例4证明j八xcos*dx条件收敛0x+3且当xT+3时，证明先在证积分收敛，对任意A>0，因为Ij人cos且当xT+3时，x单调趋于零，由狄里克莱判别法知积分x+3+3\'xcosxJdx收敛下面证明积分不绝对收敛。因为

v'x(1+cos2x)2(x+3)yfxIcosxI〉爪cos2xx+3x+3(农yfx(cos2x))x+3x+1Vv'x(1+cos2x)2(x+3)1Vx而limx2=1xT+8x+3，故j+8'dx发散。又积分0x+3+8\；'xcos2xJdx+8<xcos收敛（证明同j+02x——dxx+3)。于是j*8cos2xdx发散。因此，积分VxIcosxIdxx+3发散。所以原积分条件收敛。2、广义积分的计算计算(1)n计算(1)nj+8x201+xn+2dx(x>1);(2)j1cos(lnx)dx解（1）nj+8x20nj+8x20dx1+xn+2n2j+8dx2+11=x2+1j+8=^^arctann+201+12n+22兀11+8=lim(arctan11A)=0n+2凡t+80n+2j1cos(lnx)dx=xcos(lnx)I1+j1sin(lnx)dx(2)limxcos(lnx)I1+xsin(lnx)I1-j1cos(lnx(2)8T0+801-j1cos(lnx)dx0于是jlosQn01x)dx=—2例例6计算j+"0Inxdx1+x21Edx+j+"4dx01+x211+x2(x=0为瑕点)lnxdx1+x21ln—1-^d1x1+(1)2

xJo^dt三x11+t21lntj1dt01+t2所以1lnx原式=j-dx01+x21lnx

-jdxxndxI=j10V(1-x)(-1x(n为正整数))先证积分x=1为瑕点1J(1-x)(1+x)云所以积分收敛lim(1—XT1-1X)2xn令x=sint(0<，于是hsinntI=j2•costdt0IcostI=j2sinntdt0(2k-1)!!兀(2k)!!(2k-2)!!(2k-1)!!例8证明j2lnsinxdx0j2lncosxdx0兀ln2证明先证它们收敛1因为limx2•Insinx0,p=-<1，2瓦故j2sinxdx0收敛；同样12)兀lim-K-2X—，12)2lncosx=0,p=—<21所以积分J2Incosdx也收敛0下面求积分的值。令t兀X2则有KKI。相加得J2lncosxdx=J2Insinxdx21=J2[Insinx+Incosx]dx0K1=J2[ln(—sin2x)]dx02TOC\o"1-5"\h\zKK=J2lnsin2xdx-ln2J2dxt=2x—JKlnsintdtln2^=202—(J2lnsintdt+JKlnsintdt}ln220K22lnsintdtln2=I-2KI。相加得lnsintdtln2=I-2K—ln22于是I=-—ln22J2lnsinxdx0J2lncosxdx=ln2II.定积分的应用一、内容提要几何应用平面图形的面积1)直角坐标系下计算面积:由连续曲线y=f(x),y=f(x)(f(x)<f(x))与直线x=a,x=b围成图形的面积1212(a<b)A=jb[f(x)一f(x)]dxa21由连续曲线y=g(x),y=g(x)(g(x)<g(x))与直线y=c,y=d围成图形的面1212积(cvd)A=jd[g^(xJ2lnsinxdx0J2lncosxdx=ln2由连续曲线Y=Y(0)与两条半射线0=a,6=P围成图形的面积(av0)旋转体的体积1)设y=f(x)为[a,b]上单值连续函数。由曲线0<y=f(x)(或0<fi(x)<y<f2(x),a<x<b)与直线x=a,x=b及x轴围成的平面区域绕x轴旋转所得旋转体的体积为V=Kjby2dx=Kjbf2(x)dx(或V=^jb[f2(x)一f2(x)]dx)aaa2)设x=g(y)为[c,d]上单值连续函数。由曲线0<x=g(y),c<y<d绕y轴旋转所得旋转体的体积为V=Kjbx2dy=Kjbg2(y)dy'旋转面的侧面积光滑曲线y=f(x),a<x<b绕x轴旋转所得旋转面的侧面积S=2kjbyi：1+y'2dxa若光滑曲线由参数方程给出x=x(t),((a<t<0)y=y(t),它绕x轴旋转所得旋转面的侧面积S=2kj0y(t)jx\t)]2+[yr(t)]2dx曲线的弧长公式1)设光滑曲线的方程为y=f(x)(a<x<b)，其弧长为l=jb\,：1+[y，(x)]2dx=jb气〃+[f，(x)]2dx二、典型例题例10抛物线y2=-x将椭圆x2+4y2=8y分成两部分，设小的部分面积为S，大的21面积为5，求七的值。2S2解画草图（图1—2—2）抛物y2=1%与椭圆x2+4y2=8y的交点为（0，0）与（2,21）。由椭圆方程%2+4(y—1)2=4解出y(或x):®4-x2-—(1-七4—%2)]dx22=2H—j2寸4—%2dx320图1—2—21x♦4—F—[—4—x2+—arcsin222x—]22021兀+—x2•—322兀223S—22兀兀—(22——)33兀22■+—3于是S—S2兀22——33兀—43兀22-+—39兀+4例11222求（1）由曲线x3+y3—a3所围图形的面积（2）由曲线（x2+y2）2—2a2xy所围图形的面积解——3）。（1）由于曲线关于x轴，y轴都对称，故所求面积为第一象限面积的4倍（见图1—2用参数方程的形式计算较方便。令x—acoSty—asint其中0<t<-对应于第一象限的部分。故所求面积为2A=4jaydx04j0asin31(-3acos21sint)dt—2-12a2j2sin41cos2tdt0—12a2j2sin41(1一sin21)tdt=08（2）曲线关于坐标原点对称（如图1—2—4）,本题用极坐标比较方便。曲线的极坐标方程为y2=a2sin20当0<0<-时，对应于面积的四分之一。故所求面积为。4A=4•—j4a2sin20d0=a220图1—图1—2=f（X）=X3与直线X=-1围成图形的y例12X3求由曲线y=f(x)=lim,y1"+81+e-入X2例12曲线y（0，0）A=j01x3Idx一1,j1,曲线y（0，0）A=j01x3Idx一1,j1,1+j(X3-x3)dx图1—2—51-341113=X40+—X3一-X4=—4一14440注：被积函数取绝对值，是因为图形的面积总是正值。1=X3与y=x3的交点为与（1，1）（见图1—2—5）。所以图形的面积1为一。求（1）切点M的坐标；（2）过切点M的切线方程；（3）上述所围平面图形绕x轴3解设切点M的坐标为x,，那么过点M的切线方程是旋转一周得到的旋转体的体积；（4）所得旋转体的表面积；（5）平面图形绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积，（见图1解设切点M的坐标为x,，那么过点M的切线方程是于是切线与x轴的交点的坐标为A=\:*02「.于是切线与x轴的交点的坐标为A=\:*02「.1x2x21xx—0—202V乙)dx+「0x_2。故x2—0—24x31又由题设条件知,=-243才0V2从而所围平面图形的面积是（1）（2）（3（1）（2）（3）2)2dxx5=———20x51+———0201-—x^xL(2x一2)32=14—15图1—2—6点M的坐标为（2，2）；过点M的切线方程是y=2x-2；旋转体的体积为（绕x轴）x旋转体的表面积为两部分，设为S与S，S旋转体的表面积为两部分，设为S与S，S=S+SS.=2兀j2—\;1+x2dx=兀j2x2寸1+x2dxjx2p'1+jx2p'1+x2dx=—(x82+h)+1x——8xr+(+x12+c)所以-x好-1ln(2+右)]=9兀打-—ln(2+右)88」48S2是切线y=2x-2,1<x<2绕x轴旋转一周所得曲面的面积

TOC\o"1-5"\h\zS=2兀f2(2x—2\)+12d芬兀252117兀寸5兀.■—ln(2+\：'5)48(5)抛物线y=三2上的点到直线x=2的距离为2=2-寸2y同样切线V=2X-2上的点到x=2的距离为y+2d2=2-^-―故所围图形绕x=2旋转一周得到旋转体的体积为V=(5)V=兀02兀f20y+22—-——22dy周所成的轴交于点==例14已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,1)与(0,1,0)线段AB绕z轴旋转旋转曲面为S，求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积。周所成的轴交于点解直线ab的方程为在z轴上截距为z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与xQ(0,0z)与ab交于点M1(z,1-z,z)故圆截面半径r(x)=七’(1-z2)+z从而截面面积S(z)=兀(1-2z+2z2)，旋转体体积V=nf1(1—2z—2z)d=-冗032、物理应用

例15一圆锥形蓄水池，蓄满水，池深10米，上口直径16米，将水全部抽完，求所作功。解（如图1-2-7）建立坐标系。用微元法。分割区间［0，10］，任取一小区间［x,x+dx］，因为AOABAOCD，所以AB=—，从而~AB=-x。水在［x,x+dx］上的质量81052dm=兀2dm=兀ABdx=兀16—x2dx2516功微元dW=(10-x)兀——x2dx，在［0，10］上积分25（吨X米）W=16^j10x2(10-x)dx=160^2503例16半径为R的圆形溢水闸，水半满，求作用在闸门上的水的压力解建立坐标系（如图1—2—8），分割［0，R］，取小区间［x,x+dx］，其面积为dA=2\：R2-x2dx压力微元dF=2x\：R2-x2dx在［0，R］上积分F=2jRR2-x2dx=jr\；R2-xd(x)22―一、3=(R2—x2)23三、补充练习题一、判别下列积分的敛散性+3sin2xdx(2)j+3dxx2

(4)xarctanx

jdx3+（吨X米）+3sin2xdx(2)j+3dxx2(4)xarctanx

jdx3+x3xm(5)jdx11+xn立(6)j2(tanx)adx0二、计算下列广义积分(1)j1sin(lnx(1)j1sin(lnx)dx(2)0dxasinx(3)j2,,dx匚<1一cos2x2(4)dx/(b〉a)\：'(x-a)(b-x)三、判断下列积分的绝对收敛性与条件收敛性(1)j：ln(si^^dx⑵j+”sin±dx(p〉0)0\x0xp四、设函数f(x)、g(x)在区间[a,A]上可积，j+"f2(x)dx与j+"g2(x)dx都收敛，证明j*"|f(x)g(x)|dx和j*"[f(x)g(x)]2dx都是收敛五、心土Idx-31+x4六、计算I=j+",,*dx七、在区间［a,b］上任意取一点&，使这点两侧对于曲线y=f五、心土Idx-31+x4(如图1—2—9(a)所示)求&的位置。图1—2—9围成图形的面积最小。九、如图（1—2—9（b））所示之闸门所受之静压力。又闸门下沉多深，求所受静压力。由闸门下沉多深，八、在区间（2,6）内求曲线y围成图形的面积最小。九、如图（1—2—9（b））所示之闸门所受之静压力。又闸门下沉多深